线性代数同济大学模拟试题

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上海同济大学成人线性代数考试题

复习题一、单项选择题1. 设A 是5×3矩阵，且B 是3×2矩阵，C 是2×2矩阵，则矩阵运算可行的是( )A.ACB.ABCC.BCAD.BAC2. 设A 是n 阶方阵(n>1)，线性方程组AX=b 仅有一个解，则A 的秩为（）A.nB.1C.0D.不存在3. 设A 是n 阶方阵，则|A|=0的充要条件是（）A.A 中有两行（两列）元素对应成比例B.A 为奇异矩阵C. A 中有一行元素全为零D. A 中任一行为其余行的线性组合4. 已知二次型f=X T AX 对应的矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210121011,则A 是（）A. 负定矩阵B.正定矩阵C. 既正定矩阵又负定矩阵D. 以上都不是5.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(0,0,1),则乘积BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)6. 设A,B 是两个n 阶方阵，且k>0，则以下正确的是( )A.|A-B| = |A| - |B|B.|kA|=k n |A|C.|kA|=k|A|D.|A+k|=|A|+k7. 设A 是n 阶方阵，且|A|=0,则A 一定是（）A 降秩矩阵 .B. 满秩矩阵 C.可逆矩阵 D. 非奇异矩阵8. 若A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200110001,则A 的秩R(A)=( )A. -1B. 2C.3D.-29.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(1,0,0),则BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)10. 行列式方程224132513232213211x x --=0有（）个根 A.1 B.2 C.3 D.4 二、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1. 若A,B,C 均为n 阶方阵，且由AB=AC,可以推出B=C,则A 应是什么矩阵？为什么？2.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012,求1-A3.设⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=+-020*********321321x x x x x x x x x λ当参数λ为何值时，齐次线性方程组有非零解4. D=1641421111-这是什么行列式？求行列式D 的值，5. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012 B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛340230002/1求 ⎢AB ⎥6. 设A 是n 阶方阵,满足条件A 2=A,|A|≠0求|A|7.设A 为2阶方阵，|A|=1/3,求|3A|8. 已知α=(2,0,-1,5)T ，β=(2,0,2,1)T ，求两个向量的内积以及将β单位化9.设向量α=(1,0,-3)T ，β=(-3,0,t)T 线性相关，求参数t10. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ12y 相似, 求x , y三、综合题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）1.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--143125,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--102023,求BA T2. 用行初等变换，求下列向量组的秩、写出它的一个极大无关组及将其余向量由该极大无关组线性表示，T T T )1,1,0,3(,)1,2,1,1(,)2,1,1,2(321-=-==ααα3.用行初等变换，求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---153121132的逆矩阵A -14.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400031013，求可逆阵P(不必正交)，使Λ=-AP P 1为对角阵5.求解非齐次线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6. 判断下列向量组的线性相关性T T T )1,3,2(,)1,2,1(,)1,1,4(321-=-=-=ααα7.求解非齐次线性方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2223120432143214321x x x x x x x x x x x x8.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，求正交阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵9. 已知A 的特征值为1，2，3，求|A|，A 的迹与|A 2+A+3E|.四、证明题（本大题共1小题，共10分）1.设A 是n 阶非奇异阵,满足条件A 2=A,证明|A|=12.若实方阵A 满足A 2-2A-4I=O,,证明:A+I 为可逆阵（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

同济大学线性代数试卷题库 (2)

同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ= ()1232,2,,B αααβ= 且4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 .解：因为()1212312,2,2,A B αααααββ+=+++，所以()1212312,2,2,A B αααααββ+=+++，根据行列式的性质（书上的貌似是最后一个性质），原式化简为：()1231,2,2,αααβ+()1232,2,2,αααβ+()2131,,2,αααβ+()2132,,2,αααβ=422-16-4-826A B A B -++=+=2、设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .解：这种题是代数余字式常出的一种，根据41424344+0+0A A A A +⨯⨯前面的系数，我们可以把题目理解成求1131100021031100D =‘，最后按第二行展开后，得到4142-9A A +=3、已知矩阵222222a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； (B) 2=a 或4-=a ；(C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .解：因为0=*x A 有非零解，所以A *绝对不满秩，在根据之前我给出的秩与原矩阵的关系，不难得出1202R A R A RA R A **⎧==⎪⎨=<⎪⎩（），（）（），（）,因为0≠*A ，所以1R A *=（）。

