02随机过程基本概念

随机过程的基本概念概念第二章随机过程的基本马春光machunguang@哈尔滨工程大学第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.12.1 随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.22.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程2第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.1 随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程在客观世界中，有许多随机现象表现为带随机性的变化过程，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多个随机变量来描绘，这就是随机过程.随机过程是概率论的继续和发展. 被认为是概率论的“动力学”部分. 它的研究对象是随时间演变的随机现象.事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述.对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果.例2.1.1当t (t≥0)固定时，电话交换站在[0, t]时间内收到的呼叫次数是随机变量，记为()()服从参数为的X t. X t) λt Poisson分布，其中λ是单位时间内平均收到的呼叫次数,且λ>0. 如果t从0变到+∞，t 时刻前收到的呼叫次数需用一族随机变量{X(t),t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机现象就是一个随机过程. 对电话交换站做一次实验，便可得到一个“呼叫次数—时间函数”(即呼叫次数关于时间t 的t函数x(t).2.1 随机过程的定义21这个“呼叫次数—时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量才能得到. 由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不同的“呼叫次数—时间函数”.例2.1.2电子元件或器件由于内部微观粒子（电子）的随212机热噪声引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热噪声电压需要用一族随机变量{V(t),t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个“电压—时间函数”v(t). 这个“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的.所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一个变量，即还是另一参数集上的函数. 所以，随机过程就是一族二元函数.定义2.1.1设(Ω, F , P)是一个概率空间，T 是一个实的参T t数集，定义在Ω和T 上的二元函数X(ω,t)，如果对于任意固定的t∈T，X(ω,t) 是(Ω, F , P)上的随机变量，则称{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T}为该概率空间上的随机过程（），简记为{(),}Stochastic Process X t), t∈T}.2.1 随机过程的定义21{X (ω,t), ω∈Ω, t∈T}：z固定t = t0∈T ，X(t0) 是一个随机变量（第i次试验值为x i(t0)）.z对随机过程做一次试验，即固定样本点ω∈Ω，得到一个参数t 的普通函数x(t) .2.1 随机过程的定义定义2.1.2设{X(t), t∈T}是随机过程，则当t固定时，212)X(t)是一个随机变量,称之为{X(t), t∈T}在t时刻的状态.随机变量X(t)(t固定，t∈T)所有可能的取值构成的集合,称为随机过程的状态空间，记为S.定义2.1.3设{X(t), t∈T}是随机过程，则当ω∈Ω固定时，X(t)是定义在上T不具有随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过程的一个样本函数. 其图像成为随机过程)的一条样本曲线（轨道或实现）.例2.1.3设X (t )=Vcos ωt ,﹣∞<t <+∞其中ω为常数，V 服从[0,1]区间[,]上的均匀分布，即1,01()0V v f v ≤≤⎧=⎨(1) X t ) ,﹣∞<t <+∞0,⎩其他()画出{(),}的几条样本曲线；(2) 求时随机变量X (t )的概率密度函数;30,,,t πππ=(3)求时X (t )的分布函数44ωωω2t πω=解(1);=0)=0;=122=(1) 取则; 取V 0,则x (t )0;取V 1，则x (t )=cos ωt. 这些都是t 的确定函数，即随机过程的样3V =()cos 3x t t ω本函数.