2015年北京中考数学总复习课件(第3课时_整式与因式分解)
中考数学复习课件 1.2整式与因式分解
13、(09济宁市)请你阅读下面的诗句: “栖树 一群鸦, 鸦树不知数, 三只栖一树,五只没去 处, 五只栖一树, 闲了一棵树,请你仔细数, 鸦
树各几何？” 诗句中谈到的鸦为 20 只 、树为 5 棵.
解:可设鸦有x只，树y棵．
则 3y+5=x 5(y−1)=x
, 解得
x=20 y=5
∴鸦有20只，树有5棵．
合并 同类 项
系数 化1
把方程变为ax=b
合并同类项
（a≠0 ) 的最简形式
法则
1）把系数相加 2）字母和字母的指数不变
将方程两边都除以未知数系 等式性
数a，得解x=b/a
质2
解的分子，分母位置不要颠 倒
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗 歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善 物质生活，但数学能给予以上的一切。--克莱因 .
加减消元法：两个二元一次方程中同一 未知数的系数相等相反时，通过方程两 边分别相加或相减消去其中一个未知数 ，从而将二元一次方程化为一元一次方 程，最后求得方程组的解，这种解方程 组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
8.列方程（组）解应用题的一般步骤： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什 么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等 关系是什么。
故有2种租房方案．
3、(2013• 日照)甲计划用若干个工作日完成 某项工作, 从第三个工作日起, 乙加入此项工 作, 且甲、乙两人工效相同, 结果提前3天完成
任务, 则甲计划完成此项工作的天数是( A )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
解:设甲计划完成此项工作需x天， 甲前两个工作日完成了2/x，剩余的工作日完 成了(x−2−3)/x，乙完成了(x−2−3)x， 则2/x+2(x−2−3)/x=1， 解得x=8， 经检验，x=8是原方程的解．
北师大中考数学总复习《整式及因式分解》课件
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同； 第二，相同字母的指数相同．两者缺一不可。 (2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程 (组)是解此类题的一般方法。
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►
探究二
整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算； 2．乘法公式．
例2 [2013·泸州] 下列各式计算正确的是( D ) A．(a7)2＝a9 B．a7· a2＝a14 C．2a2＋3a3＝5a5 D．(ab)3＝a3b3
解 析 A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用 同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利 用积的乘方运算法则计算得到结果．
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
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整式 的除 法 乘法 公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商 单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字 项式 母，则连同它的指数作为商的一个因 式 多项式除以单 先把这个多项式的每一项分别除以这 项式 个单项式，然后把所得的商相加 a2－b2 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝________
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例3
[2013·娄底] 先化简，再求值：
3 3
3 (x＋y)(x－y)－(4x y－8xy )÷ 2xy，其中 x＝－1，y＝ . 3
解
原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2. 3 当 x＝－1，y＝ 时， 3 3 2 2 2 2 －x ＋3y ＝－(－1) ＋3× 3 ＝－1＋1＝0.
中考数学 第三讲 整式配套课件 北师大版
探索规律题实质是运用从特殊到一般的数学思想方法寻 找规律,一般需要经过观察、比较、归纳、猜想、验证等 手段来完成.
第二十八页，共39页。
9.(2011·泉州中考(zhōnɡ kǎo))先化简，再求值：(x+1)2+x(1-x), 其中x=-2. 【解析】原式=x2+2x+1+x-x2=3x+1;当x=-2时，原式=3× (-2)+1=-6+1=-5.
第二十九页，共39页。
【高手(gāoshǒu)支招】整式运算中平方差公式的推广应用 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2在整式的运算中应用非常广泛， 灵活运用该公式不仅可以提高运算的准确性，还可以提高运算的 速度，所以我们要掌握它的各种变化形式： (1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2; (3)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2; (4)(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2.
5.(2011·连云港中考)计算(jì suàn)(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，
则“□”中的数为( )
(A)-2
(B)2
(C)-4
(D)4
【解析】选D.由完全平方公式知，(x＋2)2=x2+2·x·2+22
=x2+4x+4，所以“□”中的数是4.
