题解有限元法和无网格伽辽金法
伽辽金无网格法和有限元法的比较
０ 引
言
ห้องสมุดไป่ตู้
有限点法Ｅ 、 ｐ云法Ｅ 引ｈ 及单位分解法Ｅ 等。本 。 文通 过对 几种 平 面模型 采用无 网格法 和有 限元 法 分别计算 ， 得出应力和位移的 Ｌ 误差 ， ｚ 通过误差 曲线 比较两者的精度和收敛率。
在工程实际和科学分析 中， 数值方法被用来 求解复杂体系的控制方程 ， 如有限差分法 、 有限元 法 和边界 元法 。近 １ 年 来 ， 网格法 逐渐 兴起 成 ５ 无 为数值分析中的另一 种求解偏微分方程的方法 ， 这种方 法直 接通 过 一 组 结 点来 构 造 近似 体 系 ， 增 加或删除结点很方便 。
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第３ Ｏ卷 第 ７期
２０ ０ ７年 ７月
合肥 工 业 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＥＦＥＩＵＮＩ ＲＳＴＹ ＴＥＣＨＮＣＬ ＶＥ Ｉ ＯＦ ｌＯＧＹ
Ｖｏ ＿ ０Ｎ ｏ ７ ｌ３ ．
Ｊｌ ０ ７ ｕ。２ ０
Ｃｏ ｐａ ａ ｉｅ ｓｕ ｙ ｏ ｈ ｌｒ ｎ ｍ ｅ ｈ ｆｅ ｍ ｒ ｔｖ ｔ ｄ ｆｔ ｅ Ｇａｅ ｋｉ ｓ －ｒ ｅ
ｍ ｅ ｈｏ ｎ ｈ ｉ ｔ ｌ ｍ ｅ ｅ ｈ ｄ ｔ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｆｎｉｅ ｅ ｅ ｎｔｍ ｔ ｏ
ＬＩ ＡＮＧ ａ － ｏ ｇ ＮＩ Ｚ ｏ ｇ ｒ ｎ ， ＣＨ Ｅ Ｇ ａ ｇ ｚ ｅ ｇ Ｘｉｏ ｄ ｎ ， Ｕ ｈ ｎ － ｏ ｇ Ｎ Ｃｈ ｎ － ｈ ｎ
无 网格 法 由于 采 用 基 于点 的 近似 ， 因此 可 以 彻底 或部 分 地消 除 网格 ， 需 要 网格 的初 始 划 分 不
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｉｉ Ｅ ｇ ｎ ｅ ｉｇ Ｓ ｈ ｏ ｖ ｎ ｉｅ ｒ ，Ｈｅ ｅ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｈｅｅ ３ ０ ９ ｈ ｎ ） ｏＣ ｌ ｎ ｆｉ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｔ Ｔｅ ｆｉ ０ ０ ，Ｃ ｉ ａ ２
经典：第八讲-有限元法(8)
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。 伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。
1
（5）伽辽金法
简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。 等效积分形式
伽辽金法的一般表达式
引入变分 更简洁的形式：
22
弹性长杆的定解问题
微分方程 定解条件
Eu g 0
u xa 0
E u x
xb q
对应泛函
泛函的变分
23
有限元法的基本原理
2．加权余量法
直接从微分方程出发的一种积分方法。
假设未知函数采用近似函数表达：
n
u u Niai Na i 1
近似函数表示的微分方程的残差
边界条件的残差
其思想是使由近似函数表示的微分方程的残差和边界条件的残差的加权积分为零
加权函数、近似解试探函数、坐标插值 函数的类型一致
29
d）单元平衡方程
30
4） 总体分析
a） 建立选择矩阵：
31
b) 组集单元刚度矩阵 c) 组集等效节点载荷
Fe
Al 2
Aqe (x1e )
Al 2
Aqe
(
x2e
)
T
d） 解以节点为未知量的方程组
32
热传导问题的有限元方法
33
热传导方程
a
xb
此式即杆的平衡方程
19
iii ）含有约束条件的变分问题
一端约束（指定位移）的弹性杆
解法1：Lagrange 乘子法构造新泛函
I *(u)
b a
F u
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
题解有限元法和无网格伽辽金法
题解有限元法和无网格伽辽金法
张俊贤;朱风风;王金田
【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2010(036)001
【摘要】采用无网格伽辽金法和有限元法对一维问题进行了数值模拟,对结构体离散、刚度矩阵、等效节点荷载、边界条件、计算精度和效率等进行了比较,数值模拟结果表明,同样的节点划分,无网格伽辽金法得到的数值解精度较高、与解析解吻合较好,但是计算量大于有限元法.
