典型无网格法_218207463
合集下载
无网格法理论和应用的研究
中国石油大学（华东）硕士论文第２章无网格法基本理论图２－４节点的影响域和ＭＬＳ近似函数的定义域节点之间的最大距离。
ｃ，反映了节点Ｘ，附近节点布置的密度，由式（２．７１）给出的节点影响域半径是随着节点布置密度变化的。
在节点较稀疏的区域，影响域半径较大；而节点较密集区域，影响域半径较小。
在本文中，ｃ，取为节点Ｊ与距其最近的第ｋ个节点之问的距离４ｋ］。
显然，参数ｋ控制着计算点定义域内的节点数，从而影响构造ＭＬＳ近似函数时的计算量。
权函数ｑ在节点露，处的值最大，而在其影响域边界附近趋于零，因而位于计算点ｘ的定义域ｎ边界附近的点对式（２－４６）中泛函ｔ，的贡献很小，但却显著增加了计算量，因而在计算式（２＿４６）中泛函‘，时不考虑计算点定义域边界附近的节点是合理的。
影响域半径与模拟的精度和计算量有直接的关系，如果影响域增加出单位，计算量会明显上升；另一方面为了保证矩阵爿可逆，影响域半径必须适当，否则矩阵■不可逆计算就会终止。
因此如何准确有效地确定节点影响域半径是重要的，同时也是困难的。
３权函数权函数是ＭＬＳ近似中很重要的组成部分，它在节点ｘ，处的值最大，①对该格子中所有的高斯点～（，＝１，２，…，％）循环：ａ判断高斯点ｘ。
是否位于域口外。
若是，则忽略该高斯点，处理下一个高斯点。
ｂ如果高斯点白位于域口内，计算ｑＢ’ｋ加ｋ），并将其组装到矩阵置中，其中矾为该高斯点的权系数。
②结束对高斯点的循环。
（３）结束对格子的循环。
图３－１背景积分网格背景网格是用来计算积分的，因此一般都使用比较规则的背景网格。
与有限元相比，背景网格的生成比有限元网格的生成容易得多。
考察式（３—１８）可知，刚度矩阵置中的元素蜀，与ｐ¨Ｎ¨ｄＤｔ３－２３）口成正比。
而无网格法的形函数Ｎ，ｂ）只在节点Ｉ的影响域内不为零，因此式（３．１８）只需在某一个局部区域内积分。
在计算置，，时，只需在节点川Ｉ勺影响域ｑ内积分。
在计算置，，时，只需在节点，的影响域ｑ和．，的影响域力，的相交区域内积分，如图３－２所示。
无网格法介绍
无网格法(MFree)简介
1
目
录
1
无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
2
3 4 5
无网格法研究主要进展及参考文献
2
无网格法概述
无网格法定义
The meshfree method is used to establish a system of algebraic equations for the whole problem domain without the use of a predefined mesh, or uses easily generable meshes in a much more flexible or ‘‘freer’’ manner.(G R Liu,2009)
20
导出无网格法公式
基于局部弱式的无网格法
MFree局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 残值法，使一个需要在全域求解的问题简化为在各个子域上对局部 伽辽金方程的求解问题,从而避免了全域的数值积分 代表方法：无网格局部伽辽金法(MLPG)，局部点插值法(LPIM) MLPG特点。优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 缺点： “刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度，尽管在大部分 的边界积分可通过选用适当的权函数消除掉 ，但在问题域的边界上 或附近,边界积分是不可避免的，使其难以应用于复杂边界。 LPIM特点。优点：更易满足本质边界条件且有较好 的精度和收敛性； 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点：插值力矩阵容易发生 奇异，需要特殊处理。
在移动最小二乘近似（MLS）中，系数a(x)的选取使近 似函数 u h ( x) 在计算点x的邻域内待求函数u(x)在某种最 小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 xi 处的误差 数。
1
目
录
1
无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
2
3 4 5
无网格法研究主要进展及参考文献
2
无网格法概述
无网格法定义
The meshfree method is used to establish a system of algebraic equations for the whole problem domain without the use of a predefined mesh, or uses easily generable meshes in a much more flexible or ‘‘freer’’ manner.(G R Liu,2009)
20
导出无网格法公式
基于局部弱式的无网格法
