湖南省2013年六校联考数

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湖南省各地市高考数学最新联考试题分类汇编(5)三角函数

湖南省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（5）三角函数一、选择题:3．（湖南省十二校2013届高三第二次联考理）函数，x x x f cos )2sin()(⋅+=π的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解析】由三个向量)2cos,(A a =，)2cos ,(B b =,)2cos ,(C c =共线及正弦定理可得：sin cos ,sin cos ,sin cos ,222A B C A B C === 由sin 2sin cos cos 222A A A A ==，因为cos 02A ≠，所以1sin 22A =，因为0A π<<，所以022A π<<，所以26A π=，即3A π=.同理可得,33BC ππ==， 5. （湖南师大附中2013届高三第六次月考理）函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区间为（） A.]32,62[ππππ+-k k B.]652,32[ππππ++k k C.]3,6[ππππ+-k k D.]65,3[ππππ++k k【答案】C【解析】由图象知1=A ,=T ,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴, ),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为 ).62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y则由：36226222πππππππππ+≤≤-⇒+≤-≤-k x k k x k ，Z k ∈.6．（湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理）在斜三角形ABC 中，s i n =2c o s c o s A B C ⋅，且tan tan =1B C ⋅，则A ∠的值为（ A ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π二、填空题:10．（湖南省十二校2013届高三第二次联考文）已知向量===θθθ2t a n ,//),1,2(),cos ,(sin 则且b a b a . 【答案】43- 12．(湖南省长沙市2013年高考模拟试卷一文科)已知x ∈(0，2π)时，sinx<x<tanx ，若p=23sin 18π+21cos 18π 、o o q 10tan 110tan 22+=,oo r 20tan 3120tan 3+-=,那么p 、q 、r 的大小关系为；【答案】q<p<r13．（湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理）已知)2,0(πα∈且tan()34πα+=，则lg(sin 2cos )lg(3sin cos )αααα+-+= 0三、解答题:20、（湖南师大附中2013届高三第六次月考理）（满分13分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图所示数据计算限定高度CD 的值．（精确到0.1m ）（下列数据提供参考：sin 20°＝0.3420，cos 20°＝0.9397，tan 20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图所示，设(rad)PAB θ∠=，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？（2）延长CD 与直角走廊的边相交于,E F ，如下图.33cos sin EF OE OF θθ=+=+，其中02θπ<<. 容易得到1.8t a n t a n DA DE θθ==，tan 1.8tan CF BC θθ=⋅=.又()AB DC EF DE CF ==-+，于是331() 1.8(tan )cos sin tan f θθθθθ=+-+3(sin cos ) 1.8sin cos θθθθ+-=，其中02θπ<<.………8分设sin cos t θθ+=，则)4t πθ=+，于是1t <≤又21sin cos 2t θθ-=，因此26 3.6()()1t f g t t θ-==-． …………11分因为22222267.266(0.6) 3.84()(1)(1)t t t g t t t -+-+'=-=---，又1t <≤，所以()0g t '<恒成立，因此函数26 3.6()1t g t t -=-在(1t ∈是减函数，所以min () 3.6 4.5g t g ==>，故能顺利通过此直角拐弯车道 …………13分17．(湖南省长沙市2013年高考模拟试卷一文科)设函数())0(sin sin cos 2cos sin 22πϕϕϕ<<-+=x x x x f 在π=x 处取最小值.(1)求ϕ的值; (2)在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 22)(-=B f ，求值)cos()sin()3sin(2θθθ+++-C C C . 17.解: 解：(1) f (x)=2x x x sin sin cos 2cos sin 2-+ϕϕ=sinx(2cos 22ϕ-1)+cosxsin ϕ= sinxcos ϕ+ cosxsin ϕ=sin(x+ϕ),依题意，sin(π+ϕ)=-1， 0<ϕ<π, ∴ϕ=2π;………………4分(2)由(1) f (x)= sin(x+ϕ)= sin(x+2π)=cosx, 22)(-=B f ，∴cosB= -22， 0<B <π, ∴ B=43π； ,2,1==b a 由正弦定理，B A sin sin =b a =21 sinA=21， a<b ，∴A<B ，∴0<A<2π, ∴A=6π ∴C=π-A-B=12π；………………………9分∴)cos()sin()3sin(2θθθ+++-C C C =)15cos()15sin()45sin(20θθθ+++-o o =)15cos()15sin())15(60sin(20θθθ++++-o o o =)15cos()15cos(60sin 20θθ++o o =3………12分所以)(x f 的单调增区间是[,]().36k k k Z ππππ-+∈ （6分）18、（湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测文）（本题满分12分）已知向量()()22cos ,3,1,sin 2m x n x ==，函数()f x m n =⋅ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A , B, C 的对边，且()3,1,f C c ab ===，且a b >求,a b 的值. 18.解（1）()162sin 22sin 312cos 2sin 3cos 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=⋅=πx x x x x x f ………………………………………3分()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ 63ππππ+≤≤-k x k∴函数()x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ………………6分（2）(),3162sin 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πC C f 162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πC C 是三角形的内角，∴，262ππ=+C 则6π=C ……………………8分。

