14.2.2 完全平方公式(第二课时)
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
14.2.2(2)完全平方公式
莲都中学集体备课教案
2014 ----2015 学年度第一学期
学科数学执教教师授课时间年月日年级八年级课题14.2.2（2）完全平方公式 2 教学目标 1.掌握乘法的每一个公式的结构及含义，正确地运用公式。
2.感受乘法公式从一般到特殊的过程。
3.培养良好的分析思想及逻辑思维。
教学重点正确运用乘法公式
教学难点正确运用乘法公式
教学设计
一．回顾交流
1.请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容。
2.这两个公式有什么区别？如何使用？
3.去括号法则是什么？
平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
去括号时，如果括号前面是正号，去括号时，括号里面的项的符号不改变；如果括号前
面的负号，去括号时，括号里面项的符号要改变。
二．新课讲授
在运算过程中，我们常用到去括号法则，如：
22
a b a b c a b c
a b c a b c
反过来，a b c a b c
a b c a b c
因此，我们得到添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项符号都不改变；如果括号前面是负号，括到括号里的各项符号改变。
三．范例点击
例1. 运用乘法公式计算。
《14.2.2_完全平方公式》.PPT课件
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
14.2.2完全平方公式(二) 公开课课件
14.2.2 完全平方公式（二）
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加 (或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(ba)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?
人生的价值，并不是用时间，而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
(2)(－2a＋3b)2＝__4_a_2－__1_2_a_b_＋__9_b_2__.
3.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
4.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别 为a与b的两个圆,求剩下的钢板的面积.
(1)a +b-c =a+( b-c ); (2)a–b–c = a–( b+c ) ; (3)a-b +c = a–( b-c );
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
(4)a+b+c = a-( -b-c ).
例5 运用乘法公式计算: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
小结
• 本节课你尝到了哪些知识？还有什么困惑？
1．下列计算正确的是( C ) A．(a＋m)2＝a2＋m2
B．(s－t)2＝s2－t2
DC．. 2(mx＋12n2)＝2＝4mx22－＋2mxn＋＋14n2
2．计算：(1)(2a－5b)2＝__4_a_2－__2_0_a_b_＋__2_5_b_2；
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)2 =a2+ab+ab+b2 =a2+b2+2ab
(a-b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2+b2-2ab
其中解x：=1原，式y==2(.2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2) =(x2+y2)2 =x4+2x2y2+y4
当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25.
课堂小结
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4a=2+b2+2ab .
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)若4x2+mx+9是完全平方式，则 ±12
m=解析：（. 1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10. （2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
2.化简求值：［2x2-(x+y)(x-y)］［(-x-y)(yx)+2y2］，
(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这个公 式叫完全平方公式.
思考 你能根据下图中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式2
知识点三：完全平方公式和平方差公式的综合运用 计算：(x＋y)2－(x＋y)(x－y)． 解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy.
5.计算：4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)． 解：原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29.
根据图(2)所示图形的面积可以写出的一个等式是 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 .
2．如果 x2＋mx＋1 是一个完全平方式，那么 m 的是 2或－2 .
知识点二：完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
解：∵a＋b＝5，ab＝2， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
精典范例
6.【例 1】如图，利用面积的等量关系验证的公式是( D ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 小结：此题是有背景的选择题，运用数 与形的结合来判断正确选项.
变式练习
(6)ab＝21a＋b2－a2＋b2； (7)ab＝a＋2 b2－a－2 b2.
3.下列计算正确的是( C ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 D.(x－1)2＝x2－1
4．运用完全平方公式计算： (1)(2a＋5b)2; (2)(100－2)2； 解：(1)原式＝4a2＋20ab＋25b2. (2)原式＝1002－400＋4＝9604.
《14.2.2 完全平方公式》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12八年级上册
《完全平方公式》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 学生能够理解并掌握完全平方公式：两数和（或差）的平方等于两数平方之和，再加上（或减去）这两个数的积的2倍。
2. 培养学生的观察、理解和推理能力，以及运用公式解决实际问题的能力。
3. 通过公式的教学，激发学生对数学的兴趣和热爱。
二、教学重难点：1. 教学重点：让学生理解并记住完全平方公式的内容和形式。
2. 教学难点：如何让学生在实际问题中灵活运用完全平方公式，以及如何引导学生发现和总结公式的规律。
三、教学准备：1. 准备一些实际生活中的完全平方公式的例子，如边长为a 的正方形面积的计算等。
2. 准备一些练习题，用于学生理解和运用公式。
3. 准备黑板和粉笔，用于教室教学。
四、教学过程：本节课的教学设计主要分为四个环节：1. 复习引入在复习引入环节，我会先回顾平方差公式的内容，让学生思考平方差公式的结构特征，然后引出完全平方公式。
通过提问的方式，让学生思考两个数和、差、平方的干系，从而引出完全平方公式的内容。
设计思路：通过复习引入，可以帮助学生回忆以前学过的知识，同时为新课内容做好铺垫。
通过引导学生思考两个数之间的干系，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的思考能力。
2. 探索钻研在探索钻研环节，我会组织学生进行小组合作学习，让学生通过观察、猜想、验证、交流等活动，探究完全平方公式的结构特征和应用方法。
我会给学生提供一些例题和练习题，让学生通过练习稳固所学知识。
设计思路：小组合作学习可以培养学生的合作认识和团队精神，让学生在交流中互相学习、互相帮助，共同提高。
通过例题和练习题的讲解，可以帮助学生更好地理解公式的内容和应用方法。
3. 教室小结在教室小结环节，我会引导学生回顾本节课的主要内容，包括公式的内容、结构特征、应用方法等。
同时，我也会让学生自己总结本节课的收获和感受，帮助学生梳理知识体系，加深对知识的理解和记忆。
设计思路：教室小结可以帮助学生回顾本节课的重点内容，加深对知识的理解和记忆。
14.2.2完全平方公式之添括号法则
添括号法则：
如果括号前面是 “+”号，括到 括号里的各项都 不变号； 如果括号前面是 “-”号，括到 括号里的各项都 改变符号。
用完全平方公式
逆用平方差公式
的值．
2 2
（x -1） 原式= x 2x 1 4x 4 4 x 2x 1
( 3)
3.
2
5.计算:（x+3）2-x2.
【解法1】
你有几种解法？
【解法2】
原式=（x+3+x)(x+3-x) 原式=x2+6x+9-x2 =(2x+3)×3 =6x+9.
=6x+9.
5) a+b-c=b-(___) c-a
计算：(3)(a+b+3)(a+b-3) 观察 & 思考 若不用一般的多项式乘以多项式
, 怎样用公式来计算 ?
分析
因为两多项式不同, 即不能写成 ( )2,故不能用完全平方公式来计
算 ，只能用平方差公式来计算
解: (a+b+3) (a+b−3) =[ (a+b) +3] [ (a+b) -3] 2 2 =( a+b ) − 3 2 2 =a +2ab+b －9
2 计算:(2)(x+5) –(x-2)(x-3)
解: