间断伽辽金格式
高精度有限体积法与间断有限元法的比较
高精度有限体积法与间断有限元法的比较范进之;李桦【摘要】通过数值算例，比较了高精度有限体积法和间断有限元法在求解不同问题时的表现。
研究发现：在精度相同的条件下，间断有限元法的计算误差要明显小于有限体积法；间断有限元法的重构过程与高精度有限体积法相比较为简单，但高阶情形下解多项式的自由度较多并且需要计算体积分，因此整个求解时间较长。
降低时间积分时解多项式的自由度数目是实现高精度算法在实际问题中应用的重要手段。
%The high-precision finite volume method (FVM)and discontinuous Galerkin method (DGM)were compared in different test cases through numerical examples.Results show that:with the same precision,the calculation error of DGM is obviously less than that of FVM;DGM's reconstruction process is comparatively simpler than FVM's,but its computational time is much longer since its freedom-degree of polynomial solution is higher under the condition of high order and it needs to calculate volume points.Decreasing the freedom-degree numbers of polynomial solution in the time evolution process is an essential method for high-precision calculation in the reality applications.【期刊名称】《国防科技大学学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】6页(P33-38)【关键词】高精度格式;有限体积法;间断有限元法【作者】范进之;李桦【作者单位】国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073;国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073【正文语种】中文【中图分类】O354有限体积法(Finite Volume Method，FVM)和间断有限元法(Discontinuous Galerkin Method，DGM)是目前求解守恒型双曲率问题的两类重要方法［1］。
稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法
稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法何朝葵;速宝玉;盛金昌【摘要】Based on the characteristics of the steady seepage equation, a basic calculation formula of the local discontinuous Galerkin finite element method for steady seepage analysis was deduced according to the principle of the method, and the feasibility of the formula was studied. The variational formula of the basic formula was analyzed with consideration of the stability and boundedness of the bilinear operator in the variational formula. The Lax-Milgram theorem was used to verify the existence and uniqueness of the solution of the basic formula, in order to demonstrate that the local discontinuous Galerkin finite element method is applicableto steady seepage analysis. Through a priori error analysis, the formula was proved to have p + 1-order accurate approximations, indicating that the local discontinuous Galerkin finite element method is a high-precision numerical method compared with commonly used finite element methods.