MFree局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 残值法，使一个需要在全域求解的问题简化为在各个子域上对局部 伽辽金方程的求解问题,从而避免了全域的数值积分 代表方法：无网格局部伽辽金法(MLPG)，局部点插值法(LPIM) MLPG特点。优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 缺点： “刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度，尽管在大部分 的边界积分可通过选用适当的权函数消除掉 ，但在问题域的边界上 或附近,边界积分是不可避免的，使其难以应用于复杂边界。 LPIM特点。优点：更易满足本质边界条件且有较好 的精度和收敛性； 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点：插值力矩阵容易发生 奇异，需要特殊处理。
在移动最小二乘近似（MLS）中，系数a(x)的选取使近 似函数 u h ( x) 在计算点x的邻域内待求函数u(x)在某种最 小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 xi 处的误差 数。
无网格方法(刘欣著)PPT模板
5.6.1界面问 题的增强函 数
5.6.3数值 计算
07
ONE
第6章有限点方法
第6章有限点方法
6.1对流-扩散方程的有限点形式 6.2对流-扩散方程的有限点法求解 6.3Burgers方程的高阶时间格式有限点方法求解 6.4油藏数模的有限点法 6.5有限点方法在金融工程中的应用
第6章有限点 方法
10
ONE
第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
9.1流体-结构相互作用的计算研究 概述 9.2流体-结构相互作用模型描述 9.3FSI问题的扩展有限元方法求解 9.4浸入粒子方法 9.5气动弹性计算中的径向基函数法
第9章流体-结构相互作用的无网格方法研究进展
5.4增强型单位分解有限元方法
5.4.1增强 型覆盖函数 的实现
5.4.2数值 计算
第5章单位分解 有限元方法
5.5单位分解有限元在断裂力学中 的应用
1
5.5.1裂纹尖端附近的渐近解
2
5.5.2平面裂纹的单位分解有限 元计算
第5章单位分 解有限元方法
5.6单位分解有限元在界面问题中 的应用
5.6.2界面问 题的增强方 式
7.6.3数值求解
09
ONE
第8章自适应无网格方法
第8章自适应无网 格方法
8.1自适应无网格Galerkin法 8.2结构动力问题的自适应无网 格计算 8.3hp自适应无网格方法
第8章自适应无网格方法
8.1自适应无网格Galerkin法
8.1.1后验误差估计
8.1.2背景网格重构 算法
8.1.3自适无网格静 力分析
无网格方法(刘欣著 )
无网格法的理论及应用
为了验证该方法的有效性和可行性，我们进行了一系列实验。实验过程中采 用了某稠油油田的实际数据集，包括地层压力、温度、渗透率等参数。同时，采 用了可视化评估指标，以便直观地评估计算结果的准确性。实验结果表明，该方 法在稠油热采数值模拟过程中具有较高的计算精度和计算效率，可为稠油热采技 术的优化提供有力支持。
1、算法开发：针对稠油热采的物理化学过程，开发相应的数值模拟算法， 如有限元法、有限差分法等。
2、软件架构：设计并实现数值模拟软件的架构，包括前后处理、求解器等 模块，以便用户进行快速高效的计算。
3、数据处理：针对稠油热采数值模拟过程中产生的大量数据，开发相应的 数据处理技术，如数据压缩、可视化等。
无网格法的数值积分采用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS） 来实现。该方法通过对节点进行加权，构造一个局部近似函数来逼近真实的解。 数值积分通过在节点上建立局部近似函数，然后对该函数进行求导和积分来计算。 无网格法的数值积分具有高精度和高效性，同时避免了传统网格法中的网格生成 和数据处理问题。
1、结构分析
无网格法在结构分析中具有广泛的应用，可以处理各种复杂形状和材料属性 的结构。例如，桥梁、建筑物和飞机等结构分析中，无网格法能够适应复杂的几 何形状和非均匀的材料属性，同时提高计算效率和精度。此外，无网格法在疲劳 分析和振动分析中也得到了广泛应用。
2、流体分析
无网格法在流体分析中也有着广泛的应用，可以处理各种复杂的流体流动问 题。例如，无网格法可以应用于计算流体动力学（CFD）中的复杂流场模拟、燃 烧模拟以及噪声辐射模拟等。无网格法能够适应复杂的几何形状和流场特性，提 高计算精度和效率。
参考内容
稠油热采是一种重要的石油开采方法，具有提高采收率、降低开采成本等优 势。随着计算机技术的不断发展，数值模拟已成为稠油热采领域的重要工具。本 次演示旨在探讨稠油热采数值模拟自适应网格法计算软件的开发研究及实例应用。
无网格法的理论及应用(正在看1)
自动生成仍然是极具挑战力的任务. 其他一些基 于网格的数值方法, 如有限差分法、边界元法等也 或多或少的存在上述问题.
鉴于有限元、边界元等基于网格的数值方法 的这些缺陷, 国际计算力学界从 20 世纪 90 年代开 始兴起了无网格法的研究热潮 [1∼5]. 与基于网格 的有限元等方法不同, 无网格法用一组点来离散 求解区域, 直接借助于离散点来构造近似函数, 可 以彻底或部分地消除网格, 不需要网格的初始划 分和重构, 不仅可以保证计算的精度, 而且可以减 小计算的难度. 然而, 无网格法也存在一些固有缺 陷. 例如, 无网格近似函数一般均很复杂, 其计算量 较大; 大多数的无网格近似函数不具有插值特性, 因此无网格法本质边界条件的施加比有限元法繁 琐.
对于多维问题, 近似函数式 (1) 可以改写为
n
ui(x) ≈ uhi (x) = NI (x)uiI = N (x)u (2)
I =1
其中 uiI = ui(xI ), N (x) = [N1(x)I, N2(x)I, · · · , Nn(x)I], u = [u11, u21, u31, u12, · · · , u3n]T, I 为单 位矩阵. 不同的无网格近似函数具有不同的形函 数. 与有限元法不同, 大多数无网格近似函数不具 有插值特性, 因此 uI 一般不再是试函数 uh(x) 在 节点 xI 处的值, 即 uh(xI ) = uI , NI (xJ ) = δIJ .
MLS 近似中将权函数 wI (x) 在域 ΩI 内取为 1, 在 域 ΩI 外取为 0, 则 MLS 近似退化为标准的最小二 乘近似 (LSQ).
MLS 近似可以精确地重构包含在基底中的任
何函数 pi(x)(即
n I =1
无网格法的应用
无网格法的应用无网格方法的研究应用与进展引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20 世纪70 年代。
Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。
固体力学中的无网格方法
（３．３）
＼
５ｃ
／
其中： ｓｏ（ｘ）＝ｌｌｚ—ｚ川，ｓ…是结点紧支区域的半径，ｓ。扣）是交点与不连续线尖端点的距
离，参数瓦决定了不再发生透射的位置．
３．２场函数具有不连续的导数
对于无网格方法，Ｃｏｒｄｅｓ和Ｍｏｒａｎ｛“】等人提出Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法来处理这种导数的不连 续性．他们在导数不连续的界面两侧分别加以近似，然后再通过Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法引入界面处 应满足的连续性条件．
单元的Ｇａｌｅｒｋｉｎ法（ｅｌｅｍｅｎｔ ｆｌｅｅ ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ，简称ＥＦＧ）．这类方法比ＳＰＨ方法计算费用 高，但具有较好的协调性及稳定性．
最近，Ｄｕａｒｔｅ和Ｏｄｅｎ［Ⅲ等人提出了单位分解法，并且认识到基于移动最小二乘法的近似
方法实际上是单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩展；Ｌｉｕ【。］等人也对此类方
２无网格方法的近似方案
我们以醒域口中定义的函数“ｆｏ）为例来进行说明．在区域门内．我们取一组离散的结点 ｚ，（Ｊ＝１，…．“Ⅳ），并把与结点』相关联的变量记为“，．
所有无网格方法的一个共同点是所用的权函数具有紧支集特性，也就是说，它非零的子域 要比剩余的区域小很多．与结点』相关联的紧支子域用胁来表示，通常也称为结点』的影响
Ｋｒｏｎｇａｕｚ和Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ［”】等人则提出了使用跳跃函数来引入导数不连续性的方法．以一 维情况为例加以说明．并假定在点。＝ｚ。处导数具有不连续性．取
ｕ“（￥）＿∑硝（∞）川＋ｂ·母（ｚ一￥。）
（３．４）
，
∑：
吣
口嚣
２”
其中吼（￡）是扩展基函数．如裂纹尖端相关的奇异函数．一般”２《＂１，因此我们可以把扩展基 的作用限制于需要的小区域内．
无网格法介绍
无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 无网格法是在建立问题域的系统代数方程时， 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009） 离散的方法。（刘桂荣，2009） 。（刘桂荣
无网格法概述
无网格法求解过程 FEM对比 对比） （与FEM对比）
导出无网格法公式
基于弱强式的无网格法
• MFree弱-强式法 弱 强式法 强式法(NWS)的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 局部弱式建立起离散系统方程式，即对不同组别的节点根据其不同 局部弱式建立起离散系统方程式， 条件分别形成不同类型的方程，其中局部弱式被用于位于或接近导 条件分别形成不同类型的方程， 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 • 代表方法：MWS 代表方法： • MWS特点。MWS法使用最少数量的背景网格用于积分，对各类力学 特点。 法使用最少数量的背景网格用于积分， 特点 法使用最少数量的背景网格用于积分 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。
构造无网格形函数
PIM形函数性质
• 一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 如果单项式的完备阶数是 ， • 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 • 线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的 基函数在支持域上是线性独立的 • δ 函数性
目
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I =1 I =1 I =1 N Nt N
零能模态
稳定化方案
δΠ s (ui ) = δΠ(ui ) +
2αபைடு நூலகம்slc2 E
∫
Ω
δσ ij , j (σ ij , j + fi )dΩ = 0
伽辽金型无网格法 — 数值积分
光滑应变稳定化方案
将节点xL处的应变取为节点xL的邻域ΩL 内应变的加权平均 ⎧1 / ΔΩ L x ∈Ω L ij = ∫ ε ijφ ( x; x − x L )dΩ ε φ ( x; x − x L ) = ⎨ Ω x ∉ ΩL ⎩0 ⎧ ∂u ∂u j ⎪ ⎫ 1 1 ⎪ i = + d Ω = ( u n + u n )d Γ ⎨ ⎬ j i 2 ΔΩ L ∫Ω L ⎪ 2 ΔΩ L ∫Γ L i j ⎩ ∂ x j ∂ xi ⎪ ⎭
( xL ) = ε
⎡ b (x ) 0 ⎢ I1 L (x ) ⎢ B I ( xL ) = 0 b I2 L ⎢ (x ) b (x ) ⎢ b I1 L ⎣ I2 L
I ∈GL
(x ∑B
I
L
) uI
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
ΩL xL
(x ) = b Ii L
1 ΔΩ L
加权最小二乘型无网格法
|
构造加权最小二乘泛函
Π = ∫ (σ ij , j + f i )(σ ik ,k + f i )dΩ
Ω
+ ∫ α u (ui − ui )(ui − ui )dΓ + ∫ α t (σ ij n j − ti )(σ ik nk − ti )dΓ
Γu Γt
δΠ = ∫ δσ ik ,k (σ ij , j + f i )dΩ
| |
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
Nitsche’s方法 Ø 能否找到一种方法，结合上述几种方案的 优势，克服其不足？ Ø 增广拉格朗日乘子法：
Π′( u, λ ) = Π( u) + ∫ λ T ( u − u )d Γ +
Γu
β ( u − u )T ( u − u )d Γ 2 ∫Γu
2 ui ( xk ) = ui ( xk )
² 在自然边界点上引入域内微分方程的影响 ² 方程阶数被提高
配点型无网格法 — 最小二乘配点
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2; k = 1,2,, N +N a σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
Ω Γt
| | | | |
计算量大 精度高，稳定性好 系数矩阵对称 需要研究如何进行数值积分（最常用背景网格积分） 不易施加本质边界条件
伽辽金型无网格法 — 数值积分
∫
|
Ω
f ( x )d Ω = ∑ f ( xl ) wl
l =1
ng
背景网格（高斯）积分 Ø 背景网格节点不一定是近似函数节点，单元 不一定在求解区域里 Ø 有限元网格是很好的背景网格
ui ( xk ) = ui ( xk )
s xx (MPa)
5
xk ∈Γ t , i, j = 1,2; k = 1,2,, N t xk ∈Γ u , i = 1,2; k = 1,2,, N u
s xx (MPa)
5 0 -5
0
-5 解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 0 2 4 6 (a) 8 10 12 x(m)
配点型无网格法
Finite Point Method (FPM) Ø MLS + Collocation | SPH Ø 核近似 + Collocation | Hp clouds Ø 单位分解 + Collocation | 基本解方法（MFS） Ø 基本解作为形函数 + Collocation + 域外/边界 上布点
|
伽辽金型无网格法
等效积分弱形式（虚位移原理）
δΠ(u ) = ∫ (δ ε Tσ − δ u T f )d Ω − ∫ δ u T t d Γ = 0
Ω Γt
Kd = P
K = ∫ Β T DB d Ω
Ω
MLS近似：u( x ) = N ( x )d
