两数和乘以这两数的差(平方差公式)
两数和乘以两书差公式教学设计
13.3.1两数和乘以这两数的差(即平方差公式)教学设计教学目标1．在已有的整式乘法的知识中摸索、探究，提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式。
2．使学生会正确运用公式进行整式乘法运算，感受公式的便捷。
3、通过剪纸拼图的活动，体会图形与数学恒等式之间的联系，感受数学的乐趣。
4、注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。
教学重点和难点重点：两数和乘以这两数的差的公式的的结构特征及应用。
难点：正确运用两数和乘以这两数的差的公式。
学具准备剪刀、纸片教学过程设计一、情境引入1.从前有一个狡猾的地主，他将一块长为x米的正方形一边增加2米，另一边减少2米，结果他说这块土地的面积不变，你觉得呢？现在这块土地的面积怎么表示？我们已经学过了整式的乘法，多项式与多项式相乘的法则是什么?你会计算(x+2)(x-2)的结果吗？2.计算：（1）（x+1）(x-1)（2）（x+3）(x-3)（3）（2x+1）(2x-1)（4）（x+a）(x-a)计算后大家讨论并交流，所乘的两个式子具有怎样的特点，计算的结果有几项，具有怎样的特征？让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？从而引出课题——乘法公式：两个数的和乘以这两个数的差(即平方差公式) （教师板书课题）二、探究新知1、教师评价学生的发现，从特殊中总结出一般性，得出两数和乘以它们的差这一乘法公式。
2、合作拼图，用图形的面积再一次说明公式，让学生用语言叙述公式。
二、知识应用例1 计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x)=12-（2x）2=1- 4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。
例2 计算(2a+3b)(3b-2a)解：(2a+3b)(3b-2a)＝(3b)2- (2a)2＝9b2- 4a2本例题由学生交流完成。
平方差公式
平方差公式
[说教法] 从“动态的数学观”出发，在教学过程中，大力提倡学生主 动参与，根据建构主义理论，创造有利条件，鼓励学生对同一个 问题积极寻求不同的思路、依靠他们自己的活动去探索数学，以 便培养学生的实践能力和创新意识。 从而主要运用了：探究式教学法 [说学法] 我坚持以“学生发展为本”，充分体现学生学习的个性化、 自主化、协作化。引导学生在学生与教师、学生与学生的交流和 讨论中进行学习。 从而在教学过程中，主要引导学生开展“独立探究与合作性 学习有机结合”。 [说教学过程] 提出问题,明确目标 独立探究（自学教材、尝试独立推导） 合作交流，揭示特征，得出结论 分层应用 总结方法， 形成技能
（2）999×1001
平方差公式
C组：
1、（x－1）(x2 +1)(x+1)
2、(a－3)(a+4)(a+3)(a－4)
3、(2a－5b)(2a+5b)(4a2+25b2) 4、20042－2005×2003
平方差公式
课堂小结： 1、知识点小结：引导学生与老师、学生与学生讨论 本节课所学的知识以及在应用平方差公式解题时应把握 的要点。 2、学生自身能力方面，注意自身观察力的培养、注 重解题技巧的形成。
平方差公式
[教材所处的地位] 本节课是八年级上册第13章第3部分内容――乘 法公式的第一课时，两数的和乘以这两数的差（即 平方差公式）。平方差公式既为符合公式特征的整 式乘法运算带来简便；又为后续学习利用公式法分 解因式奠定基础；同时，平方差公式在“正与逆” 两方面的灵活运用有助于学生数学解题技能的提高 和发展学生的数学思维。为此，它在初中代数教学 与解题应用中占有重要地位。 根据课标精神和对教材的分析，结合实际，制 定如下教学目标：
12.3.1 两数和乘以这两数的差
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用公式计算： (1)(a+3)(a-3) (2)(2a+3b)(2a－3b) (3)(2c+1)(1-2c)
练习1
运用公式计算： (1)(3x+2 )(3x-2)； (2)(b+2a)(2a-b); (3)(-2x-y)(2x-y)
运用公式 (a+b)(a－b)=a2－b2 时，如何确定 a和b？
归纳
(1) (x+1)(x－1) x 2 1 (2)(a+2)(a－2) a 4
2
(3) (3－x)(3+x) 9 x
2
2
(4) (2x+1)(2x－1) 4 x 1
观察上述算式，你发现什么规律？ 运算出结果后， 你又发现什么规律？ 等号的一边：两个数的和与它们的差的积， 等号的另一边：这两个数的平方差.