2013年湖南省高考压轴卷数学(文)试题

2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。

时间120分钟，满分150分。

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数()231i i +-的共轭复数是A ．－3－4iB ．－3+4iC ． 3－4iD ． 3+4i2．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（） A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤ 3.已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立（B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立（D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立5．过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF= （）A ．5B ．4C ．3D ．26．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB 单位圆的圆心为O ，则O A A B ∙= （）A ．BC ．32-D ．328．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，aα，则a ∥β9．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为 ( )A ．y ＝e xB ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y 的最小值等于______.11.已知,x y R +∈，且满足22x y xy +=，那么+4x y 的最小值是 12.在极坐标系中，点A 的坐标为曲线c 的方程为，则0A (O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为____.13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为．14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则|MF|=_____. 15. 给出下列四个命题： ①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。

2013年湖南省五校联考自主招生数学试卷_20200625145105

则 a﹣b＜0，a＞0，
∴b＞0，a+b＞0， ∴
=2
﹣（a+b+2）+（a﹣b﹣3）
=2（b+1）﹣a﹣b﹣2+a﹣b﹣3
=﹣3．
11.
b≤3 且 b≠2 ．
12.
解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°=1260°，
∴每个内角为 140°，
又∵AB=BC，∠B=140°， ∴∠CAB=（180°﹣140°）÷2=20°，连接 AH，作 HM，GN 分别垂直 AE 于 M，N． ∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°． ∴∠HAM=140°﹣2×20°﹣40°=60°， ∴∠AHM=30°，设 AM=EN=x，MN=y，四边形 HGNM 是矩形，所以 HG=y，即正九边形边长为 y，在 Rt△AHM 中，∠AHM=30°， ∴AC=AH=2AM=2x， ∴AB+AC=y+2x， ∵AE=AM+MN+EN=2x+y， ∴AE=AB+AC=3．故答案为：3．
14.
平分 BD，
解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 D，连接 AD，CD，则 AC 垂直
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）若对于所有的实数 x，
A．﹣3
B．3
恒为负数，且，则 M 的值为（） C．﹣2a+2b﹣3 D．4b+7
二、填空题：（每小题 4 分，共 32 分）
11．（4 分）若关于 x 的方程 =3 的解是非负数，则 b 的取值范围是 _________． 12．（4 分）如图，在正九边形 ABCDEFGHI 中，若 AB+AC=3，则对角线 AE= _________．