变相得出2R A =（）。

对A进行初等变换，得到a=-4（你也可以算一下A 的行列式来找到a 的值）4、向量组s ααα，，，Λ21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，，Λ21线性表示，则以下结论中不能成立的是 B .(A) 向量组s βββ，，，Λ21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，Λ2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价. 解：B 举个反例，当 s ααα，，，Λ21与s βββ，，，Λ21对应相等时，12s αββL ，，，仍然线性无关。

同济大学线性代数试卷题库 (3)

同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分）考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。

同济大学线性代数试卷题库 (7)

2009—2010学年第二学期课名：线性代数（2学分）一、填空与选择题(24分)1、已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则11030T A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭______abm n )()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300m nTA B +-⎛⎫⎪⎝⎭（）由拉普拉斯定理，分母为-1T A B ，所以得到ab m n )()3(+- 2、设100220333A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其伴随矩阵为*A ，则()1*A -=____A 61______.解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1A A A =，()1*-1-1116AA A A A A -===（） 3、若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________.解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-=由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为1231533410-3111-5-3-7λλλ=+-=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知253A A E --=-231 4、已知123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有=5、设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值之和为1，全体特征值之积为12-，则a =_1__________，b =___2________.解：二次型A 所对应的矩阵是00200-2a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为它的行列式的值即使特征值的积，主对角线之和（又称为迹，用tr （A ）表示）既是特征值之和，得到a=1，将a 代入A ，求出行列式=-12，得到b=2；6、设A 为n 阶非零方阵，且A 中各行元素都对应成比例，又12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则-1t n =____________.解：因为A 中各行元素都对应成比例且A 为n 阶非零方阵，很明显11111111()1,..([])1111R A e g =,又由于12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，所以它的基础解系中有t 个线性无关向量，则根据-n r A t =（），可得-1t n =7、设12324369Q t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零方阵，且0PQ =，则下面说法正确的是_____C____. (). 6() 1 (). 6() 2 (). 6() 1 ().6() 2A t R PB t R PC t R PD t R P ====≠=≠=时时时时解：利用代入法，0PQ R P R Q n =−−→+≤（）（），6(Q)1()2t R R P ==∴≤时， 6()2 1 t R Q R P ≠=∴≤时，（），因为P 为3阶非零方阵，1R P ∴=（）8、设1123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1223b b b α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1323c c c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,三条不同的直线0i i i a x b y c ++=，(1,2,3)i =，220i i a b +≠，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.12312312312312312(). ,,). ,, (). (,,)(,,) ().,,,A B C R R D ααααααααααααααααα=线性相关 (线性无关线性相关,线性无关解：这题的意思是，要让这个线性方程有唯一解（只有唯一解才能让它们交于同一点）即增广矩阵111222333---a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩应该为2，且系数矩阵112233a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩也应该为2所以12312,,,ααααα线性相关,线性无关二、(12分) 设n 阶方阵111b b bb A bb ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L，试求A 的全体特征值.. 解：根据特征多项式定义-0A E λ=，1-1-01-b b b b bb λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M O M L，（小技巧，把每一列元素对应加到第一列上，在把第一列上的元素提出来就很容易得到特征值了）解得：-11n b λ=+（），1--1b n λ=（重）三、(10分)设4阶方阵1000230004500067A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，又()E A B E A +=-，求E B +. 解：这种题拿到就化简，()(2E A B E A E A E B E +=-−−→++=（））这时应该先算0E A +≠（），说明E A +（）可逆，然后得到-1(2E B E E A +=+）（） 1000110022111033311114444E B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、(12分)已知线性方程组123123123(2)22 1 2(5)4 2 24(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，试讨论参数λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.解：这种题很好解，因为它的系数矩阵是方阵，所以，根据克莱姆法则，我们可以直接求它的系数行列式，并令其为0，2-2-225--4-2-45-λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令它的行列式为0，得到1,1,10λ=，当1λ=当增广矩阵为12-2124-42-2-44-2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用初等变换，得到 1 2 -2 00 0 0 1 0 0 0 0说明系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不等，所以无解，把10λ=带进去，得到的是无穷解所以110λ≠和有唯一解五、(12分)设有如下两个向量组：向量组()123111I :0,1,1232a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量组()II :1231222,1,1364a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问a 取何值时两个向量组等价？a 又为何值时两个向量组不等价？解：先对I 和II 求行列式，可解得I 的行列式为1a +，II 的行列式为6,可知，它们要等价，则a 必然不能等于-1.当a=-1，I 和II 的秩不等。

