应用无网格伽辽金方法分析结构大变形问题
无网格伽辽金方法在钢筋混凝土梁开裂问题中的应用分析
Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎ ｅ ｗ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｓ
建 筑 技 术
无网 格 伽辽金方 法在 钢筋混 凝土梁 开裂问 题中的 应用分 析
王难 烂
（ 武汉科技 大学理学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ５ ）
三种 ，一种 是本 思想 简 单 ， 并 且 其 和真 实情 况 比较符 合 ，但 是 计算 过 程 中 比较 繁 琐 ， 并 且需 要 增加 新 的节 点和 单元 ， 计 算效 率 非 常 低 ；第二 种是 采 用 弥散 裂缝 的 方法 ， 该 方 法 使 用 简单 ， 易 于实 现 程 序 ， 目前 是 一 种 使 用 最 为广 泛 的方 法 ， 但是 ， 该方法 的 不 足是 很难 得 到单 条裂 缝 的宽 度 ， 裂缝 扩 展 方 向等相 关信 息 ； 第 三种 是 利用 断 裂力 学方法 ， 构造 一 个 包含 裂 缝 的单 元 ， 这 种 方 法 的优 势是 计算 结果 精 度 高 ， 但 是 随着 裂 缝 发展 的需 要 ， 要 不 断 的修 改单 元类 型 和放 置新 型 的包 含 裂缝 的单元 ， 因此 该方 法使 用起 来过 程也 非 常 繁琐 ， 并 且效 率低
ｌ概述
某个 边 界具 有相 交 的关 系 ， 则假 设 这个 节 Ｑｍａ ） 【 。
在现代建筑施工中， 混凝土是一种非 点 该边 界覆 盖 了 ， 则 无 需在 计算 该 高斯 积 （ ５ ） 如果 Ｑ ｍ ａ ｘ 大于 Ｑ， 则此 时 的裂 缝 常 重要 的建 筑材 料 ， 由于混 凝 土结构 在 通 分 点 。 深 度 比给定 的深 度要 大 ， 需 要重 新修 正 裂
应用无网格伽辽金方法分析结构大变形问题
5 影响域
影响域是影响最小二乘精度和计算量的另一个重要参数，在移动最小二乘法的收敛性 证明中，当节点的密度趋向于无穷大的时候，影响半径应该趋向于零。也就是说，影响半 径是和节点密度密切相关的。而且，其选取对结果影响非常明显，尤其是对应力的影响。
结构工程师,Structural Engineers,2003. 66. 增刊/Sup,18~22
因此，式（1）可改写为
u h ( x) = ∑ ni ( x)ui*
i =1
n
(6)
这里 ni ( x) 即为 i 节点的形函数在 x 点的值
ni ( x) = ∑ p j ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji
j =1
m
(6a)
形函数关于坐标的偏导数为
1 −1 ni ,k ( x) = ∑ { p j ,k ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji + p j ( x)[ A,− k ( x ) B ( x ) + A ( x ) B, k ( x )] ji } (7)
1 引
言
无网格伽辽金方法（EFGM）是近年来兴起的一种新型数值计算方法，其基本思路是 利用移动最小二乘法，根据积分点附近一定影响范围（称作影响域）内的节点的位移，用 最小二乘插值得到积分点附近的近似位移场函数。它突破了传统有限元分析中单元网格的 限制，极大地简化了前后处理工作。并且，因为不使用单元网格，在结构发生大变形的情 况下，也不会出现网格畸变的问题，因此，近年来得到广泛的重视和迅速发展。 在无网格伽辽金方法中，移动最小二乘法（MLS）是影响计算结果的一个关键问题， 在实际计算过程中，移动最小二乘法有三个关键性的参数需要事先确定：第一个是基函数
j =1 m
模拟裂纹传播的新方法_无网格伽辽金法
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力强度因子， 该方法也可适用于压剪型裂纹的计算。 图. （5） 为受均匀拉伸具有单边裂纹的有限板， 其 中， 3 $ 6 7， 4 $ ./ 7， & $ . 85，板的弹性模量 5 $ " 泊松比 ’ $ #:%， 考虑平面应力状态。 计算中， 9 .#.. 85， 在整个计算域布置 .3 9 %% 个均匀节点， .) 9 %" 个积 ， 每个子域采用 3 9 3 高斯积分； 位移和 分子域 （;<==>） 面力边界都划分 )# 个区段，每个区段采用 " 个高斯 并采用二次基。 积分点； 权函数中 6 $ #:3 7， -7 $ ) 6；