P = ∫ Ν T f d Ω + ∫ N Tt d Γ
-10 -15 -20 -25 -30
-10 -15 -20 0 2 4 6 (b)
解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 8 10 12 x(m)
N = 48, Na = 21
N = 107, Na = 64
7
配点型无网格法 — SPH
无体力时的运动方程
∇ ⋅ σ = ρv
配点法
Ω
Ø 应变计算计入了其它节点的影响，可在一定
程度上近似处理非局部问题
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
单位分解积分 1. 函数ψk (x)只定义在子域Ωk上； 2. 子域Ωk相互重叠，且它们完全覆盖了域Ω； 3. 函数ψk (x)满足单位分解条件
∫
Ω
f ( x )dΩ = ∑ ∫
k =1
识别 λ = − t on Γ u
δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ + β ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu Γu Γu
( K + K t + K p )d = P + Pt + Pp
|
Nitsche’s方法的罚系数不必取得太大即可获得很 准确的结果
节点
解析积分
数值积分
∑ ai Di ( ρ1 )
i =0
m
Ø 易于实现任意阶应力场
=
dN I (ξ1 ) m w1 ∑ aiξ1i dξ i=0
的精确积分
Ø 较少积分点即可达到较
积分点相对位置和权重
高精度
4
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
N I ( x J ) ≠ δ IJ
|
u h ( xI ) ≠ uI
l
Ω∩Ω k
ψ k ( x ) f ( x )dΩ
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
P int = − ∫ Β Tσ d Ω 支持域积分 Ω Ø 被积函数原型：普通多项式 è 形函数/形函 数导数与多项式相乘 1 dN (ξ ) m i I
节点 I 的支持域
∫
0
dξ
∑aξ
i=0 i
dξ
积分点
T T G = ∫ Nλ NdΓ, Q = ∫ N λ udΓ Γu Γu
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
修正变分原理
δΠλ ( u, λ ) = δΠ( u) + ∫ δλ T ( u − u )dΓ + ∫ δu T λ dΓ = 0
λ = − t on Γ u
Γu
Γu
Γu
= δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ = 0
|
罚函数法
δΠ p ( u) = δΠ( u) + α ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu
( K + K p )d = P + Pp
K p = α ∫ N T NdΓ
Γu
Pp = α ∫ N T udΓ
Γu
5
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
各种方法优劣的讨论： 拉格朗日乘子法 Ø 准确施加本质边界条件 Ø 系数矩阵不再正定，维数增加 | 修正变分原理 Ø 系数矩阵维数不变 Ø 边界条件施加不够准确 | 罚函数法 Ø 系数矩阵半正定、维数不变 Ø 罚数不当导致系数矩阵性态变差
|
6
配点型无网格法 — FPM
微分方程在域内节点处满足，边界条件在边界节点处满足
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2,3; k = 1,2,, N Ω σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
ui ( xk ) = ui ( xk )
无网格法
典型无网格法
无网格法总结
典型无网格法
伽辽金型无网格法 配点型无网格法 | 基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法 | 最小二乘无网格法 | 物质点法
| |
1
伽辽金型无网格法
EFGM Ø MLS近似 + Galerkin格式 | RKPM Ø RK近似 + Galerkin格式 | PIM Ø 点插值近似 + Galerkin格式 | RPIM Ø 径向点插值近似 + Galerkin格式
∫
ΓL
N I ( x ) ni ( x )dΓ
3
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
光滑应变稳定化方案的进一步讨论 Ø 克服了零能模态，稳定性好于普通节点积分 Ø 积分得到了降阶，计算量减小 Ø 稳定化的本质是施加了线性一致性条件（常 应力可精确积分）
P int = − ∫ Β Tσ d Ω
配点型无网格法 — FPM
