伽辽金加权余量法
间断伽辽金格式
间断伽辽金格式
伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。
这里先介绍加权余量法的一般性方程。
考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：
Lu=P
精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：
ε(x)=Lū-P
近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：
∫v[ Wi·(Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。
对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。
另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi为待定系数。
综上可得伽辽金法的表达形式如下：
选择基底函数Gi，确定ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得
∫v[ Φ·(Lū-P)]dV=0
对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数Φ都成立，其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。
求解出Qi之后，就能得到近似解ū。
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
一维弹性杆件旋转问题的加权残值法和伽辽金法
则
������(������ + ������������) − ������(������) ������������
������ = ������ + ������������ − ������ = ������������
(5) (6)
将(7)代入(5)得：
������0 = −(2������1 + 3������2)
(7)
定义残差
���̃���(������) = ������(−2������1 − 3������2 + ������1������ + ������2������2)
(8)
∆(���̃���) = ���̃���′′(������) + ���̃���(������) + ������ = ������2������3 + 3������2������ + ������ + ������1(������2 − 2������ + 2) (9) 为使���̃���(������)为������(������)的近似解，可以要求
依次取������(������) = ������, ������(������) = ������2, ������(������) = ������3代入(16)达式得：
���̅���1
=
−
2 3
������0
−
3 4
������1
−
4 5
������2
+
1 3
=
0
���̅���2
0.7+加权余量法
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
加权余量法
0 x
dx 1 2
1 2
1
11 6
a1
0
W2 1 由④式得到：
1 2
x
12
1/2
1/ 2
R2 xdx x a1
解得：0
a1
0
0.1876
2 x x2 a2 a2 0.1702
2 6x x2 x3
加权余量法
4. 例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
一项近似解，n=1：
u1 a1x1 x
⑤
代入，得余量为：
R1x x a1 2 x x2
⑥
两项近似解，n=2：
u2 x1 xa1 a2 x
⑦
余量为：
R2 x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
②
当x=1时，u=0
取它的近似解为
u x1 xa1 a2x
③
其中ai为待定参数，试探函数 N1 x1 x ，N2 x1 xx ，...显然近似解满
足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为
零：
j
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伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法是一种用于估计地球大气层中的物质含量的方法。
它基于光的散射和吸收现象，通过测量不同波长下的光强度，推断出
大气层中某种物质的浓度。
本文将详细介绍伽辽金加权余量法的原理、应用、优缺点以及未来发展方向。
一、原理
1.1 光的散射和吸收
在大气层中，光线会发生散射和吸收现象。
当光线经过空气分子或云
雾等微粒时，会被这些微粒所散射，使得原本直线传播的光线变得弯
曲或偏转。
同时，不同波长的光线受到不同程度的散射影响，因此在
大气层中观察到的太阳光谱会出现一定程度上的变化。
此外，在大气层中还存在着各种化学物质，如臭氧、水蒸汽、二氧化
碳等。
这些物质对不同波长的光线也会发生吸收作用，使得通过大气
层传播的太阳光谱再次发生变化。
1.2 伽辽金加权余量法的原理
伽辽金加权余量法利用了光的散射和吸收现象，通过测量大气层中不同波长的光线强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
具体来说，该方法将太阳光谱分为若干个波段，在每个波段内测量透过大气层后的光线强度，并计算出各波段内的平均强度值。
然后，根据不同波长下的平均强度值之间的比较关系，推断出大气层中某种物质的含量。
这里需要注意一点，即不同波长下的光线强度受到多种因素影响，如大气湍流、云雾遮挡等。
因此，在进行估算时需要对这些因素进行修正，并考虑它们对结果精度的影响。
二、应用
2.1 大气成分测量
伽辽金加权余量法是一种常用于大气成分测量的方法。
通过对太阳光谱进行分析，可以获得大气层中各种化学物质（如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等）的浓度信息。
这对于研究大气层的结构和变化、预测气候变化等具有重要意义。
2.2 空间探测
伽辽金加权余量法还可以应用于空间探测领域。
在行星探测任务中，该方法可以通过对太阳光谱的分析，获取目标行星大气层中的成分信
息。
这对于了解行星环境、寻找适合生命存在的地方等都具有重要意义。
三、优缺点
3.1 优点
（1）非侵入性：伽辽金加权余量法不需要直接接触大气层，因此不会对大气层产生影响。
（2）高精度：该方法能够获得相对较高的精度，能够满足大多数科学研究和工程应用的需求。
（3）广泛应用：伽辽金加权余量法已经被广泛应用于大气成分测量和空间探测等领域。
3.2 缺点
（1）受到干扰：伽辽金加权余量法在实际应用中容易受到各种因素的干扰，如云雾遮挡、大气湍流等，这会影响测量结果的精度。
（2）复杂性：该方法需要对太阳光谱进行分析，并考虑多种因素的影响，因此相对复杂。
（3）仅限于大气层成分测量：伽辽金加权余量法只能用于大气层成分测量，无法直接应用于其他领域。
四、未来发展方向
4.1 提高精度
目前，伽辽金加权余量法已经可以获得相对较高的精度。
未来可以通
过改进算法、提高仪器灵敏度等方式进一步提高精度，以满足更加严
格的科学研究和工程应用需求。
4.2 拓展应用领域
伽辽金加权余量法目前主要应用于大气成分测量和空间探测等领域。
未来可以将其拓展到其他领域，如海洋环境监测、地质勘探等。
4.3 与其他技术结合
伽辽金加权余量法可以与其他技术结合使用，以获得更为准确的结果。
例如，在空间探测任务中，可以将该方法与光谱成像技术结合使用，
以获取更为详细的目标行星大气层成分信息。