湖南省十二校2013届高三数学第一次联考理湘教版

湖南十二校 2013届高三第一次联考数学（理）试题由长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中联合命题炎德文化审校、制作总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．已知i 是虚数单位，且()(1)x i i y --=，则实数,x y 分别为 A ．x=一1，y=l B ．x=－1，y=2 C ．x=1，y=lD ．x=1，y=22．已知条件p ：x≤1，条件q ：1x<1，则p ⌝是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103h=A 3B 3C ．3D ．34．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量(n n c a =·*1),(,1)n n a b n n n N -=+∈下列命题中真命题是A ．若对任意的*n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是筹差数列 B ．若对任意的*n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 5．若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．n≤5 B ．n≤6 C ．n≤7 D ．n≤86．若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于x 的方程20x OA xOB OC ++=有解（点O 不在直线l 上），则此方程的解集为 A ．φB ．{一1，0}C ．{－1}D ． 1515-+--⎪⎪⎩⎭7．已知()tansin 42f x a b x π=-+（其中以a 、b 为常数且0ab ≠），如果(3)5f =则，(20123)f π-的值为A ．－3B ．－5C ．3D ．58．已知函数(),f x x R ∈是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当∈ [0，2]时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[－10,10]上的解的个数是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．12()sin()4p R πθ=∈+的距离为。

2013湖南理科高考试题(含解析与答案)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B，则角A等于()．A．π12B．π6C．π4D．π3答案：D解析：由2a sin B得2sin A sin BB，故sin A，故A＝π3或2π3.又△ABC为锐角三角形，故A＝π3 .4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件2,1,1.y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x＋2y的最大值是()．A．52-B．0 C．53D．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x＋2y＝d，即122dy x=-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12] 答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1BCD 答案：C解析：θ，如图所示．故正视图的面积为S θ(0≤θ≤π4)，∴1≤S而1<12，故面积不可能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83 D ．43答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y－4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12PD P D k k =，即4443344433m m -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的 O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC所以O 到CD 距离为OE =(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2， ∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3.13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝222242224c a a a()+()-()⨯⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则 (1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝5，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ．(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =舍去)．于是1B D＝(3，－3)，AC ＝1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．(2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)． (2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN＜2p 2；(2)若点M 到直线l的距离的最小值为5，求抛物线E 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1.故FM ·FN＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2.化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为 x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+；当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++，故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*)由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，23 2 ax a +∈3,142aa⎛⎫ ⎪+⎝⎭.故(*)成立等价于集合A＝{x|2a＜x＜3a}与集合B＝3142ax xa⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．因为342aa+＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜12时，A∩B≠∅.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2013年6月7日湖南高考数学试题（理科）

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20Байду номын сангаас3年6月7日湖南高考数学试题（理科）
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2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值；（II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2）（II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1）（Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥；（II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2）（Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5）所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6）（Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。