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
板壳问题的三维无网格伽辽金
板壳问题的三维无网格伽辽金直接分析法3D Element Free Galerkin Method Direct Approach for Analysis of Plate and Shell(申请清华大学工学硕士学位论文)院（系、所）： 清华大学工程力学系专 业 ： 力学研 究 生 ： 张伟指导教师 : 张雄教授二零零四年六月板壳问题的三维无网格伽辽金直接分析法张伟请将中文封面左边沿涂上胶水后对齐此基线粘贴，注意封面应将基线刚好盖住关于论文使用授权的说明本人完全了解清华大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文的复印件，允许该论文被查阅和借阅；学校可以公布该论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存该论文。
(涉密的学位论文在解密后应遵守此规定)签名：导师签名：日期：摘要近年来，无网格法得到了迅速发展，受到了国际计算力学界的高度重视。
不同于有限元法，无网格方法的近似函数是建立在一系列离散点上的，不需要借助网格，克服了有限元法对于网格的依赖性。
对于板壳问题，共有三种数值模拟方案：线性或非线性的板壳理论、退化连续体方案和直接三维连续体方案。
Kirchhoff-Love板壳理论适用于薄板壳，C连续的形函数在二维问题中相当繁琐，而无网格法的近似函数可但需要构造1以很容易构造出C甚至更高连续性的近似函数，因此适于处理Kirchhoff板壳1问题。
Mindlin-Reissner理论考虑了剪切的影响，可用于中厚板壳。
但当板壳变得很薄的时候，会遇到锁死的困扰。
无网格法也会遇到同样的问题，它一般用提高移动最小二乘基函数的阶次（四次完全基或者双三次基）或者加大计算点支撑域大小来减弱或者试图消除锁死，而这将大幅度增加计算费用。
另一种处理Mindlin板壳数值锁死的方法称作匹配近似函数法，但也存在一些缺陷。
对比之下，三维连续体方案是最简单，最精确但并不常用的一种方案。
有限单元法的自身问题限制了它在板壳方面的应用。
温度对薄壁筒结构影响的伽辽金无网格法分析
￡ ￡ ， ￡ ， ， ， ］ ＝［ ￡ ，： ＝Ｌ（ “ ）
域 内任 一 点 ｚ处 的应 力 为 ：
引起 的节点位移 ， 就可以求得热应力 ｝ 。 ２ Ｊ 计算应力时应包括初应变项 ：
ｄ ＝Ｄ（ 一￡） ￡ ０ （） ２
ｄ：［ ，ｙ ｄ ， ， ， ］ ａ ，： ｒ ｒ ：Ｄｅ Ｌ（ ） ：Ｄ ３ “ ２ 则 系统势能 的泛 函表达式 为 ：
］一 ｄ Ｏ
（） ８
其中 ， ａ为材 料 的热膨 胀 系数 ， ／； ０为结 构 的初始 温 度 ｌ ｔ；
对 于线 弹性 问题 ， 变分原理为平衡位移使 系统 总势能取驻 其 值， ： 即
１２ 从 变分原 理推 导基 本方程 ．
设弹性体域为 ｎ， 力边界 为 ｓ ， 位移 边界 为 ， 则平衡 方程
）－Ｍ ）－ ）・ 训 （ ｄ ５）
｛ ＝［ ｛ Ｋ］ Ｔ｝ Ｑ｝ Ｃ］ Ｔ｝ ｛
（） １
其 中 ，Ｋ］ ［ 为传导矩 阵 ， 包含导热 系数 、 流 系数及辐射 率和 对
形状 系数 ； Ｃ］ ［ 为比热矩 阵 ， 考虑 系统 内能的增加 ； Ｔ｝ ｛ 为节 点温 度向量 ；Ｔ｝ ｛ 为温度对时间 的导数 ； Ｑ｝ ｛ 为节点 热流率 向量 ， 包含
热生 成 。
∑
ｒ （） ０ ｚ
： ２
Ｎ（ ＝［ （２Ｎ２ …Ｎ ） ｘ） Ｎ１．） （ ３ ） （ ］
（ｅ ５）
０ ＿ １
物体 由于温度变化而引起的应力成 为热应力或 温度 应力… ，
当弹性体 的温度场 由瞬态传热分析求得 时 ， 可以进一步求 出弹 就 性体各部分 的热应 力。物体 由于热膨 胀产 生变形 而引 起 的应 变
无网格伽辽金方法在线弹性断裂力学中的应用研究
山东大学硕士学位论文无网格伽辽金方法在线弹性断裂力学中的应用研究摘要（在处理裂纹扩展这类动态不连续性问题时，传统的计算方法如有限元法、＼有限差分法等常需要网格重构。
这样不仅增加了计算工作量，而且会使计算精度严重受损。
无网格方法中，由于采用基于点的近似，网格可以彻底或部分地、消除，因此可以完全抛开网格重构，从而保证了计算精度广本文在系统分析了前人所做工作的基础上，对无网格伽辽金方法（ＥＦＧＭ）做了部分改进，并用算例对其正确性和有效性进行了验证。
本文中主要的研究成果和结论有：／基于移动最小二乘近似的ＥＦＧＭ是目前应用最广泛的无网格方法，由于移动＼最小二乘形函数一般不具有常规有限元形函数所具有的插值特性，即ＥＦＧＭ的近＼，似函数不通过节点变量，本质边界条件的处理成为ＥＦＧＭ实旖中的一个难点可本文在处理本质边界条件时，采用了再生核质点方法中的完全变换法，实现了本质边界条件在节点处的精确施加。
