3伴随矩阵和Crammer法则
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。
伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。
2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。
3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。
二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。
2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。
3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。
三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。
2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。
3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。
四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。
利用伴随矩阵求逆矩阵克莱姆法则矩阵的秩
利用伴随矩阵求逆矩阵克莱姆法则矩阵的秩当我们要求一个矩阵的逆矩阵时，伴随矩阵（adjugate matrix）提供了一种有效的方法。
伴随矩阵是通过将原矩阵的代数余子式进行转置得到的。
假设我们有一个n阶方阵A，其中元素为a_ij。
首先，我们需要计算A的伴随矩阵adj(A)。
adj(A)的第i行第j列元素(adj(A))_ij等于矩阵A的代数余子式M_ij，然后将其转置。
代数余子式M_ij是通过在A中删除第i行第j列的元素，然后计算剩余元素的行列式而获得的。
当我们求得伴随矩阵adj(A)之后，我们可以使用克莱姆法则（Cramer's Rule）来求解逆矩阵。
克莱姆法则利用了矩阵A的行列式和伴随矩阵adj(A)的乘积来求解逆矩阵。
首先，我们计算矩阵A的行列式det(A)。
如果det(A)不等于0，意味着矩阵A是可逆的。
这是因为行列式不等于0意味着A的各行（或各列）线性无关，所以存在唯一解。
然后，我们计算A的逆矩阵A^-1、A^-1等于1/det(A)乘以伴随矩阵adj(A)。
如果A是一个n阶方阵，并且det(A)不等于0，那么矩阵A的逆矩阵A^-1等于1/det(A)乘以伴随矩阵adj(A)。
简而言之，逆矩阵等于伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式的倒数。
矩阵的秩是对矩阵的行或列进行线性组合时，可以通过对应的向量方程组中的等式表达式来表示的最大的线性独立向量的个数。
矩阵的秩也是其列空间和行空间的维数。
可以通过消元法或高斯-约当法来确定矩阵的秩。
当我们求一个矩阵的秩时，我们可以将矩阵转化为行阶梯形式，然后计算非零行的个数。
行阶梯形式是指矩阵的每一行的非零元素都在位于这一行的前面。
非零行的个数就是矩阵的秩。
另一种方法是计算矩阵的秩的行阶梯形矩阵的非零行数。
行阶梯形矩阵是指矩阵的每一行的非零元素都在位于这一行的前面。
非零行数就是矩阵的秩。
通过求逆矩阵，我们可以解线性方程组，计算矩阵的行列式，计算矩阵的秩。
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
3-4 Cramer法则
解
−5 1 1 −3 0 −6 D= = 27, 0 2 −1 2 2 1 1 −7 6 2 8 −5 1 −5 1 1 9 0 −6 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 −1 2 −7 6 1 0 −7 6
4 8 1 9 −3 D1 = −5 2 0 4
= 81,
= −108,
2 1 8 1 2 1 −5 8 1 −3 9 −6 1 −3 0 9 D3 = D4 = 0 2 −5 2 0 2 −1 −5 1 4 0 6 1 4 −7 0 = −27, = 27, D2 − 108 D3 − 27 D1 81 = −4, x3 = = = −1, ∴ x1 = = = 3, x2 = = D 27 D 27 D 27
定理 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 .