第二十三页，共39页。
6.(2010·日照中考)下列等式一定成立的是( ) (A)a2+a3=a5 (B)(a+b)2=a2+b2 (C)(2ab2)3=6a3b6 (D)(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab 【解析】选D.A中不是乘法，不能利用同底数幂的性质解题；B中， 在运用完全平方(píngfāng)公式时，应该是三项，还有中间的一 项2ab,此处漏掉;C中是积的乘方，每一个因式都要乘方，2的3次 方应该是8而不是6；利用多项式乘以多项式法则可知，D正确.
2015年秋季新版北师大版七年级数学上学期第3章、整式及其加减单元复习课件14
点评：这类题最忌胡乱猜测，一定要从条件中发 现重要信息．找出规律，进行验证．
考查图形变化规律型问题 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需 要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要 37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 ____枚棋子，摆第n个图案需要____枚棋子．
1 A. 132 1 B. 360 1 C. 495 1 D. 660
B )
3．如图，顺次连接边长为1的正方形
ABCD各边中点得A1B1C1D1，顺次连接
A1B1C1D1各边中点得正方形A2B2C2D2，…， 如此连接下去，则正方形AnBnCnDn的面积为
(
B
)
1 －n A．( ) 2 1 n－1 C．( ) 2 1n B．( ) 2 1 n－2 D．( ) 2
1 解析：(1)∵1×2＝ (1×2×3－0×1×2) 3 1 2×3＝ (2×3×4－1×2×3) 3 ⋮ 1 10×11＝ (10×11×12－9×10×11) 3 ∴以上各式相加得 1×2＋2×3＋…＋10×11 1 ＝ ×10×11×12＝440. 3 1 (2) n(n＋1)(n＋2)． 3 1 (3) ×7×8×9×10＝1 260. 4
考查数与式变化规律 观察下列等式： ①32－4×1＝12＋4；
②42－4×2＝22＋4；
③52－4×3＝32＋4；…
则第n个等式可以表示为__________________．
答案：(n＋2)2－4n＝n2＋4
阅读下列材料：
1 1×2＝ (1×2×3－0×1×2)， 3 1 2×3＝ (2×3×4－1×2×3)， 3 1 3×4＝ (3×4×5－2×3×4)， 3 由以上三个等式相加，可得 1 1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20. 3 读完以上材料，请你计算下各题： (1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝________； (3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.
中考数学一轮复习课件整式及因式分解
（1）x2y＋2xy＋y＝ y（x＋1）2 ；
（2）x3－xy2＝ x（x＋y）（x－y） ；
（3）x3－4x2＋4x＝ x（x－2）2 .
B
3n
6
y（x＋1）2
x（一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x＋1），请你写出一个符合条件的多项式： x2－1（答案不唯一） .
6ab
3m2＋3mn
m2－6m＋9
1－a2
－4x2yz
5a2－2b3
2x2－x－1
知识点4 因式分解
定义
把一个多项式表示成若干个整式的乘积的形式
基本方法
（1）提公因式法：ma＋mb＋mc＝⑬ m（a＋b＋c） ；（2）公式法 a.a2－b2⑭ （a＋b）（a－b） ； b.a2±2ab＋b2⑮ （a±b）2
a（a＋2）
（x＋2）（x－2）
4a（x－y）（x＋y）
2 022（x－1）2
6
1.（2023·毕节期末）代数式－7x的意义可以是（ C ）
A.－7与x的和
B.－7与x的差
C.－7与x的积
D.－7与x的商
A.x6
B.x6
C.x5
D.x9
A.3x4y5
B.－3x4y5
C.3x3y6
D.－3x3y6
a（a＋4）
（2＋x）（2－x）
（a＋4）2
－3ma（a2－2a＋4）
（x＋2）（x－4）
2a（2a＋b）（2a－b）
（x－y）（x－y－1）
2a·（a＋1）2
命题点1 列代数式及求值
1.当x＝－1时，代数式3x＋1的值是（ B ）
A.－1
B.－2
C.4
D.－4
2015中考数学总复习---整式及因式分解
例4 [2014·常州] 因式分解：x3－9xy2＝_x_(x_－__3_y_)_(．x＋3y) 解 析 x3－9xy2＝x(x2－9y2)＝x(x－3y)(x＋3y)．
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第18回页，归共2教8页材。
方法点析
(1)因式分解时，有公因式的要先提取公因式，再考虑是 否应用公式法或其他方法继续分解．
常数项
3．整式： 单项式和多项式 统你称会为合整式并．同类项吗?
