2010届《高考风向标》(理科)数学 第九章 解析几何初步
2010届高考数学热点：解析几何
高考解析几何考查趋势及重点热点问题新泰一中 闫辉一、知识要点1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。
了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的初步应用。
3、轨迹问题。
4、几何问题代数化的思想，曲线与方程的思想，数形结合的思想。
5、韦达定理、弦长公式。
6、平面向量、均值不等式。
二、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。
例1、（2009年全国卷Ⅱ、理16）已知AC 、BD 为圆O ：4y x 22=+的两条相互垂直的弦，垂足为)2,1(M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
1、合情推理、大胆猜测由已知可得四边形ABCD 的面积BD AC 21S ⨯=。
由均值不等式启发，猜想当AC 和BD 一个最大，一个最小或两者相等时有最值。
过圆内一点最大的弦为直径42r =，最小的为垂直于直径的弦，易求得为2，所以S=4； 当AC 和BD 相等时，由于AC 与ＢＤ垂直，ＯＭ为AMB ∠的平分线，045OMA =∠，3OM =，可求得点Ｏ到ＡＣ的距离为23，210234AC 21=-=，得10A C =，同理10B D =，所以Ｓ＝５。
有理由大胆猜测结果是，Ｓ的最大值为５，最小值为４。
2、综合推理、实证结果分析：可利用韦达定理、弦长公式，转化为函数的最值问题，但由于)2,1(M 点的位置不特殊，计算量太大，不易算不下，特别是最小值，很难求出来（不妨自己尝试一下）。
又由于3OM = ，故可采用转换命题法，把M 点的坐标换为)3,0(，四边形ABCD 的面积也不变。
设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ，则BD AC 21S ⨯=。
（１）、当ＡＣ和ＢＤ的斜率一者为０，另一者不存在时，可求得，42421S =⨯⨯=。
（２）、当ＡＣ的斜率存在且不为０时，设其斜率为ｋ。
则01kx 32x )k 1(3kx y 4y x 2222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+由弦长公式得22k114k2AC ++=同理可得22k14k 2BD ++=259162k1k 361612kk )14k )(4k (4BDAC41S 222422222=+≤+++=++++=⨯⨯=即.5S 425S 162≤<⇒≤<当且仅当1k ±=时，Ｓ有最大值５综上所述得 5S 4≤≤，四边形PMQN 的面积S 的最小值为4，最大值为5。
(完整)十年真题_解析几何_全国高考理科数学.doc
十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1uuur uuur uuur uuur uuur的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．AB OB（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4 ，求双曲线的方程．2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2x 与圆 M : ( x 4)2y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。
（I ）求 r 的取值范围：(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线A 、B 、C 、D 的交点 p 的坐标。
2010-21 (12分 )已知抛物线 C : y 24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；uuur uuur8（Ⅱ）设 FAgFBBDK 的内切圆 M 的方程 .，求91 / 132011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， AC ， 已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若BFD90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。
2010届高考导航系列新课标人教版(全解析)高三上学期数学理
高三上学期理科数学单元测试（3）[新课标人教版]命题范围：导数及其应用（选修2-2第一章）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150 分，考试时间为120 分钟。
2．答第Ⅰ卷前务势必自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并回收。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都一定用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需变动，一定先用橡皮擦洁净，再改涂其余答案。
第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分）。
1．2(sin x cos x)dx ＝（）A ．0 FB．C．2 D． 42．函数y x ln x 的单一递减区间是（）1 1 1A ．(e , ) B．( ,e) C．(0, e ) D．(e, )23．若函数 f (x) x bx c的图象的极点在第四象限，则函数 f (x) 的图象是（）4．点P 在曲线23 xy x 上挪动，设点P 处切线倾斜角为α，则α的取值范围是（）3A ．[0,] B．[ 0, ) ∪[2 2 34,π) C．[34,π) D．(2,34]3 2 （m 为常数）在[ 2，2] 上有最大值3，那么此函数在[ 2，2] 5．已知 f (x) 2x 6x m上的最小值为（）A． 5 B．11 C．29 D．376．函数xf ( x) ( x 3)e 的单一递加区间是（）A ．( ,2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2, )7．已知函数 f (x)知足f (x) f ( x),且当x ( , ) 时， f (x) x sin x,则（）2 2A ．f (1) f (2) f (3) B．f (2) f (3) f ( 1)C．f (3) f (2) f (1 )D．f (3) f (1) f (2)1m8．设函数 f ( x) x ax 的导函数 f (x) 2x 1，则数列{ }( n N*)f (n)的前n 项和是（）A ．nn 1B．nn21C．nn1D．n 1n9．如右图，暗影部分的面积是（）A ．2 3 B．2 3C．323D．35310．函数f(x) 在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x), 且当x∈(-∞,1)时，(x-1) f ( x) <0,设a=f(0),b=f( 12),c= f(3), 则（）A ．a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜ax 1,( 1 x 0)11．函数f ( x) cos x,(0 x )2的图象与x 轴所围成的关闭图形的面积为（）A ．32B． 1 C． 2 D．123 212．以下图的是函数 f (x) x bx cx d 的大概图象，则2 2x1 x 等于（）2A ．2 3B．4 3C．8 3D．16 3第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共 4 个小题，每题 4 分，共16 分）。
2010年高考真题考点归纳 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2
2010年高考真题考点归纳 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2三、解答题1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.（1）若点M 满足1()2A M A Q AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为C D 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ += 12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标.解析：(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x px y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则21210222121022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ+=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122bk a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212bk a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。
高考数学复习第九章解析几何9.7抛物线文北师大版市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
又因为曲线 y= (k>0)与抛物线交
于点 P,PF⊥x 轴,
(1)2√如图所示,可知
2 (2)D
P(1,2),故1=2,解得
关闭
k=2,故选 D.