【总页数】2页(P68-69)
【作者】张俊贤;朱风风;王金田
【作者单位】烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005;烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005;烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005
【正文语种】中文
【中图分类】TU311
【相关文献】
1.改进的高斯-无网格伽辽金法解偏微分方程 [J], 孟虹宇;彭磊
2.基于无网格伽辽金法的非线性流动数值模拟 [J], 孟俊男;潘光;曹永辉;李林丰;黎针岑;周冰
3.二维多域弹性问题虚边界无网格伽辽金法分析 [J], 杨冬升; 凌静
4.三维单域弹性问题虚边界无网格伽辽金法分析 [J], 杨冬升; 吴福飞
5.基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 [J], 王宁; 王旭东; 蔡来强; 姚曼
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[硕士]题解无网格法及其与有限元法的比较研究初步_pdf
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ห้องสมุดไป่ตู้摘要
近几十年来，有限元法(FEM)由于其通用性和灵活性已经成为工程数值领域的主要方法， 但是有限元法在分析大变形、不连续性等问题时存在缺陷。无网格法(MLM)正是基于这些缺 陷提出的。本文在分析了无网格法的研究历史和现状、分类和优缺点的基础上，基于算例分 别采用无网格伽辽金法(EFGM)和有限元法进行数值模拟，对两者在结构体离散、刚度矩阵 建立、等效节点荷载施加、边界条件的引入等方面进行了比较分析，并指出了各自的优缺点。
文章简述了无网格法中另外的比较成熟的方法——配点法，并基于一维算例在相同条件 下分别与无网格伽辽金法计算结果进行了对比。相比于无网格伽辽金法，配点法计算效率高、 位移边界条件容易实现、但系数矩阵是非对称的、稳定性较差。
本文简单介绍了克立格法，并将其应用到求解无网格法形函数的过程中，建立了克立格 无网格伽辽金（KEFG）法（简称克立格无网格法)。用克立格无网格伽辽金法分析了一维杆件 算例，并与相同材料参数条件下运用无网格伽辽金法得到的结果进行对比，结果表明该方法 具有很好的稳定性和点插值性，方便施加位移边界条件，在固定端的误差相对于无网格伽辽 金法要小，且计算量远小于无网格伽辽金法。
最后运用无网格伽辽金法求解了土体的二维固结问题，并与相同条件下运用有限元法得 到的结果进行比较。结果表明两种方法计算结果比较吻合，说明该方法可以有效地模拟工程 问题。
关键字： 无网格伽辽金法；有限元法；配点法；克立格法。
I
筑龙网
Ａｂｓｔｒａｃｔ
In recent decades, the finite element has become a major field of engineering numerical methods, as it is universal and flexible. But defects of the finite element method exist in analyzing large deformation, non-continuityand so on. The meshless method is proposed basing on these defects. The element-free Galerkin method (EFGM) and finite element method (FEM) are adopted to numerically simulate a numerical example basing on the development history and present situation, classification, advantages and disadvantages analysis of the meshless in this text. And comparisons are also made between the results by this two methods basing on the numerical examples in structure discrete, stiffness matrix establishment, application of equivalent node loads and boundary conditions application, etc. And theirs advantages and disadvantages are pointed out.
