南京航空航天大学结构力学课后习题答案第3章

第三章 能量原理

（习题解答）

3-1 写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。（a ）等轴力杆；（b ）弯曲梁；（c ）纯剪矩形板。

解：（a ）等轴力杆 应变能

{}{}2220111()2222T V

V V

Ef U AdV d dV dV E Lf E Lf L L εσεεσεε∆∆⎡⎤======

⎢⎥⎣⎦⎰

⎰⎰⎰

余应变能

22*

21()2222V V fL fL N N L

U BdV dV E E f Ef

σεσ=====⎰⎰

其中L 为杆的长度，f 为杆的截面积，Δ为杆的变形量，E 为材料的弹性模量。

（b ）弯曲梁 应变能

{}{}{}{}222222222220111()()22211()()22T

T

x V V V V l V d w d w U dV dV z dV Ez dV

dx dx

d w d w E z dydzdx EJ dx dx dx

σεσεσ==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰线性

余应变能

222*

220111111()2222l x x V V V My M y M U dV dV dzdydx dx J E E EJ

J σε===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

（c ）纯剪矩形板 应变能

{}{}t b a G dV G dV dV U V V V

T

⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=

=⎰⎰⎰2

22

12121γγγτεσ 余应变能

Gt

f

q t b a G dV G dV U V V 222*

21212121=⋅⋅⋅==⋅=⎰⎰ττγτ

3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能，应力—应变之间的关系式为 （a ） E σε= （b ）

σ=

解：取节点2进行受力分析，如图3-2a 所示。 根据平衡条件，有

1321

311221

13cos 45cos 45sin 45sin 4522

N N P N N P N N ︒︒︒︒⎧+=⎨=+⎩⇒== （1）

3

1

131

3

N N f f σσ=

=

（2） （a ） E σε=时 3

1131

3

N N Ef Ef εε=

=

（3） 0

V

U AdV fl d ε

σε==⎰⎰ （4）

V

U BdV fl d σ

εσ*==⎰⎰ （5）

联立（1）、（2）、（3）、（4），得到桁架的应变能为

()()222212123

1131322P P P P N N l l U f f f f ⎤+-⎫=+=

+⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

联立（1）、（2）、（3）、（5），得到桁架的余应变能为

()()2222121231

131322P P P P N N l l U f f f f *⎡⎤+-⎫=+=

+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

（b ） σε=时

2

2

311322

2213

N N E f E f εε== （6）

联立（1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的应变能为

()()33

12212

22

133P P P P l

U E f f ⎡⎤+-=

+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

联立（1）、（2）、（5）、（6），得到桁架的应变能为

()()33

1221

2

22

136P P P P l U E f f *⎡⎤+-=

+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律

()()22

2x x y y y x xy xy E

E εσμσεσμσγτ=-=-= 其中E 、G 和μ是材料常数。导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。

解：应变能密度

A d ε

σε=⎰

余应变能密度

B d σ

εσ=⎰

总应变能密度

()3

33

12x T x y xy y xy x x y y xy xy

xy x y x y A B E G

σεεγστσεσετγτσσμσσ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

=++=+-+

而

()()0

2

22

333

11112333x y xy

x

y

xy

xy x x y y xy xy

x

y x y

x y xy x y x y xy B d d d E d E d G d E G

σστσστεσεσγτσ

μσσσ

μσσττσσμσστ=++=-+-+⎛⎫=

+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

所以应变能密度为

()()3

33

333333

()1111122333213xy x y x y x y x y xy xy x y A A B B

E G E G E G τσσμσσσσμσσττσσ=+-⎛⎫=+-+-+-- ⎪⎝⎭

⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