4．同类项：多项式中所含
字母相同
并且
相同字母的指数 也相同的项，叫做同类项．
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第2页回，归共2教8页材。
考点2 整式的运算
类别
法则
整式的 整式的加减实质就是___合__并__同__类__项_____．一般地，几个 加减 整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项
解：原式＝a2＋4ab＋4b2＋b2－a2＝4ab＋5b2. 当a＝－1，b＝2时，原式＝4×(－1)×2＋5×22＝－8 ＋20＝12.
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第15回页，归共2教8页材。
方法点析
(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分 理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以 及整体和分类等数学思想．
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第12回页，归共2教8页材。
失分盲点
套用整式运算法则时“张冠李戴” 此类问题容易出错的地方是：①合并同类项时相同字 母的指数相加；②同底数幂相乘时指数也相乘；③受积的 乘方公式的影响，认为(a＋b)2＝a2＋b2正确．
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变式题 [2014·常州] 下列运算正确的是( C ) A．a·a3＝a3 B．(ab)3＝a3b
中考数学总复习整式及因式分解课件最新
-2(3x-1)=-6x+1
你还可以一边放送着音乐，一边做着家务.
-2(3x-1)=-6x-1 B.
【例2】 单项式
与3x2y是同类项,则a-b的值为(
)
2 3
-2(3x-1)=-6x+1
周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。
解析:
,ab +b+1,x +x -6是多项式,共3个,故选B.
注意去括号时,如果括号前面是负号,括号里各项的符号要改变.
考点梳理
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2.整式的乘除
(1)整式的乘法.
①单项式与单项式相乘:把系数、同底数幂分别相乘,作为积的
因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一
个因式.
②单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc.
③多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
考点梳理
自主测试
考点七 因式分解
1.因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解.
2.因式分解的方法
(1)提公因式法.
公因式的确定:第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数);
第二,确定字母或因式(取各项的相同字母);第三,确定字母或因式
的指数(取各相同字母的最低次幂).
考点梳理
自主测试
考点一 整式的有关概念
1.整式
单项式与多项式统称为整式.
2.单项式
单项式是指由数字或字母的积组成的式子,单独一个数或一个字
中考数学总复习：整式与因式分解--知识讲解(基础)【含解析】
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】中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）. （3）公式()=m nmna a的推广：(())=m n p mnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⋅n n nab a b 的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解 1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y 2与x 3y n的和是单项式，则n m= ．【答案】14【解析】由3x m+5y 2与x 3y n的和是单项式得3x m+5y 2与x 3y n是同类项，∴532m n +=⎧⎨=⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩ ， n m =2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算. 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式. 举一反三： 【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A 、-3B 、-1C 、D 、3 【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得 ，，应选C.2．下列各式中正确的是( ) A.B.a 2·a 3=a 6C.(-3a 2)3=-9a 6D.a 5+a 3=a 8【答案】A ；【解析】选项B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2·a 3=a 5，所以B 错；选项C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a 6，所以C 错；选项D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D 错；选项A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算. 举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A.2-3=18；42= ；C.235a a a = 正确 ；D.325a a a +=. 故选C. 【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488 关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212xxA．无 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.举一反三：【变式】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x2﹣81（2）（x2+y2）2﹣4x2y2（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）（4）6mn2﹣9m2n﹣n3．【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x2﹣9）=9（x+3）（x﹣3）；（2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2；（3）原式=3（a﹣b）（x+2y）；（4）原式=﹣n（9m2+n2﹣6mn）=﹣n（3m﹣n）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488 关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】 【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式： （1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2 （2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2． 【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）； （2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法. 【答案】C. 【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1， 由（2）可得：m =-1. 故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
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第3课时┃ 整式与因式分解
考点2 整式的运算
(1)整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项． (2)幂的运算性质： ①同底数幂的乘法性质：am·an＝________(m am＋n ，n 都是整数)； ②幂的乘方的性质：(am)n＝________(m ，n 都是整数)； amn ③积的乘方的性质：(ab)n＝________(n 为整数)； anbn ④同底数幂的除法性质：am÷an＝________(a am－n ≠0，m，n 都是 整数)； － 1 ⑤零指数、负整数指数幂：a0＝________(a ≠0)；a p＝ 1 ________(a ≠0，p 是正整数)． ap 提示：以上运算性质在具体解题中，有时需要逆用，比如逆用 n 积的乘方公式，得 anbn＝(________) . ab
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(4)整式的除法 分别相除 ， ①单项式除以单项式：把系数与同底数幂 __________ 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母 ，则连同 它的指数 ____________ 作为商的一个因式． 每一项 分别 ②多项式除以单项式：先把这个多项式的 ________ 除以单项式，再把所得的商________ ． 相加
解：原式＝x2＋2x＋1－2x＋y2－2xy＝(x－y)2＋1， 因为 x－y＝ 3，所以原式＝( 3)2＋1＝4.