计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
电磁波方程
Yee格式及蛙跳机制
电磁波方程的离散
激励源
Mur吸收边界条件
解的数值稳定性
Yee格式及蛙跳机制
n d 2 l E dl = 0 dt A H dS 1 = 0 H n1 dS H n dS A A t d H d l = E dA J dA 0 l A dt A
t H x 0
E
n 1 z i , j , k 1/2
Hx z
n 1 2 i , j 1/2, k 1/2
Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
Hz x
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
n 1 2 J Source _y
f x x
xi
1 2 f x x f x x O x i i 2x
离散
计算机处理
1.积分 f xi x
岩土工程数值方法
岩土工程数值方法摘要：逐渐发展起来的一些岩土分析手段与数学理论，如信息量法、层次分析法、随机模拟法、无网络法、数值流形法、离散元法、分形理论、可靠度分析、人工神经元网络和智能岩石力学等，已经呈现出综合应用的趋势，对于岩体力学研究而言，岩石破坏过程的渐进性、岩体内部初始损伤的存在及块体之间的不连续特征是必须考虑的因素，因此建立在连续介质力学基础上的传统有限单元法具有明显的局限性。
各种新方法的涌现从不同方面推动了岩石力学数值计算方法的进步。
关键词：岩土数值模拟有限元法无网络伽辽金法扩展有限元法数值流形法离散元法Abstract: gradually developed some geotechnical analysis method and mathematical theory, such as information method, the analytic hierarchy process (ahp), random simulation method, the numerical manifold method, no network, discrete element method, fractal theory, reliability analysis, artificial neural network and intelligent rock mechanics etc, has presented a comprehensive application trend, for research in rock mechanics, rock failure process of rock mass progressive, the existence of the internal initial damage and block the discontinuous characteristics between is must consider factors so based on continuum mechanics on the basis of the traditional finite element method has obvious limitation. All kinds of the emerging of the new method from different aspects promote the rock mechanics numerical calculation method of progress.Keywords: geotechnical numerical simulation finite element method without network petro-galerkin method was expanded numerical manifold method finite element method of discrete element method中图分类号：O241 文献标识码：A文章编号：岩土数值模拟是否正确，其解决问题的重要基础仍然是地质工作，“地质体运动真实行为的理解比精确计算更为重要”。
伽辽金法
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
谢谢
THAN到满足，若记：
RI RB
L(u%) B(u%)
f g
在V域内 在S边界上
显然 RI RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 WI，在边界S上引入边界权函数WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
EI
d4y dx4
q
0
其边界条件为：
y
dy dx
0
d
2
y
dx2
d3y dx3
0
(x 0) (x l)
若取试函数为：
y% c(x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2 )
不难验证其满足边界条件，也即RB 0。而控制方程的内部余量 RI 为:
RI EIc(120x 24l) q
此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
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其 中 ， 函数 ： 形
“ ） Ｊ （ １专一 ｚ ｌ
（ ） ＝
（ １ ）
（） ２
小二乘法可得待定系数向量 ：
