河南省天一大联考高三阶段性测试 数学(理)
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B .【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） ABC ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得q =因为{}n a是递增的等比数列，所以q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以213a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B．49C．3πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7C D r =，所以22tan 30AB AD CD ===.所以2172ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求的概率2234949r P π==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式R =O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==.由正弦定理得2sin 603BC BG ==，则3BG =，所以外接球O 的半径R ==O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B．3- C．4D1【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得1a b =（负值舍去），故23ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x =的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-，1b =，532a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角θ=______. 【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-，所以5a =，因为1b =，532a b ⋅=，所以532cos 51a b a bθ⋅===⨯.因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A到右焦点F 的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c ，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A 到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c ea ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f =，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin 2ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-；（2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin sin A C a ==因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C ==所以()sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C =+=+=.所以ABC ∆的面积11sin 32226ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯2=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =，所以BD ⊥平面ACE .因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，所以2AB AD BD ===，AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点，所以()C ，)E，1,,422F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2CE =，31,42CF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则2320314022n CEz n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩. 令x =()3,21,3n =--.易知()0,0,1m =为平面ABCD 的一个法向量. 设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以((cos 151m n m nθ⋅====⋅， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=.设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，第 21 页 共 21 页 所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。
2020届河南省高三天一大联考高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
河南省天一大联考高三阶段测试(二)——数学(理)数学(理)
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（1）B （2）D （3）C （4）A （5）D （6）A（7）D （8）D （9）B （10）C （11）B （12）A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）3 （14）（15） （16）三、解答题：本大题共6小题，共70分.（17）解：（Ⅰ）设公差为，由已知得：2111(3)()(8),a d a d a d +=++整理得.………………………………………………………………………………………（2分） 又因为，即，所以，故……………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以当时，有所以是以为首项，为公比的等比数列，所以2(18)2(81).187n n n S -==--…………………………（10分） （18）解：（Ⅰ）因为π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭任意两个零点之间的最小距离为， 所以的最小正周期为，故，又，故．………………………（3分）由，得， 所以，，即又. 所以5πππ5π,,,6666α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭.………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）函数 πcos 2cos 23y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ππcos 2cos 2cos sin 2sin 33x x x =-+1cos 222x x =， ………………………………………………（9分） 由2πππ2π2262k k x π-++剟，,解得，． 所以函数π()cos 3y f x x ω⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递增区间为ππππ,.36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,……（12分） （19）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos ,=A B A B A B C ⋅-=+=-m n ……………（2分）所以，即22cos cos 10C C +-=，故或（舍去），………………………………………………………（4分）又，所以.…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为所以. ①………………………………………（8分） 由余弦定理222π2cos ,3AB AC BC AC BC =+-⋅⋅ 及得，. ②…………………………………………………………（11分）由①②解得,.……………………………………………………………（12分）（20）解：（Ⅰ）2222()2a x a f x x x x+'=+=， 由已知，解得……………………………………………………………（2分）所以26()6l n ,()2f x x x f x x x'=-=-，因为所以函数的图象在点处的切线方程为即.…………………………（6分） （Ⅱ）由22()2ln g x x a x x=++得222()2a g x x x x '=-++，…………………………（7分） 因为函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.