第8章差错控制编码技术

（3） 混合纠错方式
混 合 纠 错 方 式 记 作 HEC， 是 FEC 和 ARQ方式的结合。
（4） 信息反馈方式
信息反馈方式记作IF，信息反馈是收 端将接收的消息原封不动地送回发端，由 发端将反馈信息和原发送信息进行比较， 发现错误进行重发，其优点是方法和设备 简单，无需纠（检）错编译系统。
间的关系
由上可知，监督矩阵H和生成矩阵G 之间有一一对应的关系。由于G的每一行 都为码字，因此它必然满足式（8-7）
HAT=0T
即
HGT=0T
3. 线性分组码的译码——伴随
式（校正子）S
若某一码字为许用码组，则它必然满 足式（8-7）。利用这一关系，在接收端将 收到的码组和事先与发端约定好的监督矩 阵相乘，看是否为零。若满足条件，则认 为接收正确；反之，则认为传输过程中发 生了错误，进而设法确定错误的数目和位 置。
（2） 检错和纠错能力
① 检测e个随机错误，则要求最小码 距d0≥e+1； ② 纠正t个随机错误，则要求最小码 距d0≥2t+1； ③ 纠正t个同时检测e（e＞t）个随机 错误，则要求最小码距d0≥t+e+1。
（3） 编码效率
用差错控制编码提高通信系统的的可 靠性，是以降低有效性为代价换来的。定 义编码效率R来衡量有效性：
R=k/n
其中，k是信息元的个数，n为码长。
4. 常用的几种简单编码
（1） 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一 个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数 或偶数，或者说，它是含一个监督元，码 重为奇数或偶数的（n，n-1）系统分组码。 奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。
（2） 行列监督码
在收端采用维特比算法执行最大似然 检测。编码网格状图中的每一条支路对应 于一个子集，而不是一个信号点。检测的 第一步是确定每个子集中的信号点，在欧 氏距离意义下，这个子集是最靠近接收信 号的子集。 图8-11描述了最简单的传输2比特码字 的8PSK四状态TCM编码方案。它采用了 效率为1/2的卷积码编码器，对应的格图如 图8-12所示。
引入了编码和调制相结合统一进行设 计的方法，也就是网络编码调制（Trellห้องสมุดไป่ตู้s Coded Modulation，TCM）技术。它是利 用编码效率为n/（n+1）的卷积码，并将每 一码段映射为2n+1个调制信号集中的一个信 号，使信号点之间相互依赖。
它有两个基本特点。 （1） 在信号空间中的信号点数目比 无编码的调制情况下对应的信号点数目要 多，这些增加的信号点使编码有了冗余， 而不牺牲带宽。 （2） 采用卷积码的编码规则，使信 号点之间引入相互依赖关系。仅有某些信 号点图样或序列是允许用的信号序列，并 可模型化成为网格状结构，因此又称为 “格状”编码。
2. 差错控制编码的分类
（1） 按照差错控制编码的用途不同 可分为检错码、纠错码和纠删码。
（2） 按照信息码元和监督码元之间 的函数关系可分为线性码和非线性码。 （3） 按照对信息元处理方式的不同 可分为分组码和卷积码。
（4） 按照码组中信息码元在编码前 后是否相同可分为系统码和非系统码。 （5） 按照纠（检）错误的类型可分 为纠（检）随机错误码、纠（检）突发错 误码和既能纠（检）随机错误同时又能纠 （检）突发错误码。
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S=BHT=（A+E）HT=EHT
由此可见，伴随式S与错误图样E之间 有确定的线性变换关系，与发送码组A无 关。接收端译码器的任务就是从伴随式确 定错误图样，然后从接收到的码字中减去 错误图样。
从以上分析可以得出线性分组码译码 的基本步骤： ① 计算接收码组B的伴随式S； ② 根据S找出错误图样E，判定误码 位置； ③ 根据E纠正错误，得到正确的码组 A=E+B。
2. 监督矩阵H和生成矩阵G
（1） 监督矩阵
我们把H称为监督矩阵，或称一致校 验矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之 间的关系也就确定了。H为 r×n阶矩阵， H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵 可分成两部分，其中P为r×k阶矩阵，Ir为 r×r阶单位阵。能写成H=［PIr］形式的矩 阵称为典型监督矩阵。
A（x）=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
1. 生成多项式和生成矩阵
如果一种码的所有码多项式都是多项 式g（x）的倍式，则称g（x）为该码的生 成多项式。在（n，k）循环码中任意码多 项式A（x）都是最低次码多项式的倍
式。如表8-5的（7，3）循环码中
4+x3+x2+1 g（x）=A1（x）=x
（6） 按照每个码元的取值可分为二 进码和多进码。
3. 差错控制编码的基本原理
差错编码的基本思想是在被传输信息
中增加一些冗余码，利用附加码元和信息
码元之间的约束关系加以校验，以检测和
纠正错误，增加冗余码的个数可增加纠检