%针对稳定渗流分析问题的特征,依据局部间断伽辽金有限元法原理,推导出稳定渗流分析问题的局部间断迦辽金有限元法基本计算格式,并对该计算格式的有效性进行探讨.通过分析基本计算格式相应的变分形式,考虑变分形式中双线性算子的稳定性及有界性,利用Lax-Milgram定理论证这一基本计算格式解的存在性、唯一性,从而证明局部间断伽辽金有限元法可以用来处理稳定渗流分析问题.通过对该格式的解进行先验误差分析,证明其近似解具有p+1阶的精度,表明相对于一般的有限元法来说,局部间断伽辽金有限元法是一种高精度的数值计算方法.【期刊名称】《河海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)002【总页数】5页(P206-210)【关键词】渗流;间断有限元;局部间断伽辽金有限元;误差分析【作者】何朝葵;速宝玉;盛金昌【作者单位】河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学理学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O357.3间断有限元法[1-3]是一种在有限元法、有限体积法和有限差分法基础上发展起来的数值计算方法，它的特点在于允许插值函数在剖分单元边界处不连续，使得其在处理大梯度问题上具有独特的优势，并使其在多个领域得到广泛的应用[2-4].国外部分学者对间断有限元法在椭圆问题上的应用进行了分析[5-6]，国内则鲜见这方面的文献.局部间断伽辽金有限元法[2，7](the local discontinuous Galerkin methods，简称LDG法)是间断有限元法中最有效的方法之一，它具有良好的稳定性.笔者主要从理论上分析LDG法在稳定渗流分析问题中的应用.1 渗流方程稳定渗流方程及定解条件如下:式中:Ω——求解区域;H——水头函数;k——渗透系数(考虑各向同性，分片常数情形);ΓD，ΓN——第一类边界和第二类边界，且∂Ω=ΓD∪ΓN;n——边界ΓN上的外法线方向单位向量;g D，g N——常数.2 LDG法原理把水力梯度σ=k▽H作为中间变量，则式(1)中的二阶方程化为一阶方程组:假设 T h为Ω的1个剖分，E表示其中的任意1个单元，n E表示E的单位外法线方向向量.用σh和H h表示单元内插值函数，LDG法允许插值函数在单元边界处不连续，故插值函数在单元边界上的值用数值流通量[1-3]替代.数值流通量定义如下:若e为单元E和单元E′的公共边界，用 n E表示单元E在边界e上的外法线单位向量，H h，E和σh，E分别表示 H h和σh在边界上单元E侧的值，则有式中:α——边界e上的常数;β——边界e上的常向量.在式(2)中第1个方程两边分别乘以测试函数v，在第2个方程两边分别乘以测试向量函数τ，然后在每个单元上积分，得式中:▽h——单元内梯度算子;k E——单元E的渗透系数.单元方程(式(3)和式(4))通过数值流通量建立联系，构成整体代数方程.3 基本计算格式相对于剖分 T h，ε表示剖分单元边界的集合，ε0表示区域内部的单元边界的集合，εD表示在ΓD上的单元边界的集合，εN表示在ΓN上的单元边界的集合，要求ε=ε0+εD+εN.把式(3)和式(4)相对于剖分 T h在求解域Ω上对所有单元叠加，整理得式(5)和式(6)就称为渗流问题的LDG法基本计算格式.4 变分形式的稳定性和有界性若引入3个算子，则由式(6)可得σh在有限元空间∑h上的L 2投影:式中∏为投影算子.把式(7)代入式(5)，整理得基本计算格式的变分形式为其中显然B h(H h，v)是对称双线性算子.为证明变分的稳定性和有界性，定义如下半范数和范数[8-10]:式中‖u‖和分别为单元E上的Sobolev范数和半范数.在证明之前，先看下面的引理[9].引理其中C是与h无关的常数.证明再由L2投影的稳定性可得不等式(9).利用引理可以得 B h(H h，v)的稳定性，即对∀v∈V h有同样利用引理亦可得到B h(v，v)的有界性，即对∀v，w∈V h有结合引理有因而根据Lax-Milgram定理知变分问题B h(H h，v)=F h(v)存在唯一解.5 误差估计设H为渗流问题(式(1))的解，H I为相对剖分 T h下的某一插值函数，则由插值函数局部估计有其中的常数C仅与插值函数的次数p和单元E的最小角度有关.为了得到LDG法数值解误差的L2估计，先看2个定理[11]:定理1 若H为式(1)的解，H I为H的某个插值函数，则存在正数C使得式(13)成立.证明由迹不等式知存在常数C，使得定理2 若H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(15)成立.证明设 H I为 H的分片插值函数，由式(11)和式(12)有所以，再由三角不等式‖|H-H h|‖Ω=‖|H-H I+H I-H h|‖Ω ≤‖|H-H I|‖Ω+‖|H I-H h|‖Ω，结合定理 1得式(15).由定理1和定理2可得到误差的L2估计.