………………………………………………………………（9分） 令，在上2211()220,h x x x x x ⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭所以在上为减函数，所以…………………（12分）（21）解：（Ⅰ）因为对任意正整数，，且， 故22121tan 1tan cos n n na a a +==+， 所以数列是以1为公差的等差数列，且.…………………………（4分） 所以2132tan (1)133n n a n -=+-⨯=. 数列的前项和为2(1)113226n n n n n -+=-.…………………………………（6分） （Ⅱ）因为，所以，.所以，，()()()121122sin sin sin tan cos tan cos tan cos m m m a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅()()2111tan cos tan cos tan cos m m m a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅……………………………………（9分）1tan cos 3m a a =⋅== 由，得.……………………………………………………………（12分）（22）解：（Ⅰ）因为()()e e ()x xF x f x f x ''=+.……………（2分） 由知，所以()()e ()0xF x f x f x ''=+<［］ ，所以在上单调递减.……………（4分） （Ⅱ）当时，有……………………………………………（5分）证明如下：当时， ，故由（Ⅰ）可得，即…………………………………………………………………………………………………（8分） 下面证明即证设函数当时，有()()22211210,x g x x x x -'=--+=-<所以在上单调递减.……………………………………………………………（10分） 故所以于是()12111e ,x x f x f f x x x -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即………………………………………………………………………（12分）。
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(五)数学(理)试卷
A. （ 0， +∞）
B.(0,1) C.[0,1) D. [1, +
∞)
2. 已知复数 z 2i ，则 z 的共轭复数在复平面对应的点位于 1i
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题 : 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
10,9,8,7 环的概率分别为
P1, P2, P3 , P4, ，则下列选项正确的是
A. P1 P2
B. P1 P2 P3
C. P4 0.5 D. P2 P4 2P3
6. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为
2 的等腰直角三
角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则
C.2019
D. 4038
2019 , 则 a2019
12. 设 f ' ( x) 是 函 数 f ( x) 的 导 函 数 ， 若 f ' ( x) > 0 , 且
x1, x2 R( x1 x2), f ( x1) f ( x2 ) < 2f( x1 x2 ) , ，则下列选项中不一定正确的一项是 2
A. f ( 2) < f (e) < f ( )
河南省天一大联考高三上学期阶段性测试(二)理数试题 W
数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}2,1,1,2B =--，则A B I =（ ）A ．{}1,2B ．()1,2C ．{}1,2--D ．[)1,+∞ 2.在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ） A ．3 B ．6 C ．27 D ．93.已知命题200:,460p x R x x ∃∈++<，则p ⌝为（ ）A ．2,460x R x x ∀∈++≥ B ．200,460x R x x ∃∈++> C ．2,460x R x x ∀∈++> D ．200,460x R x x ∃∈++≥4.已知函数()()3log ,094,9x x f x f x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()1132()3f f +的值为（ ）A ．1B ．0 C.-2 D ．25.已知向量,a b r r 的夹角为23π，且()3,4a =-r ，2b =r ，则2a b +r r =（ ）A ．．2 C.．846.函数()13f x x x =-的图象大致是（ ）7.将函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭图象上所以点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象，则,ωϕ的值分别为（ ） A ．1,26π B ．2,3π C.2,6π D ．1,26π- 8.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2π C.2πD ．2π-9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的双曲线与双曲线交于,A B 两点，与双曲线的渐近线交于,C D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10.设函数()()()[]22,1,1,1,1f x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，若关于x 的方程()()()log 100,1a f x x a a -+=>≠在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A．( B．)+∞C.)+∞ D．11.对于正整数k ，记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如()11g =，()21g =，()105g =.设()()()()()12342nn S g g g g g =+++++L ，给出下列四个结论：①()()3410g g +=；②*m N ∀∈，都有()()2g m g m =；③12330S S S ++=；④1*14,2,n n n S S n n N ---=≥∈.则其中正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④ C.③④ D ．②④12.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线()220y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则OMMF的最大值为（ ）A D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知1sin cos 2θθ+=，则()sin 2πθ-= ． 14.过点()3,4C 作圆225x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则点C 到直线AB 的距离为 ．15.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a +，21a +，41a +成等比数列，且2312a a +=-，则n a = ．16.在ABC ∆中，若3sin 2sin C B =，点,E F 分别是,AC AB 的中点，则BECF的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知函数()22cos f x x x m =--. （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值. 18. （本小题满分12分）已知圆()22125x y -+=，直线50ax y -+=与圆相交于不同的两点,A B .（1）求实数a 的取值范围；（2）若弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -，求实数a 的值. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()()()()()*1223121n n a a a a a a n n n N +++++++=+∈L .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 20. （本小题满分12分）已知函数()()()2log 1f x g x k x =+-. （1）若()2log 1g x x =+且()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）当1k =时，()()21g x ax a x a =+++时，若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，且椭圆C 经过点()2,3P ，过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求1PF G ∆的面积S 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x b x =.