【跟踪训练】
1.下列多项式乘法中，能用两数和乘以这两数 差的公式计算的是( )
（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a) ；
（3）(－a+b)(a－b) （4）(x2－y)(x+y2)； （5）(－a－b)(a－b) （6）(c2－d2)(d2+c2).
【总结提升】两数和乘以这两数的差的公式的“五” 种变形 1.位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.
=______=______=______.
5.求值： (2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)·(216+1)-
华师版八上数学 两数和乘以这两数的差
= (2a)2 - 32
= 4a2 - 9.
(3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)；
解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2 = 4x4 - y2.
(4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5). 解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x)
改正方法①：原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)]
= - (9a2 - 4)
= - 9a2 + 4.
改正方法②：原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a)
= ( - 2)2 - (3a)2
= 4 - 9a2.
2. 利用平方差公式计算： (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = a2 - (3b)2
= 3x2 - 5x - 10.
3.计算： 20212 - 2020×2022. 解： 20212 - 2020×2022
= 20212 - (2021 - 1)(2021 + 1)
= 20212 - (20212 - 12 ) = 20212 - 20212 + 12 = 1.
4.利用平方差公式计算: （1）(a - 2)(a + 2)(a2 + 4) 解：原式 = (a2 - 4)(a2 + 4)
典例精析 例1 填一填：
(a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) ( - 3 + a)( - 3 - a) (1 + a)( - 1 + a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x)
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
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1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
两数的和乘以两数的差
两数和乘以这两数差编写人：八年级D段【学习目标】1、探索平方差公式，认识平方差公式的结构特点。
2、会运用平方差公式进行计算。
【重点难点】重点：平方差公式。
难点：会运用平方差公式进行计算 .【学法指导】小组讨论合作探究【自主学习、夯基寻困】自学:1、多项式乘以多项式的法则：2、（1）利用多项式乘以多项式的法则完成下面各题.①（x＋1)( x－1）= ②（x＋2)(x－2）=（m＋3)(m－3）=【合作探究、互助解惑】探究：根据上面的计算，你能找出下面问题的答案吗？思考：①左右两边的算式有什么特点？②它们的结果有什么共同的特征？③你能用字母a、b表示出你的发现吗？归纳：1、左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项( ),另一项互为( )；2、右边是二项式中的两项的( )，(即相同项的平方减去相反项的平方); 思考：有几种方法来验证你发现的规律？总结：平方差公式：（a＋b）（a－b）=语言描述：这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
注意：公式中的字母可以表示数,也可以表示代数式.例1：计算：练习：灵活运用计算：(1)（1+2c ）(1-2c) (2)(-2x-y)(2x-y) (3)))((22n m n m -+ （4）31603259⨯【同步演练、拓展提升】1、下列计算错误的是（ ）A 、4)2)(2(2-=+-x x xB 、19)13)(13(2-=+-a a a C 、22))((n m n m n m -=+--- D 、24)2)(2(xx x -=+-+ 2、在))()(1(b a b a -+； ))(2)(2(b a b a +-； ))()(3(22b a b a +-； ))()(4(b a b a +---的计算中，能利用公式22))((ba b a b a -=-+的是（ ） A 、（1）（2） B 、（1）（4） C 、（2）（3） D 、（1）（3）（4）3、下列运算中，正确的是（ ）A 、（m+5）（m-5）=m ²-5B 、(3x+2)(3x-2)=3x ²-4C 、(3x-2y)(3x+2y)=9x ²-4y ²D 、(a+2)(a-3)=a ²-64、计算(1) （y-x ）（-y-x ） （2）（-2x+y ）（-2x-y ） （3）))((a b b a ---（4)(-3m ²+0.5)(-3m ²-0.5) （5）49×51 （6）59.8×60.2（1）（a+3）(a-3) (2)(2a+3b)(2a-3b)。
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》课件
=-(9a2-4)
=-9a2+4;
改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)
=(-2)2-(3a)2
=4-9a2.
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（3）51×49； =(50+1)(50-1) =502－12
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.