稳定化
σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) − 1 hl ∂ ⎡ σ ( x ) + f i ( xk ) ⎤ ⎦=0 2 ∂xl ⎣ ij , j k σ ij ( xk )n j − 1 hl nl ⎡ ⎣σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) ⎤ ⎦ = ti ( xk )
零能模态
稳定化方案
δΠ s (ui ) = δΠ(ui ) +
2αபைடு நூலகம்slc2 E
∫
Ω
δσ ij , j (σ ij , j + fi )dΩ = 0
伽辽金型无网格法 — 数值积分
光滑应变稳定化方案
将节点xL处的应变取为节点xL的邻域ΩL 内应变的加权平均 ⎧1 / ΔΩ L x ∈Ω L ij = ∫ ε ijφ ( x; x − x L )dΩ ε φ ( x; x − x L ) = ⎨ Ω x ∉ ΩL ⎩0 ⎧ ∂u ∂u j ⎪ ⎫ 1 1 ⎪ i = + d Ω = ( u n + u n )d Γ ⎨ ⎬ j i 2 ΔΩ L ∫Ω L ⎪ 2 ΔΩ L ∫Γ L i j ⎩ ∂ x j ∂ xi ⎪ ⎭
( xL ) = ε
⎡ b (x ) 0 ⎢ I1 L (x ) ⎢ B I ( xL ) = 0 b I2 L ⎢ (x ) b (x ) ⎢ b I1 L ⎣ I2 L
I ∈GL
(x ∑B
I
L
) uI
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
ΩL xL
(x ) = b Ii L
1 ΔΩ L
加权最小二乘型无网格法
|
构造加权最小二乘泛函
Π = ∫ (σ ij , j + f i )(σ ik ,k + f i )dΩ
Ω
+ ∫ α u (ui − ui )(ui − ui )dΓ + ∫ α t (σ ij n j − ti )(σ ik nk − ti )dΓ
Γu Γt
δΠ = ∫ δσ ik ,k (σ ij , j + f i )dΩ
| |
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
Nitsche’s方法 Ø 能否找到一种方法，结合上述几种方案的 优势，克服其不足？ Ø 增广拉格朗日乘子法：
Π′( u, λ ) = Π( u) + ∫ λ T ( u − u )d Γ +
Γu
β ( u − u )T ( u − u )d Γ 2 ∫Γu
2 ui ( xk ) = ui ( xk )
² 在自然边界点上引入域内微分方程的影响 ² 方程阶数被提高
配点型无网格法 — 最小二乘配点
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2; k = 1,2,, N +N a σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
Ω Γt
| | | | |
计算量大 精度高，稳定性好 系数矩阵对称 需要研究如何进行数值积分（最常用背景网格积分） 不易施加本质边界条件
伽辽金型无网格法 — 数值积分
∫
|
Ω
f ( x )d Ω = ∑ f ( xl ) wl
l =1
ng
背景网格（高斯）积分 Ø 背景网格节点不一定是近似函数节点，单元 不一定在求解区域里 Ø 有限元网格是很好的背景网格
ui ( xk ) = ui ( xk )
s xx (MPa)
5
xk ∈Γ t , i, j = 1,2; k = 1,2,, N t xk ∈Γ u , i = 1,2; k = 1,2,, N u
s xx (MPa)
5 0 -5
0
-5 解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 0 2 4 6 (a) 8 10 12 x(m)
配点型无网格法
Finite Point Method (FPM) Ø MLS + Collocation | SPH Ø 核近似 + Collocation | Hp clouds Ø 单位分解 + Collocation | 基本解方法（MFS） Ø 基本解作为形函数 + Collocation + 域外/边界 上布点
|
伽辽金型无网格法
等效积分弱形式（虚位移原理）
δΠ(u ) = ∫ (δ ε Tσ − δ u T f )d Ω − ∫ δ u T t d Γ = 0
Ω Γt
Kd = P
K = ∫ Β T DB d Ω
Ω
MLS近似：u( x ) = N ( x )d
P = ∫ Ν T f d Ω + ∫ N Tt d Γ
-10 -15 -20 -25 -30
-10 -15 -20 0 2 4 6 (b)
解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 8 10 12 x(m)
N = 48, Na = 21
N = 107, Na = 64
7
配点型无网格法 — SPH
无体力时的运动方程
∇ ⋅ σ = ρv