权函数的使用是ＥＦＧＭ和其它无网格方法的精华所在，本文采用了一种基于ｔ一分布的新型权函数，在一定程度上提高了ＥＦＧＭ的计算精度。
ｒ／影响半径大小的取值对最终的场函数近似解或其导数有较大影响，传统方＼｜法是在整个求解域内使用统一的影响半径。
、ｊ本文针对裂纹扩展中的实际情况，√对动态影响半径法作了进一步的补充和改进。
即在均匀分布节点区域，采用与基函数相对应的规定节点数来确定影响半径的大小；而在局部加密节点邻域，根据节点加密情况，相应地增加确定影响半径所需的节点数。
本文分别计算了单一型和复合型裂纹的应力强度因子，计算结果表明使用部分扩展基函数不仅能获得较高的计算精度，而且积分围线对它的计算结果影第１页山东大学硕士学位论文响较小，计算稳定性好。
用ＥＦＧＭ模拟了拉剪复合型裂纹的扩展行为，由于避免了有限元方法中网格重构的繁琐，大大简化了裂纹扩展的模拟工作。
，计算结果证明本文模拟的裂纹扩展轨迹与前人的研究结果符合得较好。
通过本课题的研究工作，进一步发展和完善了ＥＦＧＭ，为其在断裂力学问题以及其它结构计算问题中的应用奠定了良好的理论基础；此外，也为进一步研究复杂的断裂问题，如弹塑性材料的裂纹扩展问题、三维裂纹扩展问题、动态裂纹扩展问题以及界面断裂力学问题等做了一些有益的基础准备。
非保守荷载超弹性大变形分析的复变量无单元Galerkin方法
摘要不同于其它数值计算方法在求解过程中需要划分网格，无网格法在求解力学问题时只需要定义节点，直接建立系统代数方程，在涉及网格畸变、网格移动等问题时具有灵活性、自适应性，是一种具有强大发展潜力的数值计算方法。
无单元Galerkin方法是目前应用最广的无网格计算方法，本文将复变量移动最小二乘近似引入无单元Galerkin方法中，可以改进无单元Galerkin方法中计算量大的问题。
相对于移动最小二乘近似，采用复变量移动最小二乘近似中基函数的维数降低，从而试函数中的系数项减少，问题域中需要的节点数也相应减少，计算效率提高。
在实际工程结构和材料的大变形过程中，外荷载往往会随着受力面的变形而发生变化，此时荷载是依赖于变形状态的非保守力，数值处理相对复杂。
相较于弹性材料的大变形分析，超弹性材料在受力作用下可以产生更大的变形，而且由于其近不可压性，在采用数值方法进行求解时易出现体积锁死和压力震荡现象，造成分析困难。
综上所述，有必要研究非保守荷载下超弹性材料的大变形问题。
使用有限元方法解决这类问题时易发生网格畸变，无网格法由于其自身的优越性，在处理这类问题上有很大的优势。
本文将复变量无单元Galerkin方法应用于求解非保守荷载下弹性和超弹性大变形问题，采用罚函数法引入本质边界条件，推导了非保守荷载大变形问题的增量形式的完全Lagrange格式的Galerkin积分弱形式。
采用混合变量法解决超弹性材料的不可压性带来的求解困难，采用复变量移动最小二乘法建立位移场的逼近函数，推导了相应的超弹性切线模量、应变位移转换矩阵和刚度矩阵，建立了无网格大变形分析的离散方程，采用Newton-Raphson法进行迭代求解。
本文建立了非保守荷载作用下超弹性大变形分析的算法流程，编制了MATLAB计算程序，对经典悬臂梁算例、蜂窝结构以及纯弯梁算例等进行了计算分析。
与无单元Galerkin方法得到的结果相比，采用复变量无单元Galerkin 方法计算效率更高；采用复变量无单元Galerkin方法分析大转动问题时能得到非常大的变形而不会因产生网格畸变导致很大的误差；对三维超弹性材料进行模拟与分析，分析了超弹性材料在基本荷载作用下的应力应变关系；分析了采用复变量无单元Galerkin方法求解负泊松比结构的可行性，为研究负泊松比结构的物理特性和力学性能奠定了基础。
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m
(3)
它使得近似函数 u ( x, x ) 和原函数 u ( x) 在各已 系数 a( x) 根据加权最小二乘来确定， 知点 x j 上取值差别的加权平方范数 J 最小。
*
*
m J = ∑ w( x − x j ) u ( x, x j ) − u ( x j ) = ∑ w( x − x j ) ∑ pi ( x j )ai ( x) − u * ( x j ) (4) j =1 j =1 i =1
n h * 2 n
[
]
2
这里 w x − x j 是权函数， u ( x j ) 是 u ( x) 在 x j 处的值。
* *
(
)
要求 J 对系数 a( x) 取极小，即
∂J =0 ∂ai
，进而得到系数 a( x)