典例精析
例1 填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 不对
平方差完全平方公式
【知识点】一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习：1、计算下列各式： （1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。
2、其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
随堂练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x6、计算：（1）()()c b a c b a --+- （2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算：102×98； 59.8×60.2；运用平方差公式计算：完全平方公式探索：一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
平方差公式、完全平方公式-2021-2022学年七年级数学下册精讲与精练高分突破(北师大版)
1.5-1.6 平方差公式、完全平方公式1、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
()()22b a b a b a -=-+2、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
()ab b a b a 2222++=+ ()ab b a b a 2222-+=-常见错误：()222b a b a +=+ ()222b a b a -=-题型一：运用平方差公式进行运算1．（2022·全国·七年级）已知（2x ＋3y ）2＝15，（2x ﹣3y ）2＝3，则3xy ＝（ ） A ．1B ．32C ．3D ．不能确定2．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ） B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ） C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）3．（2021·黑龙江大庆·七年级期中）记()()()()()2481212121212nx =++++⋯+，且12812x +=，则n =（ ）．A ．128B ．32C ．64D ．16题型二：平方差公式与几何图形4．（2022·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B ．()2222a b a ab b -=-+C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()2a ab a ab -=-．5．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2021·广东深圳·七年级期中）有两个正方形A ，B ．现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A 和两个正方形B 得图丙，则阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31题型三：运用完全平方公式进行运算7．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算：2(2)x y -=（ ）A ．2244x xy y -+B ．2242x xy y -+C ．224x yD ．224x y +8．（2021·浙江湖州·七年级期末）已知()28a b +=，()22a b -=，则22a b +的值是（ ） A ．3B ．5C ．6D ．109．（2022·江苏·七年级专题练习）式子()2a b +加上哪一项后得()2a b -（ ） A ．2ab -B ．3ab -C ．4ab -D ．0题型四：完全平方公式的变形求值10．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）已知225a b +=，2ab =-，则()2a b +的值为（ ） A ．1B ．9C ．3D ．1-11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知2x y -=，12xy =，那么32233x y x y xy ++的值为（ ） A ．3B ．6C ．132D ．13412．（2021·辽宁·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）若4a b +=，2ab =-，则22a ab b -+的值是（ ） A ．-11B ．11C ．22D ．-22题型五：完全平方公式在几何图形的应用13．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）如图，已知点C 是线段AB 上的一动点，分别以AC ，BC 为边向两边作正方形ACDE 与正方形CFGB ，若AB ＝8，且两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．7B ．7.5C ．14D ．1514．（2021·山东威海·七年级期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则下列说法：①a 2+b 2=25，①a －b =1，①ab =12，①a +b =7．正确的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①15．（2022·江苏·七年级专题练习）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16题型六：完全平方式16．（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）若2924a ab k ＋＋是完全平方式，则k 的值为（ ） A ．16b 2B ．4b 2C ．±8b 2D ．±16b 217．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x 2+kx +9是完全平方式，则k 的值是（ ） A ．6B ．﹣6C ．±6D ．±318．（2021·四川达州·七年级期末）若代数式x 2﹣16x +k 2是完全平方式，则k 等于（ ） A ．6B ．64C ．±64D ．±8一、单选题19．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）下列能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b --+B ．()()a b a b --+C ．()()a b b a -+-+D ．()()-+--a b b a20．（2022·河北石家庄·八年级期末）计算()()0.10.30.10.3x y x y +-的结果为（ ） A ．220.010.09x y - B ．220.010.9x y - C ．220.10.9x y -D ．220.10.3x y -21．（2021·山东威海·期中）计算24(1)(1)(1)(1)a a a a +-++的结果是（ ） A ．81a -B ．8+1aC ．161a -D ．161a +22．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）A ．a 2﹣b 2B ．a 2+b 2C ．abD ．2ab23．（2022·重庆·模拟预测）下列运算正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2 B ．（a 3）2＝a 5 C ．a 5÷a 3＝a 2D ．a 3+a 2＝a 524．（2022·福建漳州·期末）下列计算正确的是（ ） A ．（m 3）2＝m 5B ．3m 2n •mn ＝3m 3n 2C ．（m ﹣2）（m +1）＝m 2﹣m +2D ．（m ﹣1）（1﹣m ）＝m 2﹣125．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在边长分别为a ，b 的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a -b ）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（ ）A ．