ａ ） （ ＝Ａ Ｉ （２Ｂ（ ） １ ３） “ （） ３
近似函数 ： ຫໍສະໝຸດ “（ ≈ “ （ ） ） ＝Ｎ （ “ ）
（） ４
２ 结构 体离 散
无 网格法基 于节点 对结 构体进行离散 ， 而有限元法基于单元 对结构体进行离散 。这样 的差别 使得 无 网格 法对结 构体进 行 离 散的时候更加灵活 ， 在处理 大变形 、 力变化 剧烈 的问题 上具有 应
有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ Ｍｅｈｄ Ｆ Ｍ）１ ｊ 工 程 数 值 分 析 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｔｏ ， Ｆ Ｉ０为 ｅ ｍｅ － 速撞 击 、 态 裂 纹 扩展 等涉 及 特 大变 形 的 问 题 时遇 到 了 因 网格 畸 动 变 而产 生 的 困难 。而 无 网格 法 （ ｓ ｅｓＭｅｈ ， Ｍ ） ］ 处 ＭｅｈＬ ｓ ｔｏ ＭＬ ［ 在 ｄ ３ 理 大 变形 或 网格 畸 变 等 问题 时 具 有 明 显 的 优 势 。 目前 已 经 提 出 了十余种 ＭＬ 常用的主要有广义有限差分法ｌ 、 Ｍ， ４ 光滑质点流体 ｊ 动力 学 法 ］Ｅ Ｇ Ｅ 。Ｅ Ｇ 是 ＭＬ 中较 为 成 熟 的方 法 ， Ｆ Ｍ 等 ＦＭ Ｍ 文
优势 。
其 中， ３） ） （ Ｂ（ Ｎ（２ ＝Ｐ （ Ａ ｘ） ｘ）
Ａ（２ ， ． 分 别 为 ： ３）Ｂ（２ ７ ）
（） ５
Ａｚ ＝∑叫（）（， Ｔ ｆ （） ， Ｐ ） （ ） Ｐ
（ ６ ）
Ｂ（ ） ｕｌ Ｐ（ ） ２ ） ｘ ）… ， ，（ Ｐ（ ） （ ） ＝［ ・ ） １ ． （ Ｐ（ ２ ， ｕ ） ］７ ｒ （ ２ 有 限元法 。图 ２中求解域 ｎ 被 离散 成 Ｎ 一１个相互 连接 ） 的单元 ， 假设待求位移场 函数 “ ） （ 在求解域 ｎ 中的 Ｎ 个节点 ，
析 解 吻 合 较 好 ， 是 计 算 量 大 干 有 限元 法 。 但 关键 词 ： 网格 伽 辽 金 法 ， 限 元法 ， 动 最 小 二 乘 法 ， 格 朗 日乘 子 法 无 有 移 拉 中 图分 类号 ： Ｕ３ １ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ 伽辽金法等均不需要网格 。
０ 引言
散、 刚度矩 阵和 等效节 点荷 载 、 界条 件 、 边 精度 和 效率 等方 面对
Ｅ ＧＭ 和 Ｆ Ｍ 进 行 比 较分 析 。 Ｆ Ｅ
图 ２
有 限元 模 型
３ 刚度矩 阵 和等效 节点 荷载
３ １ 形 函数 ． １无 网格 ＭＬ ） Ｓ法 。图 １中用 Ｎ 个 节点 ． （ ＝１ ２ …， ７ Ｊ ， ， Ｎ） ２ ，
“１ ＩＪ
图 １ 无 网格 模 型
单 元近似函数 ：
Ｕ
１无 网 格 法 。 如 图 １ 示 ， Ｎ 个 节 点 离 散 一 维 杆 （ 际 计 ） 所 用 实 算 取 Ｎ ＝１ ， 间距 分 布 ） 无 网 格 法 部 分 或 彻 底 取 消 网格 或 单 １等 。
ｈ ．） ） “＝ （ ＝Ｐ （ Ｃ ｒ
２ 有限元法 。如图 ２所示 ， 杆件 划分 为 Ｎ一１ ） 将 个单元 ， 通过
实际计算取 Ｎ＝１ ， 间距分布 ） １等 。 的有力工具 ， 是基 于网格 的数 值方法 。然而 ， 有限元法 在分析 高 Ｎ 个节点连接 （
章从基本理论 发 ， 针对一 维杆 ， 依照 计算 流程顺 序在结 构体离
（ ＝１ ２ … ， 处 是 已 知 的 ， “ ＝“（ ） Ｊ ， ， Ｎ） 即 ｆ Ｊ。单 元 的 位 移模 式 或 位 移 函 数 采 用 二 项式 作 为 近 似 函 数 ， 得 待 定 系数 向量 ： 可
一
ｎ Ｃｌ＝１ ． ＝ ｕ ［ Ｓ Ｃ
／ ＋
一
３×ｌ ２ ［． ｃ ］ ８ ］Ｕ ， ， ＋
第３ ６卷 第 １ 期
・
６ ・ ８
２０ １０年 １月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ １ １３ ．
Ｊｎ ２ １ ａ ． ００
・
结 构 ・ 震 ・ 抗
文 章编 号 ：０ ９６ ２ （０ ００ ．０ ８０ １ ０ —８ ５ ２ １ ）１０ ６ ．２
Ｎ（ ：了 Ｌ ｚ） １ｆ ． － ，
元， 虽然在 Ｅ Ｇ 中引入 了背 景 网格 （ 图 １ ， ＦＭ 见 ） 但是 背景 网格仅 仅用于数值积分计算。其他无 网格法诸如配点 型无 网格法 、 局部
收稿 日期 ：０ ９０ ．４ ２ ０ ．９ １
＋ （一） ｌ （ ｌ 一 ， ］Ｌ 一 ד ｌ ９ ）
题 解有 限元法和无 网格伽 辽金法 ＊
张俊 贤 朱 风 风 王金 田
摘 要 ： 用 无 网格 伽 辽 金 法 和 有 限 元 法 对 一 维 问题 进 行 了数 值 模 拟 ， 结 构 体 离 散 、 度 矩 阵 、 效 节 点荷 载 、 界 条 采 对 刚 等 边
件、 计算精度和效率等进行 了比较 ， 数值模拟结果表 明， 同样 的节点 划分 ， 网格 伽辽金 法得 到的数值解精度 较高 、 无 与解
１ 算 例
图 １ 图 ２均 为 承 受 轴 向 荷 载 的一 维 杆 模 型 。 受 线 性 分 布 荷 ，
图 离散 求 解 域 ｎ， 设 待 求 位 移 场 函数 ｚ ） 求 解 假 ｔ 在 （ 载 ＿ ） 作用 。左端 固定 ， ， ： （ 右端 自由 ， 长度 Ｌ＝１ 杆材料 的弹 （ 中实 心 点 ） ， 域 力 中 的 Ｎ 个 节 点 的 函数 值 是 已 知 的 ， ｆ Ｕ ｆ ， 用 移 动 最 Ｕ＝ （ ）利 性 模 量 Ｅ－１ ＿ 。位 移 和 应 力 的 解 析 解 为 ：