a( x) = A −1 ( x) B( x)u *
这里
(5)
结构工程师,Structural Engineers,2003. 66. 增刊/Sup,18~22
结构工程师,Structural Engineers,2003. 66形问题
陆新征 杨宁 江见鲸
(清华大学土木工程系 北京 100084)
【摘要】无单元法由于不需要复杂的网格划分，不存在网格畸变问题，因此在大变形分析领域有着广阔的 应用前景。本文利用无网格伽辽金（EFGM）方法，对二维结构大变形问题进行了分析，得到了传统有限元 方法所难以得到的结果。文中详细讨论了无网格伽辽金方法的基函数、权函数的选取及影响域的设定，并 给出了各参数的具体取值。用计算实例说明了无网格伽辽金方法在解决结构大变形问题上的优势。 【关键词】无网格伽辽金方法；大变形；无单元法
因此，式（1）可改写为
u h ( x) = ∑ ni ( x)ui*
i =1
n
(6)
这里 ni ( x) 即为 i 节点的形函数在 x 点的值
ni ( x) = ∑ p j ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji
j =1
m
(6a)
形函数关于坐标的偏导数为
1 −1 ni ,k ( x) = ∑ { p j ,k ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji + p j ( x)[ A,− k ( x ) B ( x ) + A ( x ) B, k ( x )] ji } (7)
以图 2 的一维例子为例： 图中黑点所示为待拟合曲线，用两条不同的曲线拟合节点 1 附近的位移场，拟合曲线 1 的影响半径是 3，曲线 2 是 6。可以看出，两者之间差距明显，且曲线导数（应力场）的 差距更是明显。 说明影响半径对结果会有很大影 1.2 响。 可是， 目前对影响半径的选取还没有统一的 1 说法。 0.8 从理论上说，影响域应该至少包括 m+1 个 0.6 节点，这里 m 是基函数的项数，以保证最小二 0.4 乘计算可以进行下去。但是，也不宜过大，否则 0.2 将增大计算量且影响精度。 因此， 在本次计算中， 0 采用了以下方法确定影响域的大小。 -1 1 3 5 7 -0.2 1、确定某个积分点，搜索距该积分点最近 实际曲线 拟合曲线1 拟合曲线2 的 6 个（针对线性基）节点 2、以这 6 个节点中最远的那个作为影响半 图 2、不同曲线拟合对比 径r 3、 rm ＝1.2 r 之所以每个积分点选择 6 个节点，是考虑到某些节点可能延一条直线分布，可能导致 最小二乘计算失败。令 rm ＝1.2 r ，则是考虑到因为 ε 比较小，最边缘的节点的权重可能会 太小，影响计算的稳定度。实践证明，利用这种方法不但可以保证计算的精度和稳定性， 而且可以自动适应大变形带来的节点密度的变化。
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以其最后精度并不比高次基低，在出现大变形而使节点分布严重不均匀时效果尤其明显。
4 权函数的选择
权函数是另一个重要的问题，很多研究者提出了很多权函数的表达形式，基本上可以 归结为幂函数、 指数函数或对数函数等几个大类别。 权函数的选取应该遵循的原则包括： 1） 非负；2）由近及远逐渐衰减，在影响域以外为零；3）连续可导 这里计算选择了寇晓东提出的权函数形式[9]
*
u * ( x ) ≈ u h ( x ) = ∑ p j ( x ) a j ( x ) ≡ p T ( x )a ( x )
j=1
m
(1)
这里 a( x) 是系数，它是 x 的函数； p( x) 是 m 维完全多项式基，在二维情况下可取
p T ( x) = [1 x p T ( x) = [1 x p T ( x) = [1 x
1 引
言
无网格伽辽金方法（EFGM）是近年来兴起的一种新型数值计算方法，其基本思路是 利用移动最小二乘法，根据积分点附近一定影响范围（称作影响域）内的节点的位移，用 最小二乘插值得到积分点附近的近似位移场函数。它突破了传统有限元分析中单元网格的 限制，极大地简化了前后处理工作。并且，因为不使用单元网格，在结构发生大变形的情 况下，也不会出现网格畸变的问题，因此，近年来得到广泛的重视和迅速发展。 在无网格伽辽金方法中，移动最小二乘法（MLS）是影响计算结果的一个关键问题， 在实际计算过程中，移动最小二乘法有三个关键性的参数需要事先确定：第一个是基函数
节点1
表 1、计算结果对比（节点 1 横向位移, k＝4） 精确解
rm =1 rm =2 rm =3
图 1、平面算例 1
ε ＝0.01 -4.0×10-2 -2 -4.04×10