定理3 若 H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(16)成立.证明由于LDG法的数值流通量是守恒的，因而变分格式(8)是自相容的，即对∀v∈H2(T h)有B h(v，，其中ψ为方程-Δψ=g，(x，y)∈ Ω以及ψ=0，(x，y)∈ ∂Ω的解[10].若取g=H-H h，则有B h(v，ψ)=(H-H h，v)，∀v ∈ V h.设ψI为ψ的线性插值，则根据椭圆边值问题的正则性，有2，Ω≤C2‖H-H h‖0，Ω，其中常数 C2只与Ω有关.结合式(15)即得‖H-H h ‖0，Ω ≤Chp+1p+1 ，Ω.6 结语间断有限元法已推广到水动力、气动力学等多个领域.笔者通过对稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法的理论分析，给出其计算格式，并论证说明该格式具有良好的稳定性.论证结果表明，运用局部间断伽辽金有限元法来处理稳定渗流分析是有效的;在运用本文格式计算时，可以通过选取正交的基函数来简化整体代数方程组.对这一方法的近似解进行的先验误差分析表明其具有p+1阶精度，所以相对于一般的有限元法来说，局部间断伽辽金有限元法是一种具有较高精度的数值计算方法.关于局部间断伽辽金有限元法在渗流问题上的一些具体计算及验证可见文献[12]，其他一些结论笔者正在整理中.参考文献:【相关文献】[1]REED WH，HILL T R.Triangular mesh methods for the neutron transportequation[R].Alamos:Los Alamos Scientific Laboratory，1973.[2]COCKBURN B，KAMIADAKISG，SHU Chi-wang，et al.Discontinuous Galerkin Methods[M].Berlin:Spring Verlag，2000:89-101.[3]刘儒勋，舒其望.计算流体力学的若干新方法[M].北京:科学出版社，2003:159-179.[4]FAGHERAZZIS，FURBISH D J，RASETARINERA P，et al.Application of the discontinuous spectral Galerkinmethod togroundwater flow[J].Advances in Water Resources，2004，27:129-140.[5]ARNOLD DN，BREZZIF，COCKBURN B，et al.Unified analysis of discontinuous Galerkinmethodsfor elliptic problems[J].SIAM J Numer Anal，2002，39(5):1749-1779. [6]CASTILLO P.Performance of discontinuous Galerkin methods for elliptic pde's[J].SIAM JSci Comput，2002 ，24(2):524-547.[7]COCKBURN B，SHU Chi-wang.The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems[J].SIAM J Numer Anal，1998，35:2440-2463.[8]CASTILLO P，PERUGIA I，SCHOTZAU D.An a priori error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems[J].SIAM JNumer Anal，2000，38:1676-1706.[9]PERUGIA I，SCHOTZAU D.An hp-analysis of the local discontinuous Galerkin method for diffusion problems[J].JSci Comp，2002，17:561-571.[10]肖捷，刘韶鹏.求解间断系数椭圆型问题的一种改进的DG方法[J].计算数学，2007，29(4):377-390.(XIAO Jie，LIU Shao-peng.A modified DG method for elliptic problems with discontinuous coefficients[J].Journal of Cumputational Mathematics，2007，29(4):377-390.(in Chinese)).[11]LEEMA ，SHINJY.Error estimiates for a discontinuous Galerkinmethod for elliptic problems[J].Appl Math&Computing，2006，21(1/2):189-201.[12]何朝葵，速宝玉，盛金昌，等.用局部间断伽辽金有限元法分析渗流场[J].水利水电科技进展，2010，30(2):21-23.(HE Zhao-kui，SU Bao-yu，SHENG Jin-chang，et al.Analysis of seepage field for aquifer problems by the local discontinuous Galerkinmethod[J].Advances in Science and Technology of Water Resources，2010，30(2):21-23.(in Chinese)).。
