现代信号处理教程-胡广书清华

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第3章 短时傅立叶变换

3．1连续信号的短时傅立叶变换

由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此傅立叶变换不适用于时变信号。信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。 早在1946年，Gabor 就提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform ，STFT ）

的概念，用以测量声音信号的频率定位[64]

。

给定一信号)()(2

R L t x ∈，其STFT 定义为

>

-=<-==ΩΩΩ-Ω⎰⎰τ

τ

ττττττ

ττj j t x e

t g x d e

t g x d g x t STFT )(),()()()()(),(*

*,（3.1.1）

式中

τ

ττΩΩ-=j t e

t g g )()(,

（2.1.2） 及

1||)(||=τg ，1||)(||,=Ωτt g

并且窗函数)(τg 应取对称函数。STFT 的含义可解释如下：

在时域用窗函数)(τg 去截)(τx （注：将)(t x ，)(t g 的时间变量换成τ），对截下来的局

部信号作傅立叶变换，即得在t 时刻得该段信号得傅立叶变换。不断地移动t ，也即不断地移动窗函数)(τg 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的集合，即是),(Ωt STFT x ，如图2.1.1所示。显然，),(Ωt STFT x 是变量),(Ωt 的二维函数。

由于)(τg 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于τ

Ωj e

在频域是线谱，所以

STFT 的基函数τ

τΩ-j e

t g )(在时域和频域都应是有限支撑的。这样，（3.1.1）式内积的结果

即可实现对)(t x 进行时－频定位的功能。当然，我们自然要关心这一变换时域及频域的分辨

率。对（

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3.1.2）式两边作傅立叶变换，有 ⎰

-ΩΩ-=ττυυττ

d e e t g G j j t )()(,

⎰

''='Ω--Ω--t d e t g e

t j t

j )()()(υυ t j e G )()(Ω--Ω-=υυ （3.1.3）

式中υ是和Ω等效的频率变量。

图3.1.1 STFT 示意图

由于

υ

υυυυτυπ

πd e

G X G X g t x t

j t t )(*

21,21,)()()(),()(),(Ω-∞

∞

-ΩΩΩ-=

>

<>=

<⎰

(3.1.4)

所以 ⎰

∞

∞

-Ω-Ω-=Ωυυυυπ

d e G X e

t STFT t j t j x )()(),(*21

（3.1.5）

该式指出，对)(τx 在时域加窗)(t g -τ，引导出在频域对)(υX 加窗)(Ω-υG 。

Ω

由图3.1.1可以看出，基函数)(,τΩt g 的时间中心t =0τ（注意，t 是移位变量），其时

宽

⎰

⎰

=-=∆Ωτττττττd g d g t t 2

22

,22

|)(||)(|)(

（3.1.6）

即)(,τΩt g 的时间中心由t 决定，但时宽和t 无关。同理，)(,υΩt G 的频率中心Ω=0υ，而带宽

⎰

⎰

∞

∞

-Ω=Ω-=

∆υυυυυυπ

π

υd G d G t 2221

2

,221

2

|)(||)(|)( （3.1.7）

也和中心频率Ω无关。

这样，STFT 的基函数)(,τΩt g 具有时－频平面上的一个如下的分辨“细胞”：其中心在

),(Ωt 处，其大小为υτ∆⋅∆，不管Ω,t 取何值（即移到何处）

，该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT 的时－频分辨率。如图3.1.2所示。

图3.1.2 STFT 的时－频分辨率

当我们对信号作时－频分析时，一般，对快变的信号，我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度t ∆要小，受时宽－带宽积的影响，这样，对该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应的是高频信号，因此对这一类信号，我们希望有好的时间分辨率，但同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。

Ω2Ω1

因此，我们希望所采取的时－频分析算法能自动适应这一要求。显然，由于STFT 的

υτ∆∆,不随Ω,t 变化而变化，因而不具备这一自动调节能力。我们在后面要讨论的小波变换

则具备这一能力。 现在，我们举例来讨论STFT 的时－频分辨率和窗函数的关系及STFT 的应用。 例3.1.1 令)()(0ττδτ-=x ，可以求出其

0)()()(),(00ττ

ττττδΩ-Ω--=--=Ω⎰

j j x e t g e

t g t STFT （3.1.7）

该例说明，STFT 的时间分辨率由窗函数)(τg 的宽度而决定。 例3.1.2 若τ

τ0)(Ω=j e x ，则

t j j j x e G d e t g e

t STFT )(000)()(),(Ω-Ω-Ω-ΩΩ-Ω=-=Ω⎰

ττττ

（3.1.8）

这样，STFT 的频率分辨率由)(τg 频谱的宽度来决定。

这两个例子给出的是极端的情况，即)(t x 分别是时域的δ函数和频域的δ函数。)(t x 为

其他信号时的情况也是如此。显然，当利用STFT 时，若我们希望能得到好的时－频分辨率，或好的时－频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函数)(τg ，遗憾的是，由于受不定原理的限制，我们无法做到使υτ∆∆,同时为最小。为说明这一点，我们再看两个极端的情况：

例2.1.3 若1)(=τg ，τ∀，则)()(Ω=ΩδG ，这样，)(),(Ω=ΩX t STFT x 。这时，STFT 减为简单的FT ，这将给不出任何的时间定位信息。其实，由于)(τg 为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作截短。

图3.1.3给出的是在1)(=τg ，τ∀的情况下所求出的一高斯幅度调制的chirp 信号的STFT ，上面是时域波形，其中心在70=t 处，时宽约为15，左边是其频谱，右下是其STFT ，可见此时的STFT 无任何时域定位功能。