-4.14×10 -4.47×10
-2 -2
ε ＝0.05 -4.0×10-2 -4.07×10-2
-4.68×10-2 -5.66×10-2
6 积分点和边界条件的处理
本次计算中，积分是在背景网格上进行的，当某个积分点在区域以外，则不参与积分。 对于大变形问题，由于节点位移都比较大，各积分点和区域之间的关系是不断变化的，因 此，在每次迭代的时候都需要判断一下积分点是否在区域内。即便这样，其工作量也比重 新划分网格的代价要小很多。 边界条件采用罚函数方法处理，其优点是刚度矩阵保持对称正定，方程求解简便，效 率高。
*
y ] （m=3） 线性基 x2 y2 xy x3 y 2 ] （m=6） 二次基 x2 y xy 2
(2a) (2b)
y xy
y
x2
y 3 ] （m=3） 三次基 (2c)
式（1）在点 x 附近对应的局部近似为
u h ( x, x * ) = ∑ p j ( x * )a j ( x) ≡ p T ( x * )a( x)
*国家自然科学基金资助项目（项目号：59938180）
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的选取，第二个是权函数的选取，第三个是影响半径的设定。
2 移动最小二乘法的基本原理
某场 Ω 的函数 u ( x) ，可由移动最小二乘法构造其近似函数
r2 wi (ri ) = 2 mi 2 2 ri + ε rmi
ri 2 1 − 2 rmi
k
(9)
其中 ε 决定着权函数的奇异性，权函数奇异性越大，则对节点附近位移场的描述越精 确，相反的，对远场的描述却越差。同样对图 1 所示的简单平面问题，用不同参数分析， 最后结果如表 1 所示
A( x) = ∑ wi x − x j p( xi ) p T ( xi )
i =1
n
(
)
(5a)
B ( x) = [ wi x − x j p ( x1 )， ……，wn x − x j p( x n )]
(
)
(
)
(5b) (5c)
u * = [u * ( x1 ), u * ( x 2 ),..., u * ( x n )]T
5 影响域
影响域是影响最小二乘精度和计算量的另一个重要参数，在移动最小二乘法的收敛性 证明中，当节点的密度趋向于无穷大的时候，影响半径应该趋向于零。也就是说，影响半 径是和节点密度密切相关的。而且，其选取对结果影响非常明显，尤其是对应力的影响。
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Analysis of Large Deformation Problem with Mesh Free Galerkin Method
LU Xinzheng Abstract YANG Nin JIANG Jianjing (Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084) Meshless method has obviously advantage in large deformation area, because there is no mesh needed, and no mesh distortion happens. Large deformation for plane problems are analyzed in this paper with mesh free galerkin method (EFGM). In order to improve the speed and the stability of computation, the three basic problems for moving least square method (MLS) in EFGM, which are the base function, the weight function and the influence area, are discussed in details, respectively. The values of each parameter used in this analysis are also listed. The examples show that the EFGM can solve some special problems that are difficult for the finite element method. Keywords Mesh free galerkin method; large deformation; meshless method