河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试(一)数学理科试卷含答案

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天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）

数学（理科）

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|-=x y x }，B={0<67|2+-x x x }，则=B A C R )(

A.{3<<1|x x }

B.{6<<1|x x }

C.{31|≤≤x x }

D.{61|≤≤x x }

2.已知i z i z 43,10521+=-=，且复数z 满足2

111z z z +=，则z 的虚部为 A. i 252 B. i 252- C. 252 D. 25

2- 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为

A.14

B.20

C.21

D.70

4.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若40,25732==S a a a ，则=7a

A. 13

B.15

C.20

D.22

5.已知向量b a ,满足b b a b a ⊥-==)(,1||,2||，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 2

π D. 32π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力

是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为

A.60

B. 120

C. 180

D.240

7.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为

A. π2

53 B. π2536+ C. π53 D. π536+ 8.已知双曲线E: 13

22

=-y x ，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2,0)，PQF ∆的周长为58，则线段PQ 的长为 A.2 B. 52 C.4 D. 54

9.已知函数)()(x x e e x x f --=，若)1(<)12(+-x f x f ，则x 的取值范围是 A. )3,31

(- B. )31,(--∞ C. ),3(+∞ D. ),3()3

1

,(+∞--∞ 10.已知椭圆C: )0> b 0,> (122

22a b y a

x =+的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为4

1-，则椭圆C 的离心率为 A. 41 B. 2

1 C. 23 D. 415 11.设函数x x f ππsin 2

)(-=在),0(+∞上最小的零点为0x ，曲线)(x f y =在点(0x ，0)处

的切线上有一点P ，曲线x x y ln 232-=

上有一点Q ，则||PQ 的最小值为

A. 510

B. 55

C. 10103

D. 5

102 12.已知四棱锥P-ABCD 的四条俩棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为4

81π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为 A. 32 B. 32或35 C.322 D. 3

1或322 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤--≤-+20107x y x y x ,则目标函数11--=x y z 的最大值为 . 14.已知正项等比数列{n a }满足80,4642=+=a a a .记n n a b 2log =，则数列{n b }的前50项和为 .

15.在)13()21(5

+-x x 的展开式中，含3x 项的系数为 . 16.已知角α满足23)4tan(tan =-π

αα，则=-)4

2(cos παα . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一）必考题:共60分.

17.(12分）

已知平面四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，且内角B 与D 互补.

(I)求cos A 的值；

(II)求四边形ABCD 的面积.

18.(12分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，0

90=∠ACB ，CA=CB=AA1=2，M,N 分别是A1B 与CC1的中点，G 为ABN ∆的重心.

(I)求证:MG 丄平面ABN ；

(II)求二面角A1-AB-N 的正弦值.

19.(12分）

已知动圆M 过点P(2,0)且与直线x +2 =0相切.

(I)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；

(II)斜率为)0(≠k k 的直线l 经过点P(2,0)且与曲线C 交于AB 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求

|

|||NP AB 的值. 20. (12分) 一间宿舍内住有甲、乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生.游戏规则如下:第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子（点数为1 - 6)，若得到两枚骰子的点数之和小于10,则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A. (I)求P(A).

(II)设)(*∈N n p n 表示“第n 天甲值日”的概率，则

...)4,3,2)(1(,1111=-+==--n p b ap p p n n n ，其中)(),(A P b A P a ==.

(i)求n p 关于n 的表达式.

(ii)这种游戏规则公平吗？说明理由.

21. (12 分） 设函数221)1(ln )(x x k x k x f -

-+=. (I)讨论函数)(x f 的单调性；

(II)设函数)(x f 的图象与直线y =m 交于),(),,(21m x B m x A 两点，且)<21x x ，求证：0<2

('21x x f +. (二）选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为m m y m x (121⎩

⎨⎧+-=+=为参数），以坐标原点为极点x 轴的正半袖为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ

22cos 336-=

p ，直线l 与曲线C 交于M,N 两点.