中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(5)-三切线组合

圆压轴题八大模型题（五）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型5 三切线组合

直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，以AB 为直径的半圆⊙O 与CD 相切于点E .

【分析】(1)法一：如图(a )过点D 作DF ⊥BC ,AB

＝DF 12. 法二：如图

(b )由△OBC ∽△DAO , 或△COE ∽△ODE 得： r 2＝4×9＝36,r ＝6,

AB ＝12.

(2) 由△OBC ∽△DAO ,或 △COE ∽△ODE 得：r 2＝AD ⋅BC ,( 2

AB )2

＝AD ⋅BC , ∴4AD ·BC ＝AB 2

(3)由Rt △CBO ∽Rt △COD 得：CO 2＝CB ⋅C D .

(4)∠CFE ＝∠COG ＝∠EGD ＝90°,CO ∥AE ,

DO ∥BE .

O

E

D

C

B

A

D

G (3)求证：CO 2

＝CB ·CD ；

图(1)

图(2)

图(3)

(1)AD ＝4，BC ＝9，求AB ； (2)求证：4AD ·BC ＝AB 2.

(4)求证：CO ∥AE , DO ∥BE .

(a )

O A

D

E

C

B

(b )

G

F O A

D E

C

B

【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB＝CE,DA＝DE得EP CP BP FP

DA CA BD DA

===,∴EP＝FP.

(6)由CB＝CE,∠CBE＝∠CEB＝∠DEG;CB∥DA得∠CBE＝∠D,∴∠DEG＝∠D.∴DG ＝EG,又EG＝GA,∴DG＝AG.

(7)EF∥DA,得EP BP FP

DG BG GA

==, 又DG＝GA,得EP＝FP.

(8)由AB2＝4AD⋅BC得：（

2＝4×2BC,∴BC＝2.5,CF＝BC＝2.5,BF＝5.

在Rt△ABF中，AF

.由AD∥BF得

4

5

AE AD

EF CF

==,

∴EF＝5

9

AF＝

5

9

×

【典例】

（2018·湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE·BE___________.

【分析】连接OE，由切线长定理可得∠AOE＝1

2

∠DOE，

∠BOE＝1

2

∠EOC，再根据∠DOE＋∠EOC＝180°，可

得∠AOB＝90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.

解：如图，连接OE，∵AD、AB与半圆O相切，

∴OE⊥AB，OA平分∠DOE，

∴∠AOE＝1

2

∠DOE，同理∠BOE＝

1

2

∠EOC，

∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠AOE＋∠BOE＝90°，即∠AOB＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，

∵∠BAO＋∠AOE＝90°，∴∠ABO＝∠AOE，B C

D

E

O

A

B C

D

E

O

A

(5)求证：EP=FP. (6)求证：DG=AG.

(7)求证：EP=FP. (8)若AB=25，AD=2，求BC和EF的长.

图(4) 图(5) 图(6)

图5-1

图a

∵∠OEA ＝∠BEO ＝90°，∴△AEO ∽△OEB ， ∴AE ：OE ＝OE ：BE ，∴AE •BE ＝OE ²＝1， 答案：1. 【点拨】

由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。 【变式运用】

1.(2016 大庆)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH . (1)求证：MH 为⊙O 的切线.

(3) 在（2）的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于N 点，过N 点作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度.

解：（1）连接OH 、OM ，

∵H 是AC 的中点，O 是BC 的中点， ∴OH 是△ABC 的中位线，∴OH ∥AB ， ∴∠COH ＝∠ABC ，∠MOH ＝∠OMB ， 又∵OB ＝OM ，∴∠OMB ＝∠MBO ， ∴∠COH ＝∠MOH ， 在△COH 与△MOH 中，

，∴△COH ≌△MOH （SAS ），

∴∠HCO ＝∠HMO ＝90°， ∴MH 是⊙O 的切线；

（2）∵MH 、AC 是⊙O 的切线，

∴HC

＝MH

＝，∴AC ＝

2HC ＝3，

图b

图5-2