推论 对于方程个数和未知数个数相等的 齐次线性方程组，系数行列式不为零， 齐次线性方程组，系数行列式不为零，则 只有唯一解（零解）。 只有唯一解（零解）。
定理
证明提示： 证明提示：
推论
思Hale Waihona Puke 题当线性方程组的系数行列式为零时, 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用Cramer法则求解 法则求解? 能否用 法则求解 何故?此时方程组的解为何 此时方程组的解为何? 何故 此时方程组的解为何
解
此时方程组无解或有无穷 多解。 多解。
(1)
a11 a12 L a1 n a 21 a 22 L a 2 n 的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即D = LLLLLLL ≠0 a n1 a n 2 L a nn
有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则伴随矩阵是在线性代数中一个重要的概念。
它在矩阵的应用中有着广泛的应用，无论是求逆矩阵、求解线性方程组还是求解特征值等问题中都有着重要的作用。
伴随矩阵的运算法则也是研究伴随矩阵的基础。
下面将对伴随矩阵的运算法则进行详细的讲解。
首先，我们来回顾一下伴随矩阵的定义。
给定一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记作Adj(A)，定义为A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
其中，矩阵A的代数余子式是指将矩阵A中的一些元素aij划去后，剩下元素组成的(n-1)阶子阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。
接下来，我们来介绍伴随矩阵的一些基本运算法则。
运算法则一：伴随矩阵的乘法法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）Adj(AB) = Adj(B)Adj(A)（2）Adj(A^k) = [Adj(A)]^k ，其中k为正整数（3）若A可逆，则有A^-1 = (1/det(A))Adj(A)，其中det(A)表示A的行列式运算法则二：伴随矩阵与常数的乘法法则设A为n阶方阵，k为常数，则有以下性质成立：（1）Adj(kA) = k^(n-1)Adj(A)运算法则三：伴随矩阵的转置法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^T = Adj(A^T)运算法则四：伴随矩阵的转置法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^-1 = Adj(A^-1)（2）[Adj(A^T)]^-1 = Adj((A^-1)^T), 其中A为可逆方阵运算法则五：伴随矩阵的行列式法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）det(Adj(A)) = [det(A)]^(n-1)运算法则六：伴随矩阵的逆乘法法则设A，B为n阶方阵，若AB为可逆方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(AB)]^-1 = [Adj(A)]^-1[Adj(B)]^-1以上是关于伴随矩阵的一些基本运算法则。
这些法则在伴随矩阵的应用中起着重要的作用。
线性代数克莱姆(Cramer)法则山东财经大学线性代数
x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
山东财经大学数学与数量经济学院
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
山东财经大学数学与数量经济学院
定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xj
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
Cramer法则的证明
Cramer法则的证明谢乐平;李明燕;韩汝月;范雪艳【摘要】行列式是代数学习和应用中重要的一个基本内容，而Cramer法则是行列式的压轴，该法则的原始证明要利用和逆用展开法则，复杂且难于理解。
本文利用行列式的性质给出Cramer法则的简洁证明，并且根据教材的编排不同再给出了Cramer法则的另外两种证明方法。