解析
答案
17/35
-18考点1
考点2
考点3
解题心得1.求抛物线标准方程惯用方法是待定系数法,其关键是
判断焦点位置、开口方向,在方程类型已经确定前提下,因为标准
C.8√3
D.16
√3
关闭
故|PF|=|AF|=2|MF|=2p=8.
(1)A
(2)B
思索怎样灵活应用抛物线定义处理距离问题?
解析
答案
12/35
-13考点1
考点2
考点3
解题心得1.轨迹问题:用抛物线定义能够确定动点与定点、定直
线距离相关轨迹是否为抛物线.
2.距离问题:包括点与抛物线焦点距离问题常转化为点到准线距
2
x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
4
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(
)
关闭
答案
6/35
-7知识梳理
双基自测
1
自测点评
2
3
4
5
2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x
2
(
2
- 3 =1
2
的渐近线的距离是
)
1
2
A.
√3
B.
C.1
2
D.√3
关闭
由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=±√3x,
北师大版 2010届高三数学步步高(理)总复习 解析几何
第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C .0°＜α≤135°D .0°＜α＜135°答案 D2.（2008²全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A .30°B .45°C .60°D .120°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A .1B .4C .1或3D .1或4答案 A4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是（ ）A .［0，+∞）B .（-∞，+∞）C .［-1，+∞）D .（-∞,-1）∪［0，+∞）答案 D5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是( )基础自测A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡26ππ，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，65C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡6,0πD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,2ππ 答案 B例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;2分当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,5分综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0, 2分∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a4分⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,5分故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3,l 2:y =x a-11-(a +1), 10分 由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.12分方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0⇒a =32. 12分例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34.1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,22,6ππππB .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,0πD .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 答案 B2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58.（1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm 584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A.21 B.33 C.23 D.3答案 D一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（ ）A .[)π,0B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案 D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角答案 C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π,0B .⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0πD .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,22,4 答案 B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为（ ）A .21 B .-21 C .-2D .2答案 C5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）A .31-B .-3C .31D .3答案 A 二、填空题6.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+27.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0，即m =21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26， 即m =3时，l 1与l 2重合.11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3.此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-²3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.§9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示C .不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 B2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.（2008²全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为( )A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2 y -5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .基础自测答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+aya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3），因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |²|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . （1）∵2ba 12⋅≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.（2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ）² ²=21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |²|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4,当且仅当24k =4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,²两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-52121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⋅--122110000x x y y xx yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x-8),即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k .∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y -12=0.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-32=500+x y.而'PP 的中点Q 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则3200-=--xx y y , 又'PP 的中点Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上， ∴3³20x x +-2³20y y ++7=0,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x y y可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（ ）A .1B .2C .3D .4答案 B2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（ ） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0 C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（ ）A .32-B .32 C .-23 D .23 答案 A4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是（ ）A .x +2y -1=0B .2x +y -1=0C .2x +y -3=0D .x+2y -3=0答案 D5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C . x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案 B6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ等于 （ ）A .150°B .30°或150°C .30°D .30°或210°答案 B 二、填空题7.设l 1的倾斜角为α，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=08.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=1²（x -1） 即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+21212121y x.解之得⎩⎨⎧-='-='.2,2y x ∴'Q （-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0.由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，则22223113151++-=+--c ,得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴22133++-a =223151+--，得a =9或-3,∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k k y k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k k y k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§9.3 圆的方程基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（ ） A .a ＜-2或a ＞32B .-32＜a ＜0 C .-2＜a ＜0D .-2＜a ＜32 答案 D2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,B .⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0C .⎪⎭⎫⎝⎛-,041D .)41,(-∞答案 A3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 （ ）A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为（ ）A .(x -2)2+(y +1)2=3 B .(x +2)2+(y -1)2=3 C .(x -2)2+(y +1)2=9D .