（1）当1b =时，求函数()()2G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得()0001bx f x x +-<-成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADABC 6-10:DAABC 11、12：BC 二、填空题 13.34-14.4 15.21n -- 16.17,48⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 17.（1）()21cos 212cos 2sin(2)262x f x x x m x m x m π+=--=--=---，……3分则函数()f x 的最小正周期T π=.………………………………………………………………………4分则当262x ππ-=是，函数取得最大值0，………………………………………………………………9分即1102m --=，解得12m =.……………………………………………………………10分 18.（1）把直线50ax y -+=代入圆的方程， 消去y 整理，得()()22125110a x a x ++-+=. 由于直线50ax y -+=与圆交于,A B 两点， 故()()22451410a a ∆=--+>，即21250a a ->，解得512a >或0a <， 所以实数a 的取值范围是5(,0)(,)12-∞+∞U .………………………………………………………6分（2）由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为1a-， 直线l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 比在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =， 由于35(,)412∈+∞，所以34a =符合题意.……………………………………………12分 19.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩， (2)分即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，……………………4分所以21n a n =-.……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得112122n n n a n ---=，……………………………………………………………6分 所以122135232112222n n n n n S ----=+++++L ，①3252321223222n n n n n S ----=+++++L ，②………………………………………8分②-①得12211111222212123222226122222212n n n n n n n n n S --------+=+++++-=+⨯-=--L (12)分20.（1）令2lo g t x =，则2tx =，代入()2log 1g x x =+，得()21t g t =+，即()21x g x =+，()()()2log 211x f x k x ∴=++-，…………………………………………………………2分Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，()()()()22log 211log 211x x k x k x -∴++-=+--，即()221log 2121x xk x +=---，()2log 221x k x =--， ()21x k x ∴=--对一切x R ∈恒成立，()211k ∴-=-，即12k =.………………………………6分 （2）设当1k =时，()()22log 1f x ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，当0a =时，函数()2log f x x =的值域为R ，…………………………8分当0a ≠时，要使函数()f x 的值域为R ，则00a >⎧⎨∆≥⎩，即()220140a a a >⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，解得01a <≤， 综上所述，a 的取值范围为[]0,1.…………………………………………………12分21.（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2212491c a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩2分解得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.……………………………………4分 （2）设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，由()22234480y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得，()()222234161630k x k x k +++-=，……………………5分 易知0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221643k x x k -+=+，2122164843k x x k -=+， 设()00,M x y 是AB 的中点，则()20220028436243k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，……………………………………6分线段AB 的垂直平分线MG 的方程为()001y y x x k-=--，……………………………………8分令0y =，得20022823434G k x x ky k k-=+==-++，…………………………………………10分 因为0k ≠，所以102G x -<<， 因为1113222PF G P GS S FG y x ∆==⋅=+，102G x -<<，………………………………………11分所以S 的取值范围是9(,3)4.………………………………………………………………………12分22.（1）当1b =时，()()()22ln 0G x x x f x x x x x =--=-->，()()()211x x G x x+-'=，……………………………………………………………………1分令()0G x '=得1x =，当x 变化时，()(),G x G x '的变化情况如下表：x()0,11()1,+∞()G x ' - 0 +()G x] 极小值Z因为1111()ln ln 212424G =--=-+<，()10G =， ()()21111G e e e e e =--=-->，……………………………………………………3分所以()()2G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值分别为：()()2max 1G x G e e e ==--，()()min 10G x G ==.…………………………………4分（2）设()1ln bh x x b x x+=-+， 若在[]1,e 上存在0x 使得()0001b x f x x +-<-，即0001ln 0bx b x x +-+<成立， 则只需要函数()1ln bh x x b x x+=-+在[]1,e 上的最小值小于零，………………………………6分又()()()()222211111x x b x bx b b b h x x x x x +-+⎡⎤--++⎣⎦'=--==， (8)分令()0h x '=得1x =-（舍去）或1x b =+，①当1b e +≥，即1b e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由()10bh e e b e +=+-<，可得211e b e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e b e +>-.……………………………………………………………9分 ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为()1h ，由()1110h b =++<，可得2b <-（满足0b ≤），…………………………………………………………10分 ③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在()1,1b +上单调递减，在()1,b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()()12ln 1h b b b b +=+-+， 因为()0ln 11b <+<，所以()0ln 1b b b <+<，所以()2ln 12b b b +-+>，即()12h b +>，不满足题意，舍去.…………………………………11分综上可得2b <-或211e b e +>-，所以实数b 的取值范围是221(,2)(,)1e e +-∞-+∞-U .……………………………12分。
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试(六)数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查三视图，柱体和锥体的体积公式，考查空间想象能力.