AUSM格式的资料
概述AUSM (Advection Upstream Splitting Method)格式，也指后来在此基础上发展的AUSM+和AUSMDV格式等这一类方法。
即计算流体力学中著名的AUSM格式。
最早在1993年由刘明生和Steffen（Meng-Sing Liou和Christopher J. Steffen,Jr）提出。
AUSM格式的具体构造思想，大家也已参阅刘明生和Steffen的著作《A New Flux Splitting Scheme》。
研究背景现在，先进CFD计算格式的构造目标是：间断分辨率和粘性分辨率好，计算效率高，可靠性高，适用范围宽，易于推广至真实气体、平衡流及非平衡流等流动。
沿着这一方向，1993年M-S Liou构造了AUSM(Advection Upstream Splitting Method，迎风型矢通量分裂格式)，并进一步在1995年发展为AUSM+格式。
AUSM+格式在理论上将流动对流特征中的线性场(与特征速度有关)和非线性场(与特征速度u土c有关)相区别，并且将压力项与对流通量分别分裂。
从格式构造来讲，AUSM+格式是vanLeer格式的一种发展改进，但从其耗散项来分析，这是一种FVS与FDS的复合格式。
AUSM+格式兼有Roe格式的间断高分辨率和vanLeer格式的计算效率，而且克服了二者的缺点。
它不存在粉刺现象，无需熵修正；因其标量的耗散形式，计算量小于Roe格式，与vanLeer格式相近，也因此易于推广至其他双曲型系统(如平衡流，非平衡流)，计算量仅随之线性增加。
AUSM+格式还具有标量(如密度)的正值保持性，因压力是单独处理，从而很容易推广应用到真实气体，其高效可靠的性能正在应用中得到检验。
Wada和Liou后来对AUSM格式进行修正，提出了AUSMDV格式，它是FDS格式和FVS格式的复合，通过修改马赫数分裂函数和压力项分裂函数，以及界面统一声速，使格式耗散低，具有更好的捕捉静态接触间断和静态激波的能力，而且计算效率更高。
间断伽辽金法DGM求解弹性地基梁问题
第28卷增刊岩土力学Vol.28Supp.2008年11月Rock and Soil Mechanics Nov.2008收稿日期：5基金项目：国家自然科学基金资助项目(N 55)。
作者简介：艾智勇，男，66年出生，博士，副教授。
主要从事岩土及地下工程方面的研究工作。
：z y @j 文章编号：1000－7598－(2008)增刊－603－04间断伽辽金法(DGM)求解弹性地基梁问题艾智勇，王全胜，王熹（同济大学地下建筑与工程系岩土及地下工程教育部重点实验室上海200092）摘要：间断伽辽金法使用节点位移一类未知数作为测试函数，削弱了内部单元边界上的一阶及n 阶导数的连续性，大大降低了构造形函数的难度，特别适合控制方程为高阶微分方程问题的求解。
基于间断伽辽金法的基本原理，推导了弹性地基梁四阶微分控制方程的积分“弱”形式，编制了计算程序，进行了数值计算和收敛性分析。
计算结果表明：用间断伽辽金法求解弹性地基梁问题是十分有效率的。
关键词：间断伽辽金法；弹性地基梁；连续性；测试函数中图分类号：TU 470文献标识码：ADiscontinuous Galerkin method for elastic foundation beam problemsAI Zhi-yong,WANG Quan-sheng,WANG Xi(Department of Geotechnical Engineering ，Key Laboratory of Geotechnical and UndergroundEngineeri ng of Mini s try of Educati on,Tongji University,Shanghai 200092,C hina)Abstract:Discontinuous Galerkin method(DGM)used node displacement approximations as trial functions,and weakened the continuity of first order and n-th order differential in the internal element boundary,reduced the difficulty to construct the shape functions,so this method is especially fit for solving the problem of higher order differential equation.Based on the principle of DGM,the integral weak form