配点法
Ω
Ø 应变计算计入了其它节点的影响，可在一定
程度上近似处理非局部问题
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
单位分解积分 1. 函数ψk (x)只定义在子域Ωk上； 2. 子域Ωk相互重叠，且它们完全覆盖了域Ω； 3. 函数ψk (x)满足单位分解条件
∫
Ω
f ( x )dΩ = ∑ ∫
k =1
识别 λ = − t on Γ u
δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ + β ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu Γu Γu
( K + K t + K p )d = P + Pt + Pp
|
Nitsche’s方法的罚系数不必取得太大即可获得很 准确的结果
节点
解析积分
数值积分
∑ ai Di ( ρ1 )
i =0
m
Ø 易于实现任意阶应力场
=
dN I (ξ1 ) m w1 ∑ aiξ1i dξ i=0
的精确积分
Ø 较少积分点即可达到较
积分点相对位置和权重
高精度
4
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
N I ( x J ) ≠ δ IJ
|
u h ( xI ) ≠ uI
l
Ω∩Ω k
ψ k ( x ) f ( x )dΩ
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
P int = − ∫ Β Tσ d Ω 支持域积分 Ω Ø 被积函数原型：普通多项式 è 形函数/形函 数导数与多项式相乘 1 dN (ξ ) m i I
节点 I 的支持域
∫
0
dξ
∑aξ
i=0 i
dξ
积分点
T T G = ∫ Nλ NdΓ, Q = ∫ N λ udΓ Γu Γu
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
修正变分原理
δΠλ ( u, λ ) = δΠ( u) + ∫ δλ T ( u − u )dΓ + ∫ δu T λ dΓ = 0
λ = − t on Γ u
Γu
Γu
Γu
= δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ = 0
|
罚函数法
δΠ p ( u) = δΠ( u) + α ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu
( K + K p )d = P + Pp
K p = α ∫ N T NdΓ
Γu
Pp = α ∫ N T udΓ
Γu
5
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
各种方法优劣的讨论： 拉格朗日乘子法 Ø 准确施加本质边界条件 Ø 系数矩阵不再正定，维数增加 | 修正变分原理 Ø 系数矩阵维数不变 Ø 边界条件施加不够准确 | 罚函数法 Ø 系数矩阵半正定、维数不变 Ø 罚数不当导致系数矩阵性态变差
|
6
配点型无网格法 — FPM
微分方程在域内节点处满足，边界条件在边界节点处满足
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2,3; k = 1,2,, N Ω σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
ui ( xk ) = ui ( xk )
无网格法
典型无网格法
无网格法总结
典型无网格法
伽辽金型无网格法 配点型无网格法 | 基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法 | 最小二乘无网格法 | 物质点法
| |
1
伽辽金型无网格法
EFGM Ø MLS近似 + Galerkin格式 | RKPM Ø RK近似 + Galerkin格式 | PIM Ø 点插值近似 + Galerkin格式 | RPIM Ø 径向点插值近似 + Galerkin格式
∫
ΓL
N I ( x ) ni ( x )dΓ
3
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
光滑应变稳定化方案的进一步讨论 Ø 克服了零能模态，稳定性好于普通节点积分 Ø 积分得到了降阶，计算量减小 Ø 稳定化的本质是施加了线性一致性条件（常 应力可精确积分）
P int = − ∫ Β Tσ d Ω
配点型无网格法 — FPM
稳定化
σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) − 1 hl ∂ ⎡ σ ( x ) + f i ( xk ) ⎤ ⎦=0 2 ∂xl ⎣ ij , j k σ ij ( xk )n j − 1 hl nl ⎡ ⎣σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) ⎤ ⎦ = ti ( xk )