9．若函数 的图象关于原点对称，则函数 在 上的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数 的图象关于原点对称，可知 为奇函数，可得 ，再由函数单调性可得值域.
【详解】
由题得，函数 为奇函数，故 ，解得 ，故 ，故函数 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，故函数 在 上的值域为 .
则 .
故DE与平面 夹角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结合思想.
19．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.
（Ⅰ）设消费者的年龄为 ，对该款智能家电的评分为 .若根据统计数据，用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ，且年龄 的方差为 ，评分 的方差为 .求 与 的相关系数 ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.
【点睛】
本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.
20．已知 的周长为6， ， 关于原点对称，且 .点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，若 ， ， 成等差数列，求 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2.
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义得轨迹方程即可；（Ⅱ）依题意得 ，得 ，联立 消去y，整理 代入韦达定理得 即可
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（六）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试(一)数学理科试卷含答案
绝密★启用前天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|-=x y x }，B={0<67|2+-x x x }，则=B A C R )(A.{3<<1|x x }B.{6<<1|x x }C.{31|≤≤x x }D.{61|≤≤x x }2.已知i z i z 43,10521+=-=，且复数z 满足2111z z z +=，则z 的虚部为 A. i 252 B. i 252- C. 252 D. 252- 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为A.14B.20C.21D.704.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若40,25732==S a a a ，则=7aA. 13B.15C.20D.225.已知向量b a ,满足b b a b a ⊥-==)(,1||,2||，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 2π D. 32π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A.60B. 120C. 180D.2407.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为A. π253 B. π2536+ C. π53 D. π536+ 8.已知双曲线E: 1322=-y x ，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2,0)，PQF ∆的周长为58，则线段PQ 的长为 A.2 B. 52 C.4 D. 549.已知函数)()(x x e e x x f --=，若)1(<)12(+-x f x f ，则x 的取值范围是 A. )3,31(- B. )31,(--∞ C. ),3(+∞ D. ),3()31,(+∞--∞ 10.已知椭圆C: )0> b 0,> (12222a b y ax =+的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为41-，则椭圆C 的离心率为 A. 41 B. 21 C. 23 D. 415 11.设函数x x f ππsin 2)(-=在),0(+∞上最小的零点为0x ，曲线)(x f y =在点(0x ，0)处的切线上有一点P ，曲线x x y ln 232-=上有一点Q ，则||PQ 的最小值为A. 510B. 55C. 10103D. 5102 12.已知四棱锥P-ABCD 的四条俩棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为481π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为 A. 32 B. 32或35 C.322 D. 31或322 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省天一大联考高三阶段性测试三全国卷数学(理)---精校解析 Word版
已知复数，若是复数的共轭复数，则（B. C. D.本题选择A选项.已知集合，则的真子集个数为（解得，则有两个元素，真子集个数为已知变量之间满足线性相关关系，且【解析】由题意，，可得若平面平面，平面平面平面，则若平面平面，平面平面，则若直线，平面平面，则若直线平面平面，则，平面平面，则有可能直线在平面的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线B. C. D.【答案】D，作于点轴于，结合可知：，据此可知抛物线的方程为：本题选择D选项.已知函数，若，且函数存在最小值，则实数B. C. D.【解析】，存在最小值则且，则（A. 0B.C.D.，则：结合诱导公式有：，，据此可得：选项.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为B. C. D.注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：，结合题意可知：判断框中可以填.