%The determinant is a basic and important content of algebra , and Cramer rule is the most important of determinant . The original proof of the rule is complex and difficult to understand with using expansion rule . This paper uses properties of determinant to proof the Cramer rule simple , and gives other two prove methods to Cramer rule according to different textbooks .【期刊名称】《怀化学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P84-86)【关键词】Cramer法则;证明方法【作者】谢乐平;李明燕;韩汝月;范雪艳【作者单位】怀化学院数学系，湖南怀化 418008;怀化学院数学系，湖南怀化418008;怀化学院数学系，湖南怀化 418008;怀化学院数学系，湖南怀化 418008【正文语种】中文【中图分类】O151《高等代数》中有一个重要的部分——行列式[1]83-86，[2]102-105，当然《线性代数》中行列式也是很重要的内容.从1683年日本数学家关孝和提出行列式的概念和运算以后，行列式的知识已可以单独构成代数的一个部分，现在虽然行列式的发展已经成熟，但是它在线性代数的一些应用中仍起着非常重要的作用.行列式这一知识的压轴重点就是Cramer法则.但Cramer法则的证明还是沿用原始的证明方法[3]53-54，[4]27-30，[5]17-18，[6]24-25，该方法比较复杂而且对于初学者来说难于理解和接受.本文的目的就是利用行列式的性质得到Cramer法则的简化证明.Cramer法则用于讨论方程个数等于未知数个数的线性方程组Cramer法则：如果线性方程组(1)的系数行列式那么该线性方程组有唯一解，并且解可以通过系数和常数构成的行列式表示其中dj表示将d中的第j列换成方程组的常数列(b1,b2,…,bn)T所得的行列式，即Cramer法则的原始证明要把行列式展开并逆用展开法则，还要对展开的n2个项重新组合讨论，所以对于初学者来说比较复杂也难于接受和理解.为了给出简洁证明，我们先给出两个引理引理1 如果n阶行列式d=det(aij)≠0，则利用行列式的性质化d为上三角行列式t的对角元都不等于零.证明可以对行列式作变换，即交换两行和行列式某一行的倍数加到另外一行.利用这两种变换可以把任意行列式化为上三角行列式(由于篇幅关系在此不列出化上三角行列式的算法).根据行列式的相关性质，第一种变换改变行列式的符号，第二种变换不改变行列式的值.所以不等于零的d化为t，仍有t≠0，又上三角行列式t等于对角元的乘积，从而t的对角元都不等于零.引理2 如果线性方程组(1)的系数行列式d=det(aij)≠0，则有解.证明由引理1，化d=det(aij)得上三角行列式t为根据中学数学知识(引理1中行列式的两种变换是同解变换)可得线性方程组(1)同解于t对应的一个方程组其中为实数，因为cii≠0,i=1,2,…,n.(3)显然有解，从而(1)也有解.Cramer法则的简洁证明：由引理2，线性方程组(1)有解.设(l1,l2,…,ln)为方程组(1)的一个解，用lj乘系数行列式的第j列元素，得对上式右边的行列式再作变换：第k列元素乘lk加到第j列(k=1,2,…,n,k≠j)，则第j列刚好变为(1)中方程未知数用解(l1,l2,…,ln)代入的左边的式子ai1l1+ai2l2+…+ainln,i=1,2,…,n，也就等于右边bi,i=1,2,…,n，即有所以，lj=.这样得到如果(l1,l2,…,ln)是方程组(1)的解，则该解一定是(2)式，从而证明了解的唯一性.当然从这个过程也可得(2)式是方程组(1)的解.所以Cramer法则得证.线性代数的新编教材[7]78-79把矩阵的基本知识排在行列式的前面，所以利用了逆矩阵和伴随矩阵证明Cramer法则，其中也要逆用复杂的展开法则，而解的唯一性的证明是利用系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩并且等于位置数的个数得到的.实际上，也可以利用2中的Cramer法则的简洁证明来避开展开法则.Cramer法则的第一种证明方法：线性方程组(1)可以用矩阵表示为其中因为(1)的系数行列式d=|A|≠0，所以A是可逆的，用A-1左乘(4)的两边得X=A-1B，即(1)有解.然后利用2中的Cramer法则的简洁证明即可完成证明过程.当然，其中解的唯一性也可以这样证明：因为A可逆，AX=B⟺X=A-1B，又逆矩阵具有唯一性，所以解X=A-1B也是唯一的.