高中数学必修一《函数与方程思想的应用》优秀教学设计

函数与方程思想的应用
一、学习目标
1．理解函数与方程思想的含义及其蕴涵的一般解题思路，能有意识地应用函数与方程思想解题；
2．以问题为导引，通过解题实践促进学生对“函数与方程思想”的体会与理解； 二、基础练习
1. 设12,x x 是二次方程0)(=x f 的两个相异实根，且120,1x x <<，则(0)(1)f f ∙
( )
A .大于0
B . 小于0
C . 等于0
D .不能确定
2. cos 23x x a +=-中，a 的取值范围是（ ）
A. 5122a -≤≤-
B. 12a ≤
C. 52a >
D. 1522
a ≤≤
3．函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4. 方程sin lg 0x x -=的根的个数为 个；
三、课堂精彩呈现
1. x b =+有唯一解，则实数b 的取值范围是 ；
变式：已知关于x ax >解区间是(0,2)，则a 的值为 ；
2. 已知函数()f x 的解析式为()2sin 13f x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭；若函数()()0y f kx k =>周期为
23π，当[0,]3
x π
∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.
3. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数
在上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求的值； （2）求的取值范围；
（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由．
四．知识要点小结
函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(方程组)或者构造方程，通过解方程(方程组)或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
(3)方程思想与函数思想的结合应用：方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )的
()3
2
f x x ax bx c =-+++(),0-∞()0,1()f x R b ()2f 1y x =-()y f x =
图象与x 轴的交点的横坐标（零点）；函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 五．巩固练习
1. 已知二次函数2
33y x bx =++恰有一个零点，则实数b 的值是 ； 2．直线()110+++=a x y 与圆x y x 2
2
20+-=相切，则a 的值为（ ） A ．11，- B ． 22，- C ．1 D ．-1
（说明：本类题型有两种常规解法：方法一（代数法）：从方程的观点出发，将直线方程代入圆方程，利用判别式等于0求a 值；方法二（几何法）：利用圆心到直线的距离等于半径，求a 值；） 3
32kx k =+-有唯一解，则实数k 的取值范围是 ； 4. 设x x x x t cos sin cos sin ++=，求t 的取值范围；
5、设函数3211()232f x x x x =
-+，21
()(2)2
g x ax a x =--， （1）对于任意实数[]1,2x ∈-，()f x m '≤恒成立，求的最小值；
（2）若方程()()f x g x =在区间()1,-+∞有三个不同的实根，求的取值范围．
m a
函数与方程思想的应用
参 考 答 案
基础练习：A D B 4、3个
课堂精彩呈现：1、[
)1,1-⋃； 变式：1a = 2. 解：∵函数()2sin 13y f kx kx π⎛⎫==-
+ ⎪⎝
⎭的周期为23
π
，又0k >， ∴3k =， 令33t x π=-
，∵0,3x π
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， ∴2[,]33t ππ∈-，
如图，1sin 2
m t -=
在2[,]33ππ
-
上有两个不同的解，则1,1)22m -∈， ∴方程()f kx m =在[0,]3
x π
∈
时恰好有两个不同的解，则)
1,3m ∈，
即实数m
的取值范围是)1,3
3．（1）解：∵，∴．
∵在上是减函数，在上是增函数， ∴当时，取到极小值，即． ∴． （2）解：由（1）知，，
∵1是函数的一个零点，即，∴．
∵的两个根分别为，． ∵在上是增函数，且函数在上有三个零点， ∴，即． ∴． 故的取值范围为． （3）解：由（2）知，且． 要讨论直线与函数图像的交点个数情况，
即求方程组解的个数情况． ()3
2
f x x ax bx c =-+++()2
32f x x ax b '=-++()f x (),0-∞()0,10x =()f x ()00f '=0b =()3
2
f x x ax c =-++()f x ()10f =1c a =-()2
320f x x ax '=-+=10x =223
a x =
()f x ()0,1()f x R 2213a x =
>32a >()()52841372
f a a a =-++-=->-()2f 5,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
()3
2
1f x x ax a =-++-3
2
a >
1y x =-()y f x =32
1,
1y x y x ax a =-⎧⎨=-++-⎩
由，得． 即．
即．∴或．
由方程， （*）
得． ∵， 若，即，解得
．此时方程（*）无实数解． 若，即，解得．此时方程（*）有一个实数解．
若，即，解得．此时方程（*）有两个实数解，分别为
，．且当时，，．
综上所述，当
时，直线与函数的图像有一个交点． 当或时，直线与函数的图像有二个交点． 当且时，直线与函数的图像有三个交点． 巩固练习：1、6±；2、D ；3、13,1{
}24
⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
4、解析：[]
sin cos x x t t +=∈-，，22，则s i n c o s x x t =-212
，构造二次函数
[]
y t t t =+-∈-221222，，， 由图1可知：-≤≤+11
2
2y
3211x ax a x -++-=-()()
()321110x a x x ---+-=()()
()()()2111110x x x a x x x -++--++-=()()()2
1120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦1x =()()2120x a x a +-+-=()()2
120x a x a +-+-=()()2
214227a a a a ∆=---=+-3
2
a >0∆<2270a a +-
<3
12
a <<0∆=2270a a +-
=1a =
1x =
-0∆>2270a a +-
>1a >
112a x -
=212
a x -+=2a =10x =21x
=3
12
a <<1y x =-()y f x
=1a =2a =1y x =-()y f x
=1a >2a ≠1y x =-()y f x =
即-≤++≤+11
2
2sin cos sin cos x x x x 。

5． 解： (1)2
()2f x x x m '=-+≤ 对称轴[]1
1,22
x =
∈- max ()(1)4f x f m ''=-=≤ ； 即m 的最小值为4. (2) 令()()()h x f x g x =-3211
(1)32
x a x ax =
-++ 2
()(1)(1)()0h x x a x a x x a '=-++=--= 解得： 1x x a ==或
()I 当1a >时，,y y '随x 变化如下表
在区间()1,-+∞有三个不同的实根
322
11(1)(1)03211(1)(1)03211()(1)032h a a h a a h a a a a a ⎧
-=--+-<⎪⎪
⎪
=-++>⎨
⎪
⎪=-++<⎪⎩
解得3a >
()II 当11a -<<时，,y y '随x
变化如下表
在区间()1,-+∞有三个不同的实根
322
11(1)(1)03211(1)(1)03211()(1)032h a a h a a h a a a a a ⎧-=--+-<⎪⎪
⎪=-++<⎨
⎪
⎪=-++>⎪⎩
解得51,(0)93a a -<<≠，
又∵11a -<< ∴51
,(0)93
a a -
<<≠ ()III 当1a =时，()2'()10,h x x =-≥()h x ∴递增,不合题意.
(Ⅳ) 当1a ≤-时,在区间()1,-+∞最多两个实根，不合题意 综上：51
,(0)93
a a -
<<≠或3a >。