of the forth order differential control equation of elastic foundation beam is established.Numerical calculation and convergence analysis are carried out by the computer program.The results of calculation show that it is efficient for DGM to solve the elastic foundation beam problems.Key words:discontinuous Galerkin method;rlastic foundation beam;continuity;trial functions1引言间断伽辽金法（DGM ）是有限单元法的一支，是使用完全不连续的分段多项式作为数值解以及测试函数的一种有效的数值方法。
交点间断伽辽金方法
交点间断伽辽金方法交点间断伽辽金方法是一种求解微分方程的数值算法，特别适用于具有交点间断的问题。
下面是关于交点间断伽辽金方法的10条详细描述：1. 交点间断伽辽金方法是一种有限差分法，通常用于求解具有交点间断的偏微分方程。
交点间断是指方程的解在某些点上突然发生突变。
2. 交点间断伽辽金方法的基本思想是将问题的求解域离散化为网格，并在网格上进行逼近操作。
在交点处，采用特殊的边界条件来处理间断。
3. 交点间断伽辽金方法的关键是建立合适的逼近空间，通常使用分段多项式来逼近解。
在交点处，需要额外引入一个间断节点来处理间断。
4. 交点间断伽辽金方法的求解过程分为两个步骤：首先在整个求解域上求解子问题，然后再在交点处使用间断条件将子问题连接起来。
5. 在交点间断伽辽金方法中，每个交点都可以看作是两个子问题的连接点。
在交点处，需要使用间断条件来连接两个子问题的解。
6. 在交点间断伽辽金方法中，间断条件是设定在交点处的边界条件，用于将两个子问题的解连接起来。
具体的间断条件根据求解问题的具体要求来确定。
7. 交点间断伽辽金方法需要对交点处的间断条件进行数值近似。
常用的方法是使用平均值，将两个子问题的解的平均值作为交点处的解。
8. 交点间断伽辽金方法中，两个子问题的解在交点处是不连续的，但在交点附近，解是连续而光滑的。
这是通过在交点附近使用高阶多项式逼近来实现的。
9. 交点间断伽辽金方法的求解过程中，需要对整个求解域进行离散化，并在每个网格点上求解子问题。
求解过程可以通过迭代的方式进行，直到达到收敛的条件。
10. 交点间断伽辽金方法在求解具有交点间断的问题时，能够提供较高的数值精度和计算效率。
它在科学计算和工程领域中具有广泛的应用，可以用于求解各种实际问题。
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法欧拉方程是一种常微分方程，描述了无粘流体的运动。
间断伽辽金有限元方法是一种数值求解偏微分方程的方法。
在本文中，我们将探讨一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法。
首先，让我们回顾一下欧拉方程的形式。
欧拉方程描述了流体的运动，它可以写为以下形式：∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度，∇是梯度算子，·是散度算子。
接下来，我们将介绍欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法的步骤。
第一步是将欧拉方程转化为其弱形式。
为此，我们首先需要定义有限维空间，这个空间的基函数应满足配置空间的一组完备基的性质。
第二步是对方程进行离散化处理。
我们将配置空间划分为多个单元，并在每个单元上定义有限维子空间。
然后，在每个单元上，我们使用高级插值函数来近似原始方程的解。
第三步是使用逼近函数的近似解来代替原始方程，并计算数值解。
第四步是计算数值解的误差。
我们可以将数值解与解析解进行比较，从而评估我们的数值求解方法的准确性。
使用间断伽辽金有限元方法求解欧拉方程的一个关键步骤是确定适当的离散化方案。
我们可以使用交替方向隐式(ADI)方法或基于格点的方法等。
ADI方法是一种迭代方法，用于将偏微分方程离散为一系列的一维问题。
在每个迭代步骤中，我们将方程在一个方向上进行隐式离散化，然后在另一个方向上进行显式离散化。
基于格点的方法通过将计算网格和几何网格进行耦合来实现。
计算网格用于离散化方程，而几何网格用于插值和重构。
最后，我们需要解决离散化方程的线性系统。
采用适当的求解器，如共轭梯度法或LU分解，可以加快计算速度和准确性。
总结一下，欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法通过将欧拉方程转化为弱形式，离散化方程并解决离散化方程的线性系统来实现。
采用适当的离散化方案和求解器，我们可以得到数值解，并评估其误差。
应用间断伽辽金方法求解二维欧拉方程
（ Ｍ） ＤＧ 数值求解二 维 Ｅ ｌｒ ｕｅ 方程 ， 中数 值 通 量项 采 用 Ｌｘ ｒ ｄ ｃｓ格式 计 算。通过 对 绕 Ｎ — 其 ａ Ｆｉ ｆ ｈ ｅｉ Ａ