在上述第一种证明方法中是因为已经学习了矩阵的相关知识.如果已经学习向量的相关知识，那么我们就可以利用向量的线性表示和线性相关性得到，Cramer法则的第二种证明方法：线性方程组(1)可以用向量表示为其中一方面，因为(1)的系数行列式d=|A|≠0，所以向量组α1,α2,…,αn线性无关.另一方面，向量组α1,α2,…,αn,β线性相关(因为该向量组向量个数大于向量的维数)，所以β可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示，并且表示方法唯一，从而(5)中系数x1,x2,…,xn的取值就是(1)的解，也就是说(1)有解并且解唯一.然后利用2中的Cramer法则的简洁证明即可完成证明过程.Cramer法则的简洁证明及另外两种证明方法不要用到复杂而且对初学者难于接受和理解的展开法则，仅仅利用中学数学知识和行列式的性质就可以证明该法则，这样的证明是容易理解和接受的.【相关文献】[1]北大数学系几何代数教研室编.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]张禾瑞等编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[3]同济大学数学系编.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2009.[4]华中理工大学数学系编.线性代数[M].北京:高等教育出版社,施普林格出版社,2003.[5]刘金旺.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2006.[6]胡显佑.线性代数[M].北京:中国商业出版社,2006.[7]谢政.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2012.。
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n −1
D2 =
7 5
= 2( D n −1 −5D n − 2 )
n −2
= 39 D = 7 1 2 ( D n −2 −5D n −3 ) = L= 2
n −1
( D 2 −5 D 1 ) = 2 n
D2 − 2 D1 = 25
Dn − 2 D
2
= 5( D n −1 −2 D n − 2 )
8 1 27 64
1 4 16 64
3
= (1 − 2)(3 − 2)( 4 − 2)(3 − 1)( 4 − 1)( 4 − 3) = −12
( a − 1) 2 ( a − 1) D= a −1 1
3
( a − 2) 2 ( a − 2) a−2 1
( a − 3) 2 ( a − 3) a−3 1
2 2 O =2 N 3 0 2 3 3 2 O N
3
0
2 22n 1
2 02n−1
= 4D 2n−2 − 9D2n−2 = −5D2n−2 2 = ( −5) 3 D2 n −6 = ( −5) D2 n −4 n−1 = L = ( −5) D2 2 3 n D2 = = (−5) 3 2
= −5
一定有解 零解
定理2 若齐次方程组的系数行列式 定理
D ≠ 0 则方程组有惟一零解 则方程组有惟一零解.
定理2 若齐次方程组有非零解， 定理 * 若齐次方程组有非零解，则它 ＝ 的系数行列式 D＝0
例1：λ为何值时，方程组有非 零解？ λx + y − z = 0 x + λy − z = 0 2 x − y + λz = 0
b1 D − a11 D1 − a12 D2 − L − a1n Dn = 0
为此构造n+1阶行列式 阶行列式 为此构造
Dn +1 =
b1 b1 M bn
a11 a11 M a n1
a12 a12 M an2
L a1n L a1n L M L a nn
此行列式为零.将其按第一行展开 得 此行列式为零 将其按第一行展开,得 将其按第一行展开
求二阶A矩阵的伴随矩阵 例:求二阶 矩阵的伴随矩阵 求二阶 矩阵的伴随矩阵.
a b A= c d
d − b A = − c a
∗
AA =
a11 a 21 M a n1 L a1n A11 a 22 L a 2n A12 M L M M a n 2 L a nn A1n a12 An1 A22 L An 2 M L M A2n L Ann A21 L
伴随矩阵
A = (aij )n×n
A21 L A22 M A2n An1 L An 2 L M L Ann
Aij的 两个应用
A11 ∗ A12 A = M A 1n
∗
Aij为aij的代 数余子式
伴随矩阵
代数余子式的顺序! 写A 时要注意什么？ 代数余子式的顺序!