2()a a b a ab +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222()2a b a ab b +=++D ．222()2a b a ab b -=-+26．（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）先化简，再求值：2b 2+（a +b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝13，b ＝﹣6．27．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）用乘法公式计算： (1)1002－200×99＋992； (2)(x －2y ＋3z )(x －2y －3z )．一：选择题28．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a ，b 为实数，满足ab >0，且||20a b +-=，当a －b 为整数时，ab 的值为（ ）A ．14或34B ．1或14C ．34或1D ．14或1229．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级开学考试）如果281x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A ．9B ．±9C ．18D ．±1830．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）下列乘法公式运用正确的是（ ） A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2 B ．(m ＋1)(m －1)＝m 2－1 C ．(2x －1)2＝2x 2＋4x －1 D ．(a ＋1)2＝a 2＋131．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）下列式子中一定成立的是（ ） A ．（x ＋2y ）2＝x 2＋4y 2 B ．（x ＋5）（x －2）＝x 2－10 C ．（－x ＋y ）2＝（x －y ）2D ．（x ＋2y ）（x －2y ）＝x 2－2y 2 32．（2022·广东广州·八年级期末）小张利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图①所示的图形，则根据图①的面积关系能验证的恒等式为（ ）A ．()2222a b a ab b +=++ B ．()222244a b a ab b +=++ C ．()()224a b a b ab +=-+D ．()2222a b a ab b -=-+33．（2022·广东中山·八年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（ ）A ．40B ．492C ．20D ．2334．（2022·山东临沂·八年级期末）已知2211244m n n m +=--，则22m n - 的值等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．-2D ．1435．（2022·天津和平·八年级期末）下列计算正确的是（ ） A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4 C ．（a +2）2＝a 2+2a +4 D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +836．（2022·黑龙江·云山农场中心学校七年级期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：980116978595103. 设两因数分别为a 和b ，写出蕴含其中道理的整式运算（ ） A ．22()()2a b a b ab +--=B ．222()()2a b a b ab +-+=C ．22()()22a b a b ab +-+= D ．22()()22a b a b ab +--= 二、填空题37．（2022·福建漳州·八年级期末）若a 2﹣b 2＝6，a +b ＝2，则a ﹣b ＝_____．38．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）计算：12－22＋32－42＋52－62＋…＋1992－2002＝________． 39．（2022·山东淄博·八年级期末）已知，实数a 满足(1)1a a +=，则2120211a a ++=+_______． 40．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）若216x mx ++是关于x 的完全平方式，则m =________． 41．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知x ，y 满足2()2()10x y x y ---+=． （1）x y -的值为___________；（2）若226x y +=，则xy 的值为___________．42．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x ，y 的多项式x 2﹣2kxy +16y 2是完全平方式，则k ＝_____． 43．（2022·重庆永川·八年级期末）已知x 、y 均为实数，且5x y +=，2211x y +=，则xy =______．44．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，点C 是线段AB 上一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形ACDE 和BCFG ，已知AB ＝10，两正方形的面积和S 1+S 2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____．三、解答题45．（2022·吉林长春·八年级期末）先化简，再求值：2（a +1）（a ﹣1）﹣a （2a ﹣3），其中a =16．46．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1)2103102104-⨯； (2)299．47．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋1a ＝3，那么a2＋21a＝_____；若a－1a＝3，那么a4＋41a＝_____．48．（2022·江西·南昌市外国语学校八年级期末）已知5a b+=，94 ab=．(1)求22a b+的值；(2)求-a b的值．49．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张可拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1 ；方法2 ．(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为；(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；①已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．50．（2022·福建泉州·八年级期末）乘法公式222()2a b a ab b+=++给出了a b+、22a b+与ab的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．(1)若5a b +=，3ab =，求22a b +的值；(2)若m 满足22(11)(9)10m m -++=，求(11)(9)m m -+的值；(3)如图，点E 、G 分别在正方形ABCD 的边AD 、AB 上，且1BG DE =+，以AG 为一边作正方形AGJK ，以AE 的长为边长过点E 作正方形GFIH ，若长方形AEFG 的面积是2116，求阴影部分的面1．B 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：2(23)15x y +=，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=， 6412y x ∴⋅=，332xy ∴=， 故选：B ． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 2．B 【解析】 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可． 