Ｃ０１ Ａ ０ ２翼型的跨 音速流场的数值模拟 ， 分析 了该 方法在捕捉 间断 解方 面的特性 ； 同时借鉴 有 限体
积 法（ Ｖ 中的一些技术 ， Ｆ Ｍ） 对求解方案进行 了优 化。把 间断伽辽金 方法 和有 限体 积法计 算的 结果 进行 比较 ， 认为前者 能够更好地 处理 间断解问题 。 关键 词 ： 范正 交基 ； ｕ ｒ 规 Ｅ ｌ 方程 ； ｅ 间断伽辽金 方法（ Ｇ ；ａ — ６ ｄ ｃｓ Ｄ Ｍ） Ｌ ｘ Ｆ ｅ６ ｈ 格式
以对 网格 进行 加 密 或减 疏 处 理 ， 且 不 同 的 剖分 单 元 而 可 以采 用不 同 形 式 、 同次 数 的逼 近 多 项 式 ； 其 是 不 尤
（） ３
’ — Ｊ ｙ
使 用 间断 Ｇ ｌｒｉ 法求解 Ｅ ｌ 方程 ， ａ ｋｎ方 ｅ ｕｅ ｒ 首先 需 要 将 整个 求解 区域 Ｑ 划 分 成互 不 重叠 的小 区域 Ｑ ＝Ｕ
来一 直 没有得 到 进 一 步 的研 究 和应 用 。直 到 ２ ０世 纪
１ 间 断伽 辽 金 方 程
考虑 二维 非定 常 Ｅ ｌｒ 程 在 直 角 坐 标 系 中 的守 ｕｅ 方
恒形 式 ：
＋ ＋ ：０
８ ０年代后期 ， 特别是 ９ 年代以来 ， Ｃ ｃｂ ｍ 和 Ｃ ｉ ０ 以 ｏｋ ｕ ｈ— Ｗａ ｇＳ ｕ为 代表 提 出的 Ｒ ｎ ｅ Ｋ ｔ ｎ ｈ ｕ ｇ ． ｕｔ ａ间断 Ｇ ｌｒｉ ａ ｋｎ方 ｅ 法， 非常 引人 注 目， 并在许 多方 面的应 用上 取得 了前 所
一维激波管问题的无数值积分间断伽辽金法数值模拟
Ｊｎ ２ ０ ｕ．０８
一
维激波管 问题 的无数值积分 间断伽辽金法数值模拟
叶 昆， 李 黎
（ 中科 技 大 学 华 ａ 土 木 工 程 与 力 学 学 院 ； ． 制 结 构 湖北 省 重 点 实 验 室 ，湖 北 武 汉 ． ｂ控 ４０７） ３ ０ ４
摘
要 ： 文 利 用 间 断 伽 辽 金 法 对 一 维 激 波管 问 题 进 行 了 数 值 模 拟 。在 使 用 间断 伽 辽 金 法 过 程 中 ， 引 入 额 外 本 会
问题 。不 同于 Ａｋｉｓ和 Ｓ ｕ的思 路 ， ｔ ｎ ｈ 本文根 据插
工程 结 构所 承 受 的荷载 很难 在设 计 规范 中找 到 明 确 回答 。每 一 特定 的爆 炸 场景都 必 须进行 严 格考
查， 因此 有 必要 对 爆 炸 场 景下 的爆 炸 波传 播 进 行 数值 模 拟 ， 一维 激 波管 的 数值 模 拟 是 个很 好 的研 究起步。 一维 激 波管 问题 ， 就是 激波 管 内存在 一 也
中 图 分 类 号 ： ５ ． Ｏ３ ４ ５ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ２ ７ ３ （ ０ ８ ０ — ０ ９ ０ １７－ ０ ７ ２ ０ ） ２０ ６— ５
由于爆 炸 荷载 的 复杂 性 ， 出现 爆炸 情 况下 ， 在
值 积 分需 要 消 耗 大 量计 算时 间 。 为此 ， ｔ ｓ和 Ａｋｉ ｎ Ｓ ｕ 提 出 了无 数 值 积 分 的 Ｄ ｈ ｃ ＧＭ 以解 决 这 个
会 引入 额 外 的 积 分 项 （ 积 分 和边 界 积 分 ） 这样 体 ， 在 每一 时 间步 长 内 ， 每 一单 元 的积 分项 进 行 数 对
收 稿 日期 ：２ ０ — ９ ２ ０ ７０ —０
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间断伽辽金格式
伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。
这里先介绍加权余量法的一般性方程。
考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：
Lu=P
精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：
ε(x)=Lū-P
近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：
∫v[ Wi·(Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。
对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。
另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi为待定系数。
综上可得伽辽金法的表达形式如下：
选择基底函数Gi，确定ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得
∫v[ Φ·(Lū-P)]dV=0
对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数Φ都成立，其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。
求解出Qi之后，就能得到近似解ū。