5 O
第n +1行 减第1行 L
3 N 5 N 3 O −1 0 −1
=
= (−1) 5
n n
0
也可用按行或列展开做. 也可用按行或列展开做
按第一行展开。 按第一行展开。
2 2 O D2 n = N 3 3
0 2 3 O − 3 N 3 3 2 3 3 2 O N 3
3 3 N 2 3 3 2 O 2 2
2 3 2 3
1 a−4 ( a − 4) ( a − 4) 1 a −1 ( a − 1) ( a − 1)
2 3 2 3
= 3!2!1! = 12
1 1 求方程 p( x) = 1 1
2 3 4 x
4 9 16 x2
8 27 64 = 0 的根 x3
2， 3， 4
克莱姆法则
考虑方程组
行列式的应 用
2a 22 − 1 L
≠0
L 2a nn − 1
故方程组有惟一零解。 故方程组有惟一零解。 行列式练习： 行列式练习： 1. 2
3 N
5 O = 5 3 5 2 N O 5 N
3
O D2 n = N 3 2 3 3 2
O 2
2
列加到第n列 … 第n+1列加到第 列,… 列加到第 列加到第1列 第2n列加到第 列. 列加到第
∗
A = O
∗ = AE = A A A
一个很重 要的式子
AA = A A = A E
∗
∗
例.范德蒙行列式 1 a1 2 a1 Dn = M
n −1 a1
1 a2 2 a2 M
n −1 a2
1 a3 2 a3 M
n −1 a3
L L L L L
1 an 2 an M
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
与二,三元线性方程组类似 元方 与二 三元线性方程组类似,n元方 三元线性方程组类似 程组也可用行列式表示. 程组也可用行列式表示
定理1 定理 若方程组的系数行列式
a11 a 21 M a n1 a12 a 22 L a1 n L a2n
D=
M L M a n 2 L a nn
≠0
则方程组有惟一解， 则方程组有惟一解，且表示为
Dn D1 D2 x1 = , x2 = ,L , x n = D D D
其中
a11 L a1( j −1) b1 a1( j +1) L a1n Dj = M L M M M L M an1 L an( j−1) bn an( j +1) L ann
a11 L a1( j −1) a1 j x j a1( j +1) L a1n M L M M M L M an1 L an( j−1) anj x j an( j+1) L ann
= Dj
bi = ai1 x1 + L + aij x j + L + ain xn
(i =1,2,L, n)
定理1 定理 * 若线性方程组的系数行列式不为 则方程组有惟一解. 零,则方程组有惟一解 则方程组有惟一解 方程组
2 −1 中x 4和x3的系数，常数项 1 x
行列式的 定义
设A、B为n阶方阵，且A2 = E，B 2 = E，A | + | B |= 0 | 证：A + B |= 0 |
练习：设A为n阶方阵，AA = E，A |= −1， | 证：A + E |= 0 |
T
设多项式f ( x) = a0 + a1 x + L an x n , 证明：若f ( x)有n + 1个互异零点，则f ( x) ≡ 0
要证明这一定理,需证明两点 一是有解 要证明这一定理 需证明两点.一是有解 需证明两点 一是有解, 二是解惟一,为 二是解惟一 为
xj =
Dj D
( j = 1,2, L , n )
欲证
xj =
Dj D
( j = 1,2, L , n )
是解,只需证明等式 是解 只需证明等式
Dn D2 D1 a11 + a12 + L + a1 n = b1 D D D 个式子成立.整理上式 等n个式子成立 整理上式 得: 个式子成立 整理上式,得
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = 0
称为n元齐次线性方程组 称为 元齐次线性方程组. 元齐次线性方程组
7 5 2 7 2.Dn = 2 5 7 5 O O O 2 7 5
2 5 2 7 7 (按第一行展开 按第一行展开) 按第一行展开 = 7 Dn −1 − 5 2
5 7 O O O 5 2 7
= 7 Dn −1 − 10 Dn −2
Dn = 7 Dn −1 − 10 Dn −2
⇒ Dn − 5 D
证：因为系数行列式为
1 a11 − 2 D= a 21 M a n1
2a11 − 1 1 = n 2 2a 21 M 2a n1
a12
L
a1n a2n M 1 − 2
2a1n 2a 2 n M
1 a 22 − L 2 M L an 2
L a nn
2a12 M 2a n 2 L L
按定义展 开，除主 对角线上 的元素之 乘积为奇 数，其余 数均是偶 数。
b2 a21 L a2n 2+n (−1) a1n M M M L M bn an1 L ann
bn
= b1 D − a11 D1 − a12 D2 − L − a1n Dn = 0
由 D ≠ 0 得证。 得证。 再证解是惟一的, 再证解是惟一的 为 x j =
Dj D
即
D⋅ xj =
D ⋅ xj = Dj
3
( a − 4) 2 ( a − 4) a−4 1
3
1 D= a −1 ( a − 1) ( a − 1) 1 = a−4 ( a − 4) ( a − 4)
2 3 2 3
1 a−2 ( a − 2) ( a − 2) 1 a−3 ( a − 3) ( a − 3)