【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键． 3．C【分析】先在前面添加因式(2−1)，再连续利用平方差公式计算求出x ，然后根据指数相等即可求出n 值． 【详解】 解:()()()()()2481212121212n x =++++⋯+= ()()()()()()248211212121212n-++++⋯+=()()()()()22482112121212n -+++⋯+=()()2112n n -+=221n -， ①12812x +=, ①21282112n -+=， 即 212822n =， ①2128n =， ①n =64. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式(2−1)然后就能依次利用平方差公式计算了． 4．C 【解析】 【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，由于S 长方形B =S 长方形C ， 因此有S 长方形A +S 长方形B =S 长方形A +S 长方形C ， 而S 长方形A +S 长方形B =（a +b ）（a -b ），S 长方形A +S 长方形C =S 长方形A +S 长方形C +S 长方形D -S 长方形D ， =a 2-b 2，①有（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 5．A 【解析】 【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】设正方形,A B 的边长分别为,a b ，由图甲和图乙，建立关系式，再根据图丙的阴影部分面积结合关系式即可求得． 【详解】设正方形,A B 的边长分别为,a b （0a b >>），由图甲可得2()1a b -= 由图乙可得：222()12a b a b +--= 即212ab =6ab = 2()1a b -=221213a b ab +=+=222()2131225a b a b ab ∴+=++=+=5a b ∴+=±，1a b -=± 0a b >>5a b ∴+=，1a b -= 图丙的阴影部分面积为： 222(2)32a b a b +-- 22224432a ab b a b =++--224a ab b =+-()()4a b a b ab =+-+5146=⨯+⨯29=．故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，求一个数的平方根，平方差公式，完全平方式与几何面积，解题的关键是掌握完全平方公式． 7．A 【解析】根据完全平方公式展开即可得． 【详解】解：()()22222222?2?44x y x x y y x xy y -=-+=-+， 故选：A ． 【点睛】题目主要考查整式乘法中的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 8．B 【解析】 【分析】根据完全平方公式得到2228a ab b ++=①，2222a ab b -+=①，然后把两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：①()28a b +=， ①2228a ab b ++=①， ①()22a b -=， ①2222a ab b -+=①， ①＋①得，222210a b +=， ①225a b +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知222()2a b a ab b ±=±+是解题的关键． 9．C 【解析】 【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ ，即可求出答案． 【详解】解：由于()()224a b a b ab +=-+ ， ①()()()224a b ab a b ++-=- ，【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，本题属于基础题型． 10．A 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：225a b +=，2ab =-，222()252(2)1a b a b ab ∴++=+⨯-+==，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握：222()2a b a ab b ±=±+． 11．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值． 【详解】解：因为2x y -=，12xy =， 所以()24x y -=， 22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D 【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键． 12．C 【解析】 【分析】把4a b +=两边平方，利用完全平方公式化简，将2ab =-代入计算即可求出2220a b +=，由此即可求得答案． 【详解】 解：①4a b +=①两边平方得：2()16a b +=， 即：22216a b ab ++=， 又①2ab =-，①2216220a b ab +=-=， ①2220(2)22a ab b -+=--= 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键． 13．A 【解析】 【分析】设大正方形边长a ，小正方形边长b ，利用完全平方公式的展开求ab 的值，再求阴影面积； 【详解】解：设AC =a ，BC =b ，则a ＋b =8， ①()2222a b a b ab +=++=64， ①两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36， ①22a b +=36，①2ab =64-36=28，即ab =14， ①阴影部分面积=12ab ⨯=7故选：A 【点睛】此题考查完全平方公式()2222a b a b ab +=++的几何运用，熟记公式是解题关键．14．D 【解析】 【分析】由大的正方形的边长为,c 结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为,a b - 结合小正方形的面积可判断①，再利用2221,a ab b -+= 结合2225,a b +=可判断①，再由2222524,a ab b ++=+可判断①，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：大正方形的边长为,c∴ 22225,a b c +== 故①符合题意；用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则小正方形的边长为：,a b - ()21,a b ∴-= 则1a b -=（负值不合题意舍去）故①符合题意；()21,a b -=2221,a ab b ∴-+= 而2225,a b +=2521,ab ∴-=12,ab ∴= 故①符合题意；2225,a b +=2222524,a ab b ∴++=+()249,a b ∴+=7a b ∴+=（负值不合题意舍去）故①符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键. 15．B 【解析】 【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，由图1可得，（a +b ）2-4ab =35， 即a 2+b 2=2ab +35①，由图2可得，（2a +b ）（a +2b ）-5ab =102， 即a 2+b 2=51①， 由①①得，2ab +35=51， 所以ab =8，即长方形的面积为8， 故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法． 16．A 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值． 【详解】解：①2924a ab k ＋＋是完全平方式， ①216k b =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构进行求解即可．k 为首位两数乘积的2倍． 【详解】∵x 2+kx +9＝x 2+kx +32，x 2+kx +9是完全平方式， ∴kx ＝23x ±⋅⋅， 解得k ＝±6． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 18．