湖南省衡阳八中2013-高一下学期6月五科联赛试题数学

衡阳市八中2014年五科联赛试卷高一数学命题人：吕建设审题人：方岭生考生注意:本试卷共21道小题,满分100分,时量120分钟,请将答案写在答题卡上. 一.选择题:本大题共10小题，每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置. 1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的 A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项2、已知ABC ∆中4,30a b A ===，则B 等于A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150° 3、在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则A cos 的值为A 、35 B 、45C 、0D 、1 4、已知数列{}n a 中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 A ．50 B ．51 C ．52 D ．535、若互不等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =A. 4-B. 2-C. 2D. 4 6、等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，设数列11{}n n a a +，其前n 项和为n S ，则n S 等于A.221n n + B. 21n n + C. 21nn - D ．以上都不对7、在ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B ∠=,,a b c 且成等比数列，则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不确定8、等比数列{}n a 的前m 项和为4,前2m 项和为12,则它的前3m 项和是 A.28 B.48 C.36 D.52 9、在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC 的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、1410、设等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围 A 74(,)63ππ B 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 43(,)32ππ D 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二. 填空题:共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知向量(4,)a x =，(2,4)b =，若a b ⊥，则x ＝； 12. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且3963a a a ＝，则6a ＝；13. 若数列{n a }的前n 项和23n S n n =+，则456123a a a a a a ++++ 的值为；14．数列{}n a 中，12a =，*132()n n a a n N +=+∈，则{}n a 的通项公式为； 15．在ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，重心为G ，若2330aGA bGB cGC ++=；则cos B = ；三、解答题(本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)在等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的前n 项和n S .17. (本小题满分8分)设向量(3sin ,sin ),(cos ,sin ),0,2a x x b x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（1）若||||a b =，求x 的值（2）设函数()f x a b =，求()f x 的取值范围18. (本小题满分8分)已知ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且sin cos c C c A =+， (1)求角A(2)若a =ABC ∆,求ABC ∆的周长.19. (本小题满分9分)在火车站A 北偏东30方向的C 处有一电视塔，火车站正东方向的B 处有一小汽车，测得BC 距离31km ，该小汽车从B 处以60公里每小时的速度前往火车站，20分钟后到达D 处，测得离电视塔21km,问小汽车到火车站还需要多长时间20. (本小题满分9分)设数列为等差数列，且，，数列的前项和为21()n n S n N *=-∈，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．(本小题满分13分)北A D B{}n a 145=a 720a ={}n b n {}{},n n a b ,1,2,3,n n n c a b n =⋅={}n c n n T设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫nS n n,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上（1）求,,,321a a a 归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）；（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），(),32a a ，(),,654a a a ， (),,,10987a a a a ；()11a ，()1312,a a ，(),,161514a a a ，(),,,20191817a a a a ；()21a ，…..，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求1005b b +的值；（3）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围衡阳市八中2014年上期五科联赛考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBBCABCACC二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11. 2 12. 3 13. 2 14. 31n- 15.112三、解答题：本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.解：（1）3411=8;2,222n n nn a a q a q a -=∴===为等比数列且（2）35335553132n 2;2,b 224;12216;(1)16126222n a b a b b b d d a a d n n S n n n ====∴-==∴==-=--=-+=-又因为为等差数列所以17：2222(1)||||,(3sin )(sin )cos sin ,0,21sin ,26a bx x x x x x ππ⎡⎤=∴+=+∈⎢⎥⎣⎦∴=故x=（2）f x a b x x x x x x x x f x πππππ=+=-+⎡⎤⎡⎤=-+∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦211()=3sin cos sin 2cos 222215sin(2),0,;2,;6226663()0,2因为又故 18 解sin cos sin sin sin cos ,sin 0172sin()=,,=626663c C c A C A C C A C A A A πππππ=+=+≠∴+<+<由及正弦定理得又因为故（2）2221=bcsin bc 422cos ;b+c 44S A b c bc A ===+-=∴+三角形面积公式为故由余弦定理：a 得周长为19.由条件A ∠=60,设,ACD CDB αβ∠=∠=,在BCD ∆中,由余弦定理得2221cos 27CD BD BC CD BD β+-==-⋅∴sin 7β==.∴sin sin(60)sin cos 60cos sin 60αβββ=-=-=14.在ADC ∆中,由正弦定理,得sin 15sin CD AD A α⋅==( km )∴15601560⨯=(分钟)20.解：7551111126,d 3(5)14(5)33121q 2222n n nn n n nn a a a d a a n d n n S b S b b q ---===∴=+-=+-=-=-==∴===为等差数列则故又满足等比数列求和的性质且=2,（2）n 1234234511234n 1211131,2(31)2225282112(31)22225282112(31)2=22+32+2+2+2)(31)22(1243()(31)212(34)28n n n n nn n n n n n n n a n b C n T n T n T n n n ++-++=-==-∴=+++++-=+++++----=+---=-+则将上式相减得-（21.解：（1）因为点(,)n S n n 在函数()2n af x x x=+的图象上，故2n n S a n n n =+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；令2n =，得122142a a a +=+，所以24a =；令3n =，得1233192a a a a ++=+，所以36a =．由此猜想：2n a n=（2）因为2n a n =（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010.………………8分（3）因为111n n n a a a -=-，故12111(1)(1)(1)n nAa a a =--⋅⋅-，所以12111(1)(1)(1)nA a a a =--⋅⋅-又333()2222n nn a a a f a a a a a a a++-=+-=-，故3()2na A f a a+<-对一切*N n ∈都成立，就是 121113(1)(1)(1)2n a a a a a--⋅⋅-<-对一切*N n ∈都成立．……………9分设12111()(1)(1)(1)n g n a a a =--⋅⋅-max3[()]2g n a a<-即可．由于1(1)121(1)()22n g n n g na n +++=-=+1=<，所以(1)()g n g n +<，故()g n是单调递减，于是max [()](1)2g n g ==．令322a a<-，………………………………………………………………………12分即(0a a a->，解得0a <<，或a > 综上所述，使得所给不等式对一切*N n ∈都成立的实数a 的取值范围是(,0)(3,)2-+∞．。