同济大学线性代数习题集

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=01100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=01111010100111.6．行列式=-010000200001nn .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知d b c a c c a b ba b ca cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a xa a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. na b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a aaD ---------=110110001100011001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++d ddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数同济大学模拟试题22页PPT

36、自己的鞋子，自己一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
线性代数同济大学模拟试题
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！

同济大学线性代数试卷题库 (1)

同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第二学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、 (24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.1、设三阶矩阵121121113x A x x --⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，则A 的行列式展开式中2x 的系数是4 .解：直接用沙路法求行列式，或者分析矩阵的行列式，只有主对角线上乘出来的()()()123x x x -++才会产生2x ，所以不难看出2x 的系数应该是-1+2+3=42、设A 为3阶方阵，行列式20A E A E A E +=-=+=，则A 的伴随矩阵的行列式*A = 4 .解：由20A E A E A E +=-=+=可知A 的三个特征值分别为-1，1，-2.而*A 的特征值就应该是iAλ，由特征值之积等于对应行列式的值可知，A 为2，*1234A A AA λλλ==3、设3阶方阵1110101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵300010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，已知0k >，则k =解：因为1110101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵300010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，所以他们的特征值一定相同，而特征值之积等于行列式的值，对1110101k k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭求行列式，令其等于300010-3001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，因为0k >，可得k =4、设向量()5,,1,4Tx α=与向量()3,0,,2Ty β=正交，那么y = -23 .解：两向量正交，那么一定有0Tαβ=，于是15080,23y y +++==-5、设A 为3阶方阵，()2R A =，且A 的各行元素之和为0，则线性方程组0Ax =的通解为 11,1k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：A 的各行元素之和为0，所以一定有0111TA αα==，（，，），又因为()2R A =，()-1n R A =所以A 的基础解系只有一个向量，所以可得0Ax =的通解为11,1k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭。

同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

《线性代数》期终试卷1（ 2学时）本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是()；2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随矩阵, 则的行列式()；3.(4分)设, , 则()；4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则()；6.(3分)行列式中的系数是()；7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量, 其中, , 则该方程组的通解是()。

二、计算行列式：(满分10分)三、设, , 求。

(满分10分)四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组, , 也线性无关。

(满分10分)六、已知二次型，(1)写出二次型的矩阵表达式；(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；(3)是什么类型的二次曲面?(满分15分)七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。