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：①x 2﹣16x +k 2是一个完全平方式， ①x 2﹣16x +k 2=x 2﹣16x +64， ①k =±8． 故选：D ． 【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 19．D 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解． 【详解】解：A 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=---=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=-++=-+，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C 、()()()()()2a b b a a b a b a b -+-+=--⨯-=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、()()()()()()22a b b a a b a b a b a b a b -+--=--⨯-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；故选：D 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式()()22a b a b a b -+=-是解此题的关键．20．A 【解析】 【分析】根据平方差公式直接计算即可． 【详解】解：原式＝（0.1x ）2﹣（0.3y ）2 ＝0.01x 2﹣0.09y 2， 故选：A ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 21．A 【解析】 【分析】按照从左到右的顺序依次利用平方差公式进行计算． 【详解】解：（a +1）（a -1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 2-1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 4-1）（a 4+1）， =a 8-1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，难点在于连续利用公式进行运算． 22．D 【解析】 【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：()2221122222a b a b ab +-⨯-⨯=， 故选：D ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键．23．C【解析】【分析】根据整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即本选项错误，不符合题意；B、（a3）2＝a6，即本选项错误，不符合题意；C、a5÷a3＝a2，即本选项正确，符合题意；D、a3，a2不是同类项，不能合并，即本选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．24．B【解析】【分析】根据幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式即可求出答案．【详解】解：A、原式=m6，故A不符合题意．B、原式=3m3n2，故符合题意．C、原式=m2-m-2，故C不符合题意．D、原式=-（m-1）（m-1）=-m2+2m-1，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式，本题属于基础题型．25．D【解析】【分析】从整体直接列式和从部分和差计算列式表示出所剪去的正方形的面积，可得到此题的结果．【详解】即（a -b ）2=a 2-2ab +b 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整式表示其面积． 26．2ab ，4-． 【解析】 【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将,a b 的值代入计算即可得． 【详解】解：原式()()2222222b a b a ab b +---+=2222222b a b a ab b =+--+-2ab =，将1,63a b ==-代入得：原式()122643ab =⨯⨯-=-=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 27．(1)1(2)x 2－4xy ＋4y 2－9z 2 【解析】 【分析】（1）逆用完全平方公式计算即可；（2）先用平方差公式，再用完全平方公式计算． (1)解：原式=1002－2×100×99＋992=(100-99)2=1； (2)解：原式=(x －2y ＋3z )(x －2y －3z ) =(x -2y )2-(3z )2 = x 2－4xy ＋4y 2－9z 2． 【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a ±b )2=a 2±2ab +b 2；平方差公式是28．C 【解析】 【分析】根据20a b +-=，可得2(a b)4+=，变形得出2()44a b ab -=-．设222(2)a b a ab b t -=-+=，可得到44tab -=，根据a −b 为整数，ab >0，即可确定t 为0或1，问题得解． 【详解】解：①20a b +-=， ①2(a b)4+=， ①2()44a b ab -=-． 设()2a b t -=， 则44ab t -=，即44tab -=． ①a −b 为整数，ab >0， ①t 为0或1， 当t =0时，ab =1；当t =1时，ab =34；故选：C 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键． 29．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式形式，这里首末两项是x 和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和9乘积的2倍． 【详解】解：281x kx -+是一个完全平方式，∴首末两项是x 和9这两个数的平方，2918kx x x ∴-=±⨯=±，解得18k =±． 故选：D ．本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．30．B【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A、（a＋b）（b－a）＝b2－a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（m＋1）（m－1）＝m2－1，原计算正确，故此选项符合题意；C、（2x－1）2＝4x2－4x＋1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a＋1）2＝a2＋2a＋1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2．31．C【解析】【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式逐项排查即可解答．【详解】解：A、（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2，故本选项错误；B、（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10，故本选项错误；C、（－x＋y）2＝（x－y）2，故本选项正确；D、（x＋2y）（x－2y）＝x2－4y2，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．32．C【解析】整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用1个小正方形的面积加上4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】①大正方形边长为：()a b +，面积为：()2a b +；1个小正方形的面积加上4个矩形的面积和为：()24a b ab -+； ①()()224a b a b ab +=-+． 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键． 33．