(2) 当t =0时，X (0)=V ，故X (0)的概率密度函数就是V 的概率密度函数，即(0)1,01()0X x f x ≤≤⎧=⎨当时，，故的概0,⎩其他t π=1()cos 2X V V ππω==()X π率密度函数为4ω44ωω4ω⎧()412,0()20X x f x πω≤≤⎪=⎨⎪0,⎩其他3当时, ，故的概4t πω=331()cos 442X V V ππωωω==−3()4X πω率密度函数为312,0()2x f x π⎧−≤≤⎪=⎨时，()40,X ω⎪⎩其他ππππ当，故的概率密度函数为t ω=()cos X V V ωωω==−()X ω⎧()1,10()0,X x f x πω−≤≤=⎨⎩其他π(3) 当时，，不论V 取何值,2t ω=()cos 022X V ππωωω==均有，因此，从而()02X πω=(()0)12P X πω==()2X πω的分布函数为1,0x ≥⎧()2()0,0X F x x πω=⎨<⎩第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.1 随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程随机过程可以根据参数集T 和状态空间S 是离散集还是T S连续集分为四大类.1、离散参数、离散状态的随机过程t ∈T 这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定，X(t)是离散型随机变量即其取值也是离散的。

z例2.2.1（贝努利过程）考虑抛掷一颗骰子的试验，设X n 是第n(n≥1)次抛掷的点数,对于n=1,2,…的不同值，X是n, n≥1}构成一随机过程，称为贝不同的随机变量,因而{XnT={12}S={123456}努利过程,其参数集T{1,2,…}，状态空间S{1,2,3,4,5,6}.z例2.2.2设有一质点在x轴上作随机游动，在t=0时质点处x O t=1,2, (x)于轴的原点，在,,时质点可以在轴上正向或反向移动一个单位，作正向移动一个单位的概率为p，作反向移动一个单位的概率为q=1-p，在t=n时，质点所处的位置为Xn ，则{Xn,n=1,2,…}为一随机过程，其参数集T={0,1,2,…}，状态空间S={…,-2,-1,0,1,2,…}。

2、离散参数、连续状态的随机过程t∈T 这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的，X(t)是连续性随机变量。

z例2.2.3设X n，n=…,-2,-1,0,1,2,…是相互独立同服从标X n=…,-2,-1,0,1,2,…}，,,,,,,}为准正态分布的随机变量，则{n一随机过程，其参数集T={…,-2,-1,0,1,2,…}，状态空间S=(﹣∞,+∞)3、连续参数、离散状态的随机过程t∈T 这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的，X(t)是离散型随机变量。

z例2.2.4（Possion过程）设X(t)表示在期间[0,t]内到达服t∈[0 ,+∞X t 务点的顾客数，对于[,]的不同值，()是不同随机变量，因而{X(t)，t≥0}构成一随机过程，其参数集T= [0,+∞]，状态空间S={0,1,2,…}.2.2 随机过程的分类和举例4、连续参数、连续状态的随机过程t∈T 这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的，X(t)是连续型随机变量。

z例2.2.5设X(t)=Acos(ωt+Φ),﹣∞<t<+∞,其中A>0,ω是常数Φ-ππX t﹣∞<t<+∞,服从区间[,]上的均匀分布，则{(),}是一随机过程，其参数集T= (﹣∞,+∞)，状态空间S=[-A,A].第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.1 随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程定义2.3.1设{X(t), t∈T}是一个随机过程，对于任意固定的,(1),(2)是以随机变量，称t∈T,X t X tF(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R,t∈T为随机过程{X(t), t∈T}的一维分布函数；对于任意固定,t2∈T，X(t1), X(t2)是两个随机变量，称的t1F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1, X(t2)≤x2), x1,x2∈R, t1,t2∈T为随机过程的；二维分布函数,t2,…,t n∈T, X(t1), X(t2),…, X(t n)一般地，对于任意固定的t1n是个随机变量，称F(t1,t2,…,t n; x1,x2,…,x n)=P(X(t1)≤x1, X(t2)≤x2,…, X(t n)≤x n),x i∈R, t i∈T,i=1,2,…,nX t), t∈T n.