2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。

《线性代数》期终试卷2（ 2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵。

（）2.若矩阵和矩阵满足，则。

（）3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。

（）4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。

（）6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等价。

（）7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。

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七、 . t 4 时二次型是负定的 1 ; 2. 正交变换 x 1 1 2 1 6 1 3 y 1 x 2 1 2 1 6 1 3 y 2 0 2 6 1 3 y 3 x3 化二次型为 f 2 y 2 y 4 y .
2
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2
九、．由基( )到基( )的过渡矩阵为 1 0 1 2 0 2 0 0 2 C 1 4 3 3 0 3 1 2 2．在基( )下的坐标为(6,6,6,6).
模拟试题（二）
一、填空题（每小题5分，共20分）
n T n i 1
三、１２＝ n 1 o, n 1 a i b i . ＝＝ 1 1 1 四、X 0 1 1 . 0 0 1
五、当 1时, 有唯一解; (1) (2)当 1时, rank ( A B ) 4, rankA 3, 无解; ( 3)当 1时, rank ( A B ) rankA 3, 有无穷多解, 通解为x (1,0,1,0) k ( 1,1,1,1) , k任意. 六、略) ( 3 n ( 1) n 2 3 n ( 1) n 1 1 n . 七、A n n ( 1) n 1 n 2 3 3 ( 1)
五、1) 当 0且 1时, 有唯一解; ( ( 2) 当 0或 1时, 无解; ( 3) 当 1时, 有无穷多解, 通解为 x 1， 1， T k ( 3,3,5)T , k 任意. （ 0）
学习交流：89903800
六、略) (
.
2 2 2 4．已知二次型 f x1 x2 x3 2ax1 x2 2 x1 x3 2 2 2bx2 x3 经正交变换化为标准形 f y2 2 阶行列式 : 二、（10分） a1 1 a 2
Dn
a1