2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)

2013年全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B 解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3答案：D解析：由2a sin Bb 得2sin A sin BB ，故sin AA ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足约束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1+x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11+]D ．[12] 答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1-，P ′O 1，故选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1BC ．12D ．12答案：C解析：cos θ，如图所示．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S，而1<12，故面积不可能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83D ．43答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝5，OC .所以O 到CD 距离为OE 2=.(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a的值为__________．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝222242224c a a a()+()-()⨯⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =.15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D．而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D．由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB．从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故AB BCDA AB=.即AB=.连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB12＋BD2＝BB12＋AB2＋AD2＝21，即B1D在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7.从而sin θ＝7.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为7.解法2：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =或t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z+=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立． d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2； (2)若点M 到直线l，求抛物线E 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1. 故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2. (2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为 (x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.5=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+；当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++，故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩ (2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与集合B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．因为342a a +＜3a ，所以当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2013年高考第二轮复习数学湖南理科专题六解析几何第1讲直线与圆.pdf

专题六　解析几何第1讲　直线与圆真题试做 1．(2012·陕西高考，理4)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )． A．l与C相交B．l与C相切 C．l与C相离D．以上三个选项均有可能 2．(2012天津高考，理8)设m，nR，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )． A．[1－，1＋]B．(－，1－] [1＋，＋) C．[2－2，2＋2]D．(－，2－2] [2＋2，＋) 3．(2012·重庆高考，理3)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )． A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 4．(2012·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________． 5．(2012·江西高考，文14)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________． 6．(2012·浙江高考，文17)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________. 考向分析直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．热点例析热点一　直线方程与两条直线的位置关系经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为( )． A．x－y－5＝0 B．x－y＋5＝0 C．x＋y＋5＝0 D．x＋y－5＝0 规律方法 (1) 求直线方程的方法 ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果； ②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数． (2)两条直线平行与垂直的判定 ①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2k1＝k2，l1⊥l2k1k2＝－1； ②两条不重合的直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1； ③两条直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况． (3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解直线方程的截距式＋＝1中，有ab≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需要对a，b分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P(2，－1)，在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线易漏掉过原点的情形．变式训练1 (1)“a＝3”是“直线ax－2y－1＝0与直线6x－4y＋c＝0平行”的__________条件．( ) A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 (2)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．热点二　圆的方程已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆的面积．求圆C的方程．规律方法圆的方程的求法求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记．变式训练2 热点三　直线与圆的位置关系如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程； (3)是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．