为随机过程{(),}的维分布函数定义2.3.2设{X(t), t∈T}是一随机过程，其一维分布函……n……数，二维分布函数，，维分布函数，，的全体F={F(t1,t2,…,t n;x1,x2,…,x n), x i∈R, t i∈T, i=1,2,…,n, n∈N}称为随机过程{X(t), t∈T}的有限维分布函数族.容易看出，随机过程的有限维分布函数族具有对称性和相容性.1、对称性i ,i ,…,i n 1,2,…,n 设1,2,,n 是,,,的任一排列，则12121212(,,,; ,,,)(,,,; ,,)n n i i i i i i n n F t t t x x x F t t t x x x = 事实上，)(()()())≤≤≤121211221122(,,,;,,,,,,((),(),,())n n n n i i i i i i i i i i i i n n F t t t x x x P X t x X t x X t x P X t x X t x X t x ==≤≤≤ 1212(,,,;,,,)n n F t t t x x x =2、相容性m<n 设,则121212112(,,,;,,,)(,,,,,;,,,,,,)m m m m n m F t t t x x x F t t t t t x x x +=+∞+∞………………事实上，F t t t x x x P X t x X t x X t x =≤≤≤ 121211221122,(,,,;,,,)((),(),,())((),(),,()n n n n i i i i i i i i i i i i m m P X t x X t x X t x X t X t =≤≤≤<+∞<+∞ 1121;12(),,())(,,,,,,,,,,,,)m n m m n m F t t t t t x x x ++=+∞+∞定义2.3.3设{X (t ), t ∈T }是一随机过程，对于任意固定t ,t ,…,t ∈T , X t X t ),…, X t n 的1,2,,n ,(1),(2),,(n )是个随机变量，称1212(,,,;,,,)n n t t t u u u ϕ……1122{exp[(()()())]}exp[n n E j u X t u X t u X t u x t u x t =++++∞+∞+∞=++………11221212p[(()()())](,,,;,,,)n n n n j u x t dF t t t x x x −∞−∞−∞+∫∫∫ ?u i ∈R , t i ∈T, i=1,2,…,n, j=X ), ∈T .1−为随机过程{(t ),t }的n 维特征函数称{(,,,;,,,),,,1,2,,,}t t t u u u u R t T i n n N ϕΦ=∈∈=∈………为随机过程{X (t ), t ∈T }的有限维特征函数族.1212n n i i 例2.3.1设X (t )=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是相互独立的随机N (01)变量，分别服从正态分布(0,1)，试求随机过程{X (t ), t ≥0}的一维和二维分布.z 解先求一维分布. 是正态随机变量，因为E X t =EA+tEB=00,()t X t ∀≥[()]D [X (t )]=DA+t 2DB=1+t 2所以X (t )服从正态分布N (0,1+t 2),从而{X (t ), t ≥0}的一维分布为X (t )~ N (0,1+t 2), t ≥0再求二维分布，，从而121122,0,(),()t t X t A Bt X t A Bt ∀≥=+=+11)())()⎡⎤1212((),,X t X t A B t t =⎢⎥⎣⎦又A, B相互独立同服从正态分布，故(A,B)服从二维正态分布，从而((1),(2))也服从二维正态分布X t X t.E[X(t1)]=0，E[X(t2)]=0D[X(t 1)]=1+t12, D[X(t2)]=1+t22cov(X(t1),X(t2))=E[X(t1),X(t2)]-E[X(t1)]E[X(t2)]= E[(A+Bt1)(A+Bt2)]=1+t 1t21+),X(t2))的均值向量为0=(0,0)，协方差矩阵为故(X(t1⎡211221221111t t t B t t t ⎤++=⎢⎥++⎣⎦所以随机过程{X (t ), t ≥0}的二维分布为(X (t 1), X (t 2))~N (0,B ), t 1,t 2≥0例2.3.2令X (t )=Acost,﹣∞<t <+∞,其中A 是随机变量，其分布律为P(A=i )=, i=1,2,313试求(1) 随机过程{X (t ),﹣∞<t <+∞}的一维分布函数(2))(;), (;)42F x F x ππ(2) 随机变量{X (t ),﹣∞<t <+∞}的二维分布函数12(0,;,)F x x π32z 解(1)先求.