错能力。
（1） 码长、码重、码距
编码码组的码元总位数称为码组的长 度，简称码长。 码组中，“1”码元的数目称为码组 的重量，简称码重。 两个等长码组之间对应位上码元不同 的数目称为这两个码组的距离，简称码距。
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为
了改善这种情况，引入行列监督码。这种 码不仅对水平（行）方向的码元，而且对
垂直（列）方向的码元实施奇偶监督。
（3） 恒比码
码字中1的数目与0的数目保持恒定比 例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个 码组均含有相同数目的1和0，因此恒比码 又称等重码，定1码。这种码在检测时，只 要计算接收码元中1的个数是否与规定的相 同，就可判断有无错误。
第八章 差错控制编码技术
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
差错控制编码的基本概念 线性分组码 循 环 码 卷 积 码 网格编码调制（TCM） Turbo码 差错控制编码对系统性能的改善
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分 为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道， 其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典 型的突发信道，错误是成串成群出现的， 即在短时间内出现大量错误。
逻辑译码。
（1） 维特比译码
维特比译码。它是一种最大似然译码
算法。最大似然译码算法的基本思路是， 把接收码字与所有可能的码字比较，选择
一种码距最小的码字作为解码输出。
（2） 序列译码
当m很大时，可以采用序列译码法。 其过程如下。 译码先从码树的起始节点开始，把接 收到的第一个子码的n个码元与自始节点出 发的两条分支按照最小汉明距离进行比较， 沿着差异最小的分支走向第二个节点。在 第二个节点上，译码器仍以同样原理到达 下一个节点，依此类推，最后得到一条路 径。
（3） 格图
格图也称网络图或篱笆图，它由状态 图在时间上展开而得到。
图8-6 （2，1，2）卷积码的状态图
2. 卷积码的译码
卷积码的译码可分为代数译码和概率
译码两大类。卷积码不是分组码，但仍属
于线性码，同样可由生成矩阵G和监督矩
阵H来确定。代数译码就是利用生成矩阵
和监督矩阵来译码，最主要的方法是代数
循 环 码
的生成矩阵可
以很容易的由 生成多项式得 到，常用矩阵 的形式表示。
2. 监督多项式和监督矩阵
为了便于对循环码编译码，通常还定 义监督多项式，令
其中g（x）是常数项为1的r次多项式，是 生成多项式；h（x）是常数项为1的k次多 项式，称为监督多项式。同理，它的监督 矩阵H
3. 循环码的编解码方法和电路
8.4 卷 积 码
卷积码又称连环码，是1955年提出来 的一种纠错码，它和分组码有明显的区别， 属于非分组码。
1. 卷积码编码
卷积码常用符号（n，k，m）表示。 其中，n为码长，k为码组中信息码元的个 数，m为相互关联的码组的个数。
卷积码同样也可以用矩阵的方法描述， 但较抽象。因此，采用图解的方法直观描 述其编码过程。常用的图解法有3种：树图、 状态图和格图。
（4） 群计数码
群计数码是将信息码元分组后，计算
每组码元中“1”的个数，然后将这个数目 的二进制表示作为监督码元，一起送往发
送端。
8.2 线性分组码
1. 线性分组码的定义和特点
线性分组码，是指信息码元与监督码 元之间的关系可以用一组线性方程来表示 的分组码，即在（n，k）分组码中，每一 个监督码元都是码组中某些信息码元按模2 和而得到的，线性分组码是一类重要的纠 错码，应用很广。
差错控制的基本工作方式有4种：前向 纠错、检错重发、混合纠错和反馈校验。
（1） 前向纠错方式
前向纠错方式记作FEC。发端发送能 够纠正错误的码，收端收到信码后自动地 纠正传输中的错误。其特点是单向传输， 实时性好，但译码设备较复杂。
（2） 检错重发方式
检错重发方式又称自动请求重传方式， 记作ARQ。
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是 一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零。 若码长为n，监督码元的个数为r，则要求 2 r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用来 纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元 个数最少，效率最高。
（2） 生成矩阵
称为生成矩阵，由G和信息组就可以
产生全部码字。G为k×n阶矩阵，各行也
是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部
分：其中Q为k×r阶矩阵，Ik为k阶单位
阵，可以写成式（8-12）形式的G矩阵，称 为典型生成矩阵。非典型形式的矩阵经过 运算也一定可以化为典型矩阵形式。
（3） 监督矩阵H和生成矩阵G之