规律方法 (1) 研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题． (2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．变式训练3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25. (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交； (2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．思想渗透 1．数形结合思想解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )． A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2] C．[1－2，3] D．[1－，3] 解析：方程y＝x＋b表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．到直线x－y＋b＝0的距离等于2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍)．当直线y＝x＋b过点(0,3)时，可得b＝3，由图可知满足题意的b的取值范围为1－2≤b≤3. 答案：C 2．分类讨论思想遇到字母时往往要对其进行讨论．试判断方程x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0表示的曲线类型．解：将x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0配方，得(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－4. (1)当m2－4>0，即m2时，原方程表示以(－2，－m)为圆心，为半径的圆； (2)当m2－4＝0，即m＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)； (3)当m2－4<0，即－2<m<2时，原方程不表示任何曲线． 1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( )． A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )． A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 3．(2012·安徽安庆二模，5)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，直线l：2x＋y＝0，则圆C上的点到直线l的距离最大值为( )． A．1 B．2C．3 D．4 4．(2012·山东潍坊二模，14)若a，b，c是Rt△ABC的三边的长(c为斜边长)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为__________． 5．(2012·吉林长春实验中学二模，14)圆心在直线x－2y－1＝0上，且经过原点和点(2,1)的圆的方程为__________． 6．(2012·湖北武昌5月模拟，13)在圆x2＋y2＝4上的点，与直线l：4x＋3y－12＝0的距离的最小值是__________． 7．已知直线l过点P(0,2)，斜率为k，圆Q：x2＋y2－12x＋32＝0. (1)若直线l和圆相切，求直线l的方程； (2)若直线l和圆交于A，B两个不同的点，问是否存在常数k，使得与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．命题调研·明晰考向真题试做 1．A　解析：由题意可知圆心坐标为(2,0)，半径r＝2.因为点P(3,0)到圆心的距离d＝＝1＜2，所以点P在圆内．故直线l与圆C相交． 2．D　解析：直线与圆相切， ∴＝1， ∴|m＋n|＝，即：mn＝m＋n＋1，设m＋n＝t，则mn≤2＝， ∴t＋1≤，∴t2－4t－4≥0，解得：t≤2－2或t≥2＋2. 3．C　解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而02＋120)．由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|，圆心到直线l的距离为d＝. 由弦长为2可知2＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4. ∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 【例2】解：由已知得，线段AB的中点E，kAB＝＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0. 因为圆C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上，又因为直线m：3x－2y＝0平分圆的面积，所以直线m经过圆心．由解得即圆心C(2,3)．而圆的半径r＝|CB|＝＝1，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. 【变式训练2】 2＋(y－2)2＝解析：易求出C1(0,0)，半径r1＝1，圆心C3(3,4)，半径r3＝1. 设圆C2的圆心坐标为C2(a，b)，半径r2，据题意即可解出故圆C2的方程为2＋(y－2)2＝. 【例3】解：(1)设圆A的半径为R. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 连接AQ，则AQ⊥MN. ∵|MN|＝2， ∴|AQ|＝＝1. 由|AQ|＝＝1，得k＝， ∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0. ∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP， ∴＝0， ∴＝()· ＝. 当直线l与x轴垂直时，得P，则＝. 又＝(1,2)， ∴ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P， ∴＝， ∴＝－＝－5. 综上所述，是定值，且＝－5. 【变式训练3】 (方法一)(1)证明：设圆心C到直线l的距离为d，则有d＝，整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0，① 为使上面关于m的方程有实数解，则Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤. 可得d<5，故不论m为何实数，直线l与圆C总相交． (2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值为. 根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短． ∴当d＝时，线段(即弦)的最短长度为2＝2. 将d＝代入①可得m＝－，代入直线l的方程得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x＋3y＋5＝0. (方法二)(1)证明：将直线l的方程变形有：m(2x－8)－y－3＝0，解得知直线l过定点A(4，－3)．又∵(4－3)2＋(－3＋6)20，解得－<k<0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有而y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4，＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(6，－2)．因为与共线，所以－2×(x1＋x2)＝6×(y1＋y2)，即(1＋3k)(x1＋x2)＋12＝0，代入得(1＋3k)＋12＝0，解得k＝－. 又因为－<k<0，所以没有符合条件的常数k.。

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湖南省2013年六校联考数学（理）考试试题卷湘潭市一中、长沙市一中、师大附中、岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟满分150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（） A .0BA B. UBA C. 1)(BCAU D. BBACU)( 2、下列说法中正确的是（）． A．“5x”是“3x”必要不充分条件； B．命题“对xR，恒有210x”的否定是“xR，使得210x”． C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数 D．设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题； 3、两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R如下，其中拟合效果最好的模型是 ( ) A.模型1（相关指数2R为0.97） B.模型2（相关指数2R为0.89） C.模型3（相关指数2R为0.56 ） D.模型4（相关指数2R为0.45）