第一周的比赛中，场，场，踢了场，且队未踢过，队也未踢过，则在第一周的比赛中，【解析】依据题意：场，队与队参加的比赛为：场，队与队参加的比赛为：以上八场比赛中，队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在各包含一场，则在中进行的比赛中，，队踢的比赛的场数是的左、右顶点分别为，点为双曲线作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线的中点，则双曲线的渐近线方程为（B. C. D.，则：的方程为：，令可得：，则：，可得直线方程为令可得：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为本题选择A选项.B. C. D.和等腰直角三角形，高为，每个棱柱的表面积为：两三棱柱相交部分的面积为：，.已知函数，若，则实数B. C. D.得所以在得令，，，在上单调递减，又在单调递减，，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
构造函数利用参数分离法已知向量满足，则__________【解析】由向量平行的充要条件可得：，即：求解关于的方程可得：或已知实数满足，则【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值：联立方程：可得：处取得最大值：，综上可得：的取值范围为.已知，则【答案】，据此可得：其展开式的通项公式为：，，即：.已知函数，若在区间上存在零点，则【答案】【解析】当所以的取值范围为分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤中，角所对的边分别是，且．的大小；，求的面积．(1) (2)【解析】试题分析：⑴利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入的值，利用特殊角的三角函数值即可求出，）由，可得，；，则，由题意，，∴．已知数列满足．）求数列）求数列的前项和(1) (2)【解析】试题分析：是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为，分钟求和可得.（Ⅰ）因为，故，得；，所以，，，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知19. 如图所示，直三棱柱中，分别是）求证：平面；的大小为90°，求直线与平面(Ⅰ)连接，利用线面平行的判断定理即可证得. (Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标，则，，，据此可得平面的一个法向量为的一个法向量为，则，求解方程可得，利用线面角的向量求法.试题解析：（Ⅰ）连接，且为为的中点，，平面，平面，故.（Ⅱ）因为是直三棱柱，所以平面，得因为，，故.为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空，则，，，.的一个法向量为：令同理可得平面的一个法向量为二面角的大小为，，得，又设直线与平面所成角为，则本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第，求参考公式：0.10 0.05的观测值⑵依题意，且，，据此得出分布列，）依题意，在本次的实验中，的观测值，的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；的分布列为：．已知椭圆，过点，且离心率为过点的直线与椭圆）求椭圆若点为椭圆探究：是否为定值，分别是直线的斜率．(1)【解析】试题分析：，，故椭圆的标准方程为.易知当直线的斜率不存在时，不合题意的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得综上所述，为定值.试题解析：解得，的标准方程为.易知当直线的斜率不存在时，不合题意的斜率存在时，设直线的方程为，中，得，，由，故综上所述，为定值.求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．已知函数．）探究函数的单调性；在上恒成立，求实数的取值范围．）求导得，然后分类、两种情况即可得出函数的单调性）构造，求导得，构造，分类讨论时的两种情况得出的取值范围）依题意，，函数在上单调递增；，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增；，即在，则，，则是上的增函数，即①当时，，所以，因此是上的增函数，，因此时，时，，得，（由于，所以舍去）时，，则上递减，时，，则在上递增，所以当时，，时，不可能恒成立，综合上述，实数的取值范围是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天一大联考 高中毕业班阶段性测试
数学（理科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A= {022
≥-x x },B={1>|-y y }，则 A.( -1,0] B. ( -1，0]U[+∞,2
1
) c.( -1,
21] D.[ +∞,2
1
) 2.设复数)(231R m i mi
z ∈+-=，若z z =，则=m
A. 32-
B. 32
C. 23
D. 2
3-
3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为 A.
207 B. 103 C. 53 D. 2
1
4.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S = 272,则=++1593a a a A. 24 B.36
C. 48
D. 64
5.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为
“今有墙高9
尺。
瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺。
问需要多少 日两蔓相遇。
”其中1尺=10寸。
为了解决这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为 A. 5
B. 6
C.7
D.