C 【解析】 【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可 【详解】解：阴影部分面积等于()2221122a b a a b b +--+22111222a b ab =+- ()21322a b ab =+- ①7a b +=，3ab =，①阴影部分面积等于213732022⨯-⨯=故答案为：C 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键． 34．C 【解析】 【分析】先将原式变形为221111044m m n n +++-+=，再根据完全平方公式，可得221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到1110,10m n +=-= ，进而得到2,2m n =-= ，即可求解．【详解】解：①2211244m n n m +=--，①22112044m n m n ++-+=， ①221111044m m n n +++-+=， ①221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ①1110,1022m n +=-= ， 解得：2,2m n =-= ， ①2222222m n m n ----===-． 故选：C 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 35．D 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣4，故此选项不合题意； B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝4﹣9a 2，故此选项不合题意； C ．（a +2）2＝a 2+4a +4，故此选项不合题意；D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +8，故此选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键． 36．D 【解析】 【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现103,95对应的数即为,,a b 从而可得出结论.解：由题意得：22222222()()2244a b a b a ab b a ab b +-++-+-=-4.4abab故选D【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“()2222a b a ab b ±=±+”是解本题的关键. 37．3 【解析】 【分析】根据平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2即可得出答案． 【详解】 解：①a 2-b 2=6， ①（a +b ）（a -b ）=6， ①a +b =2， ①a -b =3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2是解题的关键． 38．－20100 【解析】 【详解】原式＝(12)(12)(34)(34)(56)(56)(199200)(199200)-++-++-+++-+(123456199200)=-++++++++(1200)2002+⨯=-=－20100， 故答案为：－20100 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，运用平方差公式进而转化为若干个连接自然数的和是解题的关键．这里还用到了若干个连续自然数的和的计算方法：12(首项+末项)×项数．【分析】由(1)1a a +=得21a a =-，对2120211a a +++化简，将2a 用1a -多次等量替换，计算求解即可． 【详解】 解：①(1)1a a += ①21a a =-2120211a a +++ 1120211a a =-+++ ()()11120211a a a -⨯++=++2220211a a -=++ ()2120211a a --=++120211a a +=++ 2022=故答案为：2022． 【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于2a 的等量替换． 40．8± 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值． 【详解】解：216x mx ++是关于x 的完全平方式，(24)8m ∴=±⨯=±，故答案为：8±． 【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 41． 1； 52（1）把x −y 看成一个整体，利用完全平方公式求解； （2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论． 【详解】 （1）()()2210x y x y ---+=，()210x y ∴--=⎡⎤⎣⎦，()10x y ∴--=， 1x y ∴-=；（2）()2222x y x xy y -=-+，()22222615xy x y x y ∴=+--=-=，52xy ∴=． 故答案为：（1）1；（2）52．【点睛】本题考查了完全平方公式等知识点．掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 42．4或-4 【解析】 【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k 值． 【详解】解：①()222221624x kxy y x kxy y -+=-+， ①2248kxy x y xy -=±⋅=±， 解得：k ＝±4． 故答案为：4和−4． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键． 43．7 【解析】根据5x y +=可得出2()25x y +=，再展开，将2211x y +=代入，即可求出xy 的值． 【详解】 解：①5x y += ①2()25x y +=， ①22225x y xy ++=，将2211x y +=代入上式，得：11225xy += ①7xy =． 故答案为：7． 【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键． 44．10 【解析】 【分析】设AC =m ，BC =n ，可得m +n =10，m 2+n 2=60，然后根据完全平方公式求出12mn 即可． 【详解】解：设AC ＝m ，BC ＝n ， ①AB ＝10， ①m +n ＝10， 又①S 1+S 2＝60， ①m 2+n 2＝60，由完全平方公式可得，（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2， ①102＝60+2mn ， ①mn ＝20，①S 阴影部分＝12mn ＝10， 即：阴影部分的面积为10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．45．3a-2，-32．【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．【详解】解：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3）=2（a2-1）-2a2+3a=2a2-2-2a2+3a=3a-2，当a=16时，原式=3×16 -2=12 -2=-32．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构是解题关键．46．(1)1(2)9801【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．(1)解：2103102104-⨯，2103(1031)(1031)=--⨯+，221031031=-+，1=；(2)解：299，2(1001)=-，100002001=-+， 9801=．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形． 47．(1)a ＋b ＝±2；a －b ＝0 (2)7，119 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可 (1)解：①a 2＋b 2＝2，ab ＝1，①（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2ab ＝2＋2＝4，即a ＋b ＝±2； （a －b ）2＝a 2＋b 2－2ab ＝2－2＝0，即a －b ＝0． (2)解：①a ＋1a＝3，①219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22129a a ∴++= 2217a a∴+=若 a －1a＝3， ①219a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22129a a ∴+-= 22111a a ∴+= 2221121a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭441119a a ∴+= 故答案为：7,119 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键． 