4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，点P是AB的中点，则ABOP（） A 10 B -10 C 20 D -20

5、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（） A 33 B 335 C 332 D 3 6、已知54)6cos(（为锐角），则sin（） A．10433 B．10433

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C．10343 D．10343 7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点(3,)Ay 向准线l作垂线，垂足为B,若ABF为等边三角形, 则抛物线的标准方程是 ( ）．

A．212yx B．2yx C．22yx D. 24yx 8、已知函数f (x)=xxln22 与 g(x)=sin)(x有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x)=（） A．)22sin(x B．)22sin(x C．)2sin(x D．)2sin(x 二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程是

）ttytx为参数(

sin3cos4

，直线l的极坐标方程是

01)sin(cos，则直线l与曲线C相交的交点个数是

______. 10. 如图，AB是圆O的直径，点P在BA的延长线上，且24ABPA．PC切圆O于C，Q是PC的中点，直线QA交圆O于D点．则QAQD ． 11、设xR，则函数y = 2||2xx的最大值是．

(二) 必做题（12~16题） 12、设复数iiz1 (其中i为虚数单位)，则2z等于 13、已知nx1的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则含2x项的系数= ______.

开S=0,T=0,n

S=S+n=n+T=T+

输出

结束

是否

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14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号）。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S） 15. 设矩形区域由直线2x和1y所围成的平面图形，区域D是由余弦函

数cosyx、2x 及1y所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D的概率是． 16. 用gfe,,三个不同字母组成一个含1n*)(Nn个字母的字符串，要求由字母e 开始，相邻两个字母不能相同. 例如1n时，排出的字符串是egef,；2n时排出的字符串是egfegeefgefe,,,,„„.记这种含1n个字母的所

有字符串中，排在最后一个的字母仍是e的字符串的个数为na. 故2,021aa.4a na ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现

张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为32，科目三考

试合格的概率为21，且每次考试或补考合格与否互不影响。（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。（2）若张某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望。

18．（本题满分12分）由五个直角边为2的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD. （1）求证：FB⊥AD

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（2）求二面角C-EF-D的正切值. 图2图1

ECDF

DFAB

19、（本题满分12分）已知数列na是递增的等比数列，满足14a，且32454aaa是、的等差中项，数列nb满足11nnbb，其前n项和为ns，且

264ssa （1）求数列na，nb的通项公式（2）数列na的前n项和为nT，若不等式2(4)73nnnlogTbn对一切nN恒成立，求实数的取值范围。

20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。该部件由5个A零件和2个B零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c > 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问： (1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件? (2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?

21. （本题满分13分）已知P（0，-1）与Q（0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一动点M（x,y)作Y轴的垂线，垂足为N，点E满足MNME43，且0PEQM。

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1）求曲线C的方程。 2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，任作一直线l与曲线C交于MN、两点

（MN、不与A点重合）且090MAN，求证l过定点并求定点的坐标。

22、（本题满分13分）已知函数21()ln(1)2fxaxxax (1)a （1）讨论()fx的单调性与极值点。（2）若21()1(1)2gxxxx, 证明当1a时，()gx的图象恒在()fx的图象上方. （3）证明2222ln2ln3ln21(.2)234(1)nnnnNnnn





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湖南省2013年六校联考数学考试试题答案一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B B B D C

二、填空题： 9、2

10、2QCQAQD，212PCPAPB，因Q是PC的中点，所以3412PCQDQA．

11、由柯西不等式，得2112212222222xxxxxx．或用基本不等式：222||22(2)2xxxx． 12、2i 13、28 14 ② 15、阴影面积为

(cos1)(sin)2Sxdxxx，

故所求的概率为22P． 16、答案：64a 3

)1(22nnna

解析：01a 11222aa 22322aa

33426aa 445210aa

所以，112nnnaa 所以，2212nnnaa 两式相减得：222nnnaa

当n为偶数时，利用累加法得2422222nnaa=342n 所以，