8
6.设双曲线C:
18
2
2=-m y x 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上。
若NM F MN F 22∠=∠乙，则=||MN A. 8
B. 4
C. 28
D. 24
7.为了得到函数)3
cos(2)(π
+=x x g 的图象，只需将函数x x x f 4cos 4sin 3)(-=的图象
A.横坐标压缩为原来的
41，再向右平移2π
个单位 B.横坐标压缩为原来的4
1
，再向左平移π个单位
C.横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2
π
个单位
D.横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位
8.如图，小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体
的体积为 A. 68 B.72
C. 84
D. 106
9.若函数1
31
)(--
=x
m x f 的图象关于原点对称，则函数)(x f 在（+∞，0)上的值域为 A.（21，+∞) B.（21-，+∞) C.（1，+∞) D.（3
2
，+∞)
10.已知抛物线C: px y 22
= (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA'丄l ，垂足为A',若四边形的面积为14,且5
3
'cos =
∠FAA ，则抛物线C 的方程为 A. x y =2
B. x y 22
= C. x y 42
= D. x y 82
=
11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B 作A1M1C1N 垂直于平面ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形D1MAPCN 的面积为 A. 212
B. 12
C. 64
D. 34
12.已知函数x
e
x f e
x ln )(=
，若函数a x f x g +=)()(无零点,则实数a 的取值范围为
A. ]0,2
(2e - B. ]0,2(e
- C. ]0,2(e - D. ]0,(e -
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量 m=(2,4) ,n=(-3 ,λ) R ∈λ，若m 丄n,则 =λ
14.设实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-+≥+-0108201y y x y x ,则 z =2x -y 的最大值为
15. 7
2
)1()32(x x --的展开式中，3
x 的系数为
16.记正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且当2≥n 时，7)1(21+--=-n n n a n na a ，若92=a ,则40S 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都 必须作答。
第22,23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
17. (12 分）
如图所示，锐角△ABC 中25=AC ，点D 在线段BC 上，且
23=CD ，△ACD 的面积为26，延长BA 至 E ，使得EC 丄BC.
(I)求AD 的值； (II)若3
1
sin =∠BEC ，求AE 的值. 18. (12 分）
如图，三棱柱ABC- A1B1C1中，C AB ACB CBA CAB 11,cos =∠∠=∠ ，AB 1丄平面ABC ，AC=2, 0
190=∠CAC ，D ，E 分别是的中点。
(I)证明AC 丄平面AB 1C 1；
(II)求DE 与平面CBB 1夹角的正弦值. 19. (12 分）
某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了 50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分。
(I)设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y 。
若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的
线性回归方程为402.1ˆ+=x y ,且年龄x 的方差为4.142=x s ,评分y 的方差为5.222
=y s 。
求y 与x 的相
关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱。
(II)按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”， 整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关。
20. (12 分）
已知△ABC 的周长为6，B ，c 关于原点对称，且B(-1，0),点A 的轨迹为P. (I)求P 的方程；
(II)若D( -2,0)，直线l : )0)(1(≠-=k x k y 与P 交于E ，F 两点，若
DF
DE k k k 1
,,1λ成等差数列，求λ的值。
21.(12 分）
已知函数x
a ax x x f 1
ln )(++
+=. (I )若a <0，讨论函数)(x f 的单调性； (II)若0≥a ，证明:
11
2)(-≥-x e
x a x f . (二）选考题:共10分。
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为αα
α(sin 21,
cos 32⎩⎨
⎧+=+=y x 为参数），以原点0为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求曲线C 的极坐标方程；
(II)过点（-2，1)的直线l 与曲线C 交于两点，且2||=AB ,求直线l 的方程. 23.[选修4 - 5 :不等式选讲](10分）
已知函数|1|)(-=x x f .
(I )求不等式3)(|32|≥--x f x 的解集；
(II)若||＞5)(,a x x f R x -+∈∀，求实数a 的取值范围。