48．(1)412(2)4± 【解析】 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． (1)解：①5a b +=，94ab =， ①22()5a b +=， ①22225a ab b ++=， ①22252a b ab +=-， ①2292524a b +=-⨯， ①22412a b +=． (2)解：①22412a b +=，94ab =， ①22419221624a b ab +-=-⨯=， ①2()16a b -=， ①4a b -=±． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键． 49．(1)2()a b +，222a ab b ++ (2)2()a b +=222a ab b ++ (3)a +b ，a +2b (4)①11；①16【解析】 【分析】（1）方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则可求得正方形的面积；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的两个小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；（2）由（1）知，可得（a +b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）由于()22232()a a a b a b b b =++++，从而可得长方形相邻两边的长；（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab 的值；①考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1，利用（2）中的等量关系即可求得结果． (1)方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则大正方形的面积为2()a b +；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，所以大正方形的面积为222a ab b ++；故答案为：方法1 2()a b +；方法2 222a ab b ++ (2)由（1）知：2()a b +、222a ab b ++均表示同一正方形的面积，所以2()a b +=222a ab b ++ 故答案为：2()a b +=222a ab b ++ (3)由于()22232()a a a b a b b b =++++所以面积为a 2+3ab +2b 2的长方形相邻两边长为a +b ，a +2b 故答案为：a +b ，a +2b (4)①①2()a b +=222222a ab b a b ab ++=++ 即26142ab =+ ①ab =11①①x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1 ①[][]22(2021)1(2021)134x x -++--=。
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1 1 (3)(-5x-3y)(-5x+3y)(4)( a 2b)( a 2b) 3 3
作业二 P33页的1，p44ห้องสมุดไป่ตู้3的1， 2，3题
(2) (3y − x)(− x − 3y）
12－(3a)2
③（m＋ 5n)( m－5n)=m2 － 25n2 m2 － (5n)2 ④（3y ＋ z)(3y－z)= 9y2 － z2 (3y)2 － z2
3、能不能用字母表示你的发现？ 1、它们的结果有什么特点？ 2、算式有什么特点？
平方差的形式 两个数的和乘以两个数的差 (a+b)(a-b)=a2-b2
北
解:(a＋2)(a－2) ＝a2－4 答:改造后的长方形草坪的 面积是（a2－4）平方米.
西
东
南
当堂检测
相同项的平方减去相反项的平方
(1) (3a +2b)(3a−2b)
2－4b2 9a
适当调整位置
（2）(-2x-y)(-y+2x)
2-4x y
2
(3)
1 1 1 1 a b a b 2 3 2 3
找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a
1 -3
b
x a
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1
1
a2-12
( 0.3x)2-12
小试牛刀
计算：
1、 (5x+y)(5x-y) 2、 (－x+3y)(－x-3y)
从 几 何 意 义 验 证
a a-b a
a
b
(a+b)(a-b)
b
b
a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
试一试，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 2)( x－2） ②（1 ＋ 3a)( 1－3a）
③（m＋ 5n)( m－5n）
④（3y ＋ z)(3y－z）
①（x ＋ 2)( x－2）=x2 － 4 x2 － 22 ②（1 ＋ 3a)( 1－3a）=1 －9a2
1 2 1 2 a b 9 4
利用平方差公式简便计算
(4) 49 51
2499
(5) 2m n2m n
n 4m
2 2
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
相同项的平方减去相反项的平方
作业一 (1)(2+3a )(3a -2)
1 1 5、 x 2 y )( x 2 y ) 动笔 ( 2 2
当堂训练2 (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2
2.简便计算： (1)498×502; (2)999×1001
(a＋b) (a－b) ＝ a2－b2
例3：街心花园有一块边长为 a米的正方形草坪，经统一规 划后，南北向要加长2米，而 东西向要缩短2米。问改造后 的长方形草坪的面积是多少？
乘法公式（1）
两数和乘以这两数的差
八年级数学上册
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an+bm+bn
（x ＋ 2)( x＋５）
2 ＋5x =x
＋2X ＋10 =x2 ＋7x ＋10
计算：
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) 2-ab+ab-b2 = a -ab+ab 2-b2 =a b
2、 解： (－x+3y)(－x-3y) 这里的( -x )相当 = (-x)2 － (3y)2 于公式里的 a,( 3y ) = x2 － 9y2 相当于b
当堂训练1 1、 (5＋6x)(5－6x) 2、(x－2y)(x＋2y) 3、 (8＋ab)(－8＋ab) 4、(－m＋n)(－m－n) 明确哪个 是a,哪 个是 b.再
用平方差公式计算
计算：（x+2y)(x-2y)
2 解：原式＝ x
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a(相同项) 哪个是 b(相反项).
-
2 (2y)
＝x2
- 4y2
相同项的平方减去相反项的平方
相同项的平方减去相反项的平方 口答下列各题： b2-a2 (l)(-a+b)(a+b)= _________ a2-b2 (2)(a-b)(b+a)= __________ a2-b2 (3)(-a-b)(-a+b)= ________ b2-a2 (4)(a-b)(-a-b)= _________
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
大家议一议，平方差公式有什么 特点？
平方差公式
相同为a 适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
相同项的平方减去相反项的平方
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2