由于，因此(;)4F x π()cos 442X A A ππ==()4X π的可能取值为，并且23, 2, 223221(()=)=(cos )(1)42423P X P A P A ππ====1(()=2)(cos 2)(=2)=443P X P A P A ππ===331(()=2)=(cos 2)=(3)42423P X P A P A ππ===20⎧于是0,22x <⎪⎪1,232(;)423x F x π⎪≤<⎪⎪=⎨,2232312x ⎪≤<⎪⎪1,2x ⎪≥⎪⎩)0πππ再求.由于因此只能取0值，于是(;2F x π()cos 0,22X A ==()2X 0,0)x π<⎧(;102F x x =⎨≥⎩(2)(2)因为(0,;,(0),F x x P X x X x ππ=≤≤121212()(()())33(cos0,cos)P A x A x π=≤≤123(,)A P A x x =≤≤122(,2))2P A x A x =≤≤⎧112212(),(2),2P A x x x P A x x x ≤≤=⎨≤>⎩所以1⎧1211220,2,12,2x x x x x x ≤<><⎪⎪或1211221211,2,122,132(0,;,)22321x x x x x x F x x π⎪≤≤<>≤<⎪=⎨或12112233,2,2,13231x x x x x x ⎪≤≤<>≤<⎪⎪或1211221,2,32,2x x x x x x ⎪≤≥>≥⎩或第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.1 随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程1、随机过程的均值函数设{X (t ), t ∈T }是一随机过程，是一个随机变,()t T X t ∀∈量，如果E [X (t )] 存在，记为m x (t )，则称m x (t ),t ∈T 为{X (t ), t ∈T }的均值函数.z 如果{X (t ), t ∈T }的一维分布函数为F (t;x )，那么)dF +∞t ∈Tz 随机过程的均值函数m x (t )在t 时刻的值，表示随机过程在()[()](;),x m t E X t xdF t x −∞==∫t 时刻所处状态取值的理论平均值，当t ∈T 时，m x (t ) 在几何上表示一条固定的曲线.2、随机过程的方差函数设{X(t), t∈T}是一随机过程，是一随机变量，∀∈,()t T X t(t)，则称D X(t)，t∈T 为如果D[X(t)]存在，记为DX{X(t), t∈T}的方差函数.z显然))]D X(t)=D[X(t)]=E[X(t)-m x(t)]2, t∈Tz随机过程的方差函数D X(t) 在t时刻的值，表示随机过程在t时刻所处状态取值离开均值的偏差程度，当t∈T时)，D X(t) 是一个普通的函数.3、随机过程的协方差函数X t ), t ∈T X s X t 设{(),}是一随机过程,(),()是两个随机变量，如果cov (X (s ),X (t ))存在，记为C x (s,t ),则称,s t T ∀∈C x (s,t ),s,t ∈T 为{X (t ), t ∈T }的协方差函数.显然C x (s,t )=cov (X (s ),X (t ))=E [(X (s )-m x (s ))(X (t )-m x (t ))]=E [X (s )X (t )]-m x (s ) m x (t ) , t ∈T随机过程的协方差函数Cx(s,t)在s,t∈T时刻的绝对值表示随机过程在时刻s,t所处状态的线性联系的密切程度，若C x(s,t)的绝对值较大，则在两个时刻s,t的状态X(s),X(t)线s t s t 性联系较密切；若Cx(s,t)的绝对值较小，则在两个时刻s,t 的状态X(s),X(t)线性联系不密切.4、随机过程的相关函数X t), t∈T X s), X ts t T∀∈设{(),}是一随机过程，，(),()是两个随机变量，如果E[X(s), X(t)]存在，记为Rx(s,t),则称R x(s,t), t),s,t∈T为{X(t), t∈T}的相关函数.5、随机过程的均方值函数X t ), t ∈T 设{(),}是一随机过程，是一随机变量，如果E [X (t )]2 存在，记为Φx (t )，则称Φx (t ),t ∈T 为{X (t ), t ,()t T X t ∀∈∈T }的均方值函数.6、随机过程数字特征的关系随机过程{X(t), t∈T}的协方差函数、相关函数和均值函数的关系为C x(s,t)= R x(s,t)-m x(s)m x(t) ，s,t∈T在协方差函数的定义式中，取s=t，则随机过程的方差函数和协方差函数的关系为D X(t)= C x(t,t), t∈T类似地，均值函数和相关函数的关系为Φx(t)= R x(t,t), t∈Tz从上述关系可以看出，均值函数和相关函数是随机过程的两个本质数字特征，其它的数字特征可以通过本质的数字特征获得.z随机过程的均值函数称为随机过程的一阶矩，均方值函数称为随机过程的二阶矩显然，相关函数、协方差函数.、方差函数也是随机过程的一种二阶矩。