a2 2

a n 1 a n 1
2 2 2 2 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 为标准
形, 并写出所用的正交变换 .
已知四维向量空间R 4 的两个基 : 九、（10分） ( ) 1 (1,1,2,1), 2 (0,2,1,2),
3 (0,0,3,1), 4 (0,0,0,1); ( ) 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,0,0),
T T
x 1 2 5 2 3 5 1 3 y 1 八、正交变换 x 2 1 5 4 3 5 2 3 y 2 , 0 5 3 5 2 3 y 3 x3
化二次型为f
y1 y2 10 y3 .
T
学习交流：89903800
情况下求通解.
学习交流：89903800
六、１.（5分）设A为正交矩阵且det A 1, 证明 : E A不可逆.
设２.（5分） n 阶可逆矩阵A中每行元素之和为常数a , 证明 : (1) 常数 a 0; ( 2) A1 的每行元素之和为a 1 . 1 2 , 求 An . 七、（6分）设A 2 1 八、（12分）用正交变换化二次型 f ( x1 , x 2 , x 3)
学习交流：89903800
模拟试题（一）
一、是非、选择题（每小题3分，共15分）:
1．设A与B均为n阶方阵, 则下列结论中成立. ( A) det( AB ) 0, 则A O , 或B O; ( B ) det( AB ) 0, 则det A 0, 或 det B 0; (C ) AB O , 则A O , 或B O; ( D ) AB O , 则det A 0, 或 det B 0.
1. t取何值时, 二次型是负定的; 2. 取t 0, 试用正交变换化二次型为标准形(写出所用的正交变换).
八、（5分）已知A是实反对称矩阵(即满足 AT A), 试证
E A2 为正定矩阵, 其中E是单位矩阵.
模拟试题（二）参考答案
0 1 6 0 一、 . 100; 1 2. 1 3 1 3 0 ; 1 2 1 2 1 2 3. k 0 且 k 3; 4. a b 0. 0 0 2 0 0 2 4 0 三、 . 0 0 1 3 0 0 5 7
二、n!(1 a k ). k 1 k
n
四、2．由基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为 7 4 9 C 6 3 7 3 2 4 3.在基 1 , 2 , 3 下的坐标为(1,0,1).
2 1 2 2 2 3
学习交流：89903800
八、易证E A2 为实对称矩阵, 对任意x 0, 有 ( E A 2 ) x x T ( E AT A) x x
T
x T x ( Ax ) ( Ax ) 0 故E A 2 是正定矩阵.
) )
3．若n阶实对称矩阵A满足A2 O , 则A O . ( 组线性无关. 5．若n阶实对称矩阵A (a ij )
nn
4．若齐次线性方程组Ax 0只有零解, 则A的列向量 ( 正定, 则aii 0( i 1,2, ( )
, n). 二、填空题（每小题3分，共12分）:
2 1．二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 xx1 4 x1 x2 2 x1 x3
1．设3阶方阵A按列分块为A (１２３), 且 det A ，， 5, 又设B (１ 2２,3１ 4３,5２), 则det B 1 0 0 2．设 A 2 2 0 的伴随矩阵为A* , 则( A* )1 3 3 3 3．若向量 ( 0, k , k 2 )能由向量 1 (1 k ,1,1), 2 (1,1 k ,1), 3 (1,1,1 k ) 唯一线性表示, 则k应满足 . .
的秩为 . 2．设 A 为 n 阶方阵, 且 det A 2, 则
1 1 det ( A) A . 3 2 0 0 1 0 0 3．已知矩阵A 2 x 2 与B 0 2 0 相似, 3 1 1 0 0 y 则x ,y .
四、（10分）求解矩阵方程 1 2 3 6 6 6 X 2 3 1 5 4 3 3 1 2 3 1 2 五、（15分）取何实值时，线性方程组 x1 x 2 x2 x3 x3 x4 x1 x 4 有唯一解，无穷多解，无解？在有无穷多解的
有唯一解, 无解, 无穷多解? 在有无穷多解时求通解.
六、（10分）设A是n阶实对称矩阵且满足A2
A, 又设A的秩为r . 1.证明A的特征值为或0; 1 2.求行列式det(2 E A), 其中E是n阶单位矩阵.
七、（１５分）已知二次型 2 f t x1 t x 2 t x 2 4 x1 x 2 4 x1 x 3 4 x 2 x 3 2 3
2 2 1 2 2 3 , 3 1 5 2 3 3 .
1．证明 1 , 2 , 3 也是 R 3 的一个基; 2．求由基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵; 3．若向量在基 1 , 2 , 3 下的坐标为 (1,2,0), 求
且向量在基( )下的坐标为(0,3,1,1), 求 : (1)由基( )到基( )的过渡矩阵; ( 2)向量在基( )下的坐标.
3 (0,0,2,1),
4 (0,0,3,2);
模拟试题（一）参考答案
一、．B ); 2. ( B ); 3. (对 ); 4. (对 ); 5. (对 ). 1 ( 二、．; 1 2 ( 1) 2. ; 3. x 0, y 2; 4. t 2 . 2
4．当 t 取值为
2 2 2 时, 二次型 f x1 4 x2 2 x3
2tx1 x2 2 x1 x3 是负定的. 三、（10分）已知向量 (a1 , a2 ,, an )和 (b1 ,
b2 ,, bn ), 求矩阵A T 的全部特征值.
学习交流：89903800
在基 1 , 2 , 3 下的坐标. 五、（15分）取何值时, 线性方程组
( 2 1) x 1 x 2 ( 1) x 3 1 ( 2) x 1 ( 1) x 2 ( 2) x 3 ( 2 1) x ( 1) x ( 2 1) x 1 2 3
2．设 1 (1,1,0,0), 2 (0,0,1,1), 3 (1,0,1,0), 4 (1,1,1,1), 则它的极大无关组为 . ( A) 1 , 2 ; ( B ) 1 , 2 , 3 ;
(C ) 1 , 2 , 4 ;
( D) 1 , 2 , 3 , 4 ;

an an

a1 a 2 a n 1 n 1 a n a1 a2 a n 1 an n 学习交流：89903800
三、（10分） 0 4 2 0 0 2 0 0 设A , 且BA A B , 求矩阵B . 0 0 7 3 0 0 5 1 四、（15分）已知三维向量空间R 3 的一个基 : 1 , 2 , 3 ; 设 1 2 1 3 2 3 3 ,