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思想方法
整体思想——整体代入求代数式的值 此题是整体思想中的“整体代入求值”思想的体现． 先将原式利用整式的运 算转换为(x－y)2＋1，把 x－y＝ 3看成一个整体，把握 x－y＝ 3与(x－y)2＋1 之 间的关联，进行有目的地整体处理．最终求出(x＋1)2－2x＋y(y－2x)＝4.
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变式题
[2014· 东城二模] 已知 2x＋y＝4，求[(x－y)2－(x＋y)2＋y(2x－y)]÷ (－2y)的值．
y 解：原式＝(－4xy＋2xy－y2)÷ (－2y)＝(－2xy－y2)÷(－2y)＝x＋ . 2 y ∵2x＋y＝4，∴x＋ ＝2. 2
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(3)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘 ________， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的一个因式． ma＋mb＋mc ． ②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝_________________ ③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝________________ ma＋mb＋na＋nb ． ④乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝______________ ； a2－b2 2 ±2ab＋b2． 完全平方公式：(a± b)2＝a __________
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热考三 探究式的规律
例 4 [2014· 怀柔一模] 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到 一个菱形，如图 3－1①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一 个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得 到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第 4 个图形 8 中直角三角形的个数是________ ； 第 2014 个图形中直角三角形 4028 ； 第 n 个 图 形 中 直 角 三 角 形 的 个 数 是 的 个 数 是 ________ ______________________________________________________ 当 n 为奇数时，直角三角形的个数是 2(n＋1)，当 n 为偶数时，直角三角 形的个数是 2n __________________ ．
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热考二 整式的运算及其化简求值
例 2 [2014· 东城二模] 下列计算正确的是( D ) A．a3＋a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．(a2)3＝a8 D．a2·a3＝a5
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例 3 [2014· 北京] 已知 x－y＝ 3，求代数式 (x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．
第3课时 整式与因式分解
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考 点 聚 焦
考点1 整式的有关概念 单项式 (1)整式 多项式
提示：单独的一个数字或者字母是 ________式， 四 三 －2x2y＋3xyz2－1 是________ 次________ 项式． 所含字母 相同； (2)同类项的两个要素：①________ 相同字母的指数 ②__________________ 也相同． 提示：同类项与系数无关，与字母排序无关；几 个常数项也是同类项．
热考一 配方变形
例 1 [2013· 西城二模] 若把代数式 x2－8x＋17 化为(x－h)2＋k 5 的形式，其中 h，k 为常数，则 h＋k＝________．
[解析] ∵x2－8x＋17＝x2－8x＋16＋1， ∴x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，∴h＝4，k＝1，故 h＋k＝5.
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方法点析
把形如 ax2＋bx＋c 的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配 方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a2±2ab＋b2＝(a± b)2，可 见其基础就是完全平方公式．运用配方法可将代数式进行恒等变形，使其性质得 以凸显，在确定字母的值、代数式求值、解一元二次方程、求二次函数的最大值 (抛物线顶点坐标)等方面有着广泛的应用．
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考点2 因式分解
提公因式
运用公式
(a＋b)(a－b)
(a± b)2
逆变形 整式乘积
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考 情 分 析
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