定积分及微积分基本定理练习试题包括答案.docx

1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.(2011·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2与y＝ x所围成图形的面积，其中正确的是()

A． S＝1(x2 － x)dx

0B． S＝1(x －x2)dx

C． S＝1(y2 － y)dy D

0． S＝1(y －

y)dy

[0,1][ 答案 ]B

[ 分析 ]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．

[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是

上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x

1，下限是

－x2)dx.

0，由于在

2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝

2exdx ，c＝

2sinxdx

，则a、 b、c的大小关

系是 ()

A． a

C． c

[ 答案 ]D

1

[ 解读] a ＝2xdx ＝

2x2|02 0＝ 2 ， b ＝2exdx ＝

ex|02 0

＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx

＝－

cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，

∴c

3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的封闭图形面积为() 1117

A. 12

B. 4

C. 3

D. 12

[ 答案 ]A

y＝ x2

[ 解读 ]由得交点为 (0,0)， (1,1) ．

y＝ x3

111

∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x401＝12.

[ 点评 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函

数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：

(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 移动，如果把由直线OP，

直线 y＝ x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 如图所示，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ()

A.416

B.

416 3

，

95

，

9

C.415

D.

413 3

，

75

，

7

[ 答案 ]A

t3 [ 解读 ]设 P(t ， t2)(0≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx－ x2)dx ＝6；S2＝

8t34416

2(x2 － tx)dx＝3－ 2t ＋6，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .

t

4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为 () 418

A． 4 B.3C. 5 D．6

[ 答案 ]A

x4

[ 解读 ]S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.

5．(2010 ·湖南省考试院调研)1

－1(sinx＋1)dx的值为()

A． 0 B ． 2

C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1

[ 答案 ]B

[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.

6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()

A．2π B ．3π

3π

C. 2 D．π

[ 答案 ]A

[ 解读 ]如右图，

S＝∫ 02π(1 － cosx)dx

＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.

[ 点评 ]此题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为

π

6 ，π ，则对称性就无能为力了．

7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()

A．有最大值0，无最小值

32

B．有最大值0 和最小值－

3

32

C．有最小值－ 3 ，无最大值

D．既无最大值也无最小值

[ 答案 ]B

[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，

73225

∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .

32

∴最大值为 0，最小值为－3 .

[ 点评 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt的导数 F′(x) ＝φ (x) ．

1

8．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)

1

的取值范围是 ()

3

A.6，＋∞ B． (0 ， e21)

C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)

[ 答案 ] D

1

[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，

t

1

0

9．(2010 ·福建厦门一中 ) 如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是()

123π

A. π

B. π

C. π

D. 4

[ 答案 ]A