(x +2)2+(y -1)2=9答案 C5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆(x +a )2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0 C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0答案 D例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x =3-2y , 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.4分设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. 6分∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 8分而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.14分方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2.∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4.由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为(x +1)2+(y -2)2=r 2. 6分∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+(3-2)2+5=44)6(12m --+.∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21. 14分方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ. 3分∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.6分 ∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，7分又圆在PQ 上， ∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3. ∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.14分例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43，x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.1.（2008²山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A .(x -3)2+(y -37)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -23)2+(y -1)2=1 答案 B2.已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r - =2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk1,从而k l =-311-=2. ∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56. ∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51. （2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点.∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =12--x y ， 则直线kx -y -k +2=0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k ≤433+, ∴k max =433+，k min =433-.一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( )A .2B .22C .1D .2答案 D2.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是( )A .-51＜a ＜1 B .a ＞1或a ＜-51 C .-51≤a ＜1D .a ≥1或a ≤-51 答案 A3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是( )A .3+2B .3-2C .6D .4答案 A4.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )A .x 2+y 2-x -2y -41=0 B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0D .x 2+y 2-x -2y +41=0 答案 D5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba 11+的最小值是 ( )A .41 B .2 C .4 D .21 答案 C6.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 ( )A .32πB .πC .23π D .34π 答案 B 二、填空题7.（2008²四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425三、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22y x +=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为(x -4)2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0④由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4， 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解 将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图， 由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2³21³|PA |³r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =5843++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;② ③(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明 理由.解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a , 可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为(x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）（ ）A .在圆上B .在圆外C .在圆内D .以上都有可能答案 B2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ）A .-3＜a ＜7B .-6＜a ＜4C .-7＜a ＜3D .-21＜a ＜19答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 （ ）A .1B .2C .3D .4答案 B4.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B .),125(+∞C .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D .)125,0( 答案 A5.(2008²重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0基础自测例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律， 反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ),即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2），半径为1,∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去b 得11552=++k k . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2.(m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （12分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23， 圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0. 4分 又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ① 2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. 6分 ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）,8分则CD ⊥PD ，即CD ²=0， 10分（x +2,y -6）²(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0. 12分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2-d 2=12，即5-52m =1. 得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ²5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解 已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT|2=|PC|2-|CT |2=(a -2)2+(b -3)2-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2，即(a -2)2+(b -3)2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT|2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT|min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136. |PT|的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ， 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程， 解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解 （1）当α=43π时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y+5=0.一、选择题1.（2008²辽宁理，3）圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点的充要条件是 （ ）A .k ∈(-2,2)B .k ∈(-∞,-2)∪(2,+∞)C .k ∈(-3,3)D .k ∈(-∞,-3)∪(3,+∞)答案 C2.（2008²重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是（ ）A .相离B .相交C .外切D .内切答案 B3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于（ ）A .2B .2-2C .2-1D .2+1。
《高考总复习》数学(理科)课件：第九章-第6讲-离散型随机变量及其分布列
解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并 且第五项必须合格.
记“前四项均合格且第五项合格”为事件 M. “前四项中仅有一项不合格且第五项合格”为事件 N，
则 P(M)＝124×1－23＝418， P(N)＝C14×12×1－123×1－23＝112. 因为 M，N 互斥， 所以 p＝P(M)＋P(N)＝418＋112＝458.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 6
2 3
1 6
故 ξ 的期望 E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.
(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服 药者指标 y 数据的方差.
【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布 列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重 要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不 同类别的小球等概率模型.
(2)该考生参加考试的项数 X 可以是 2，3，4，5.
P(X＝2)＝12×12＝14， P(X＝3)＝C121－12×12×12＝14， P(X＝4)＝C131－12×122×12＝136， P(X＝5)＝1－14－14－136＝156. 则 X 的分布列为：
X2
3
4
5
P
1 4
1 4
3
5
16 16
B(n，p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：
X
0
1
…
k
…
n
P Cn0p0(1－p)n Cn1p1(1－p)n－1 … Cknpk(1－p)n－k … Cnnpn(1－p)0
2010年全国高考解析几何试题分析
近三年来各地高考试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
题目突出主干知识、注重“知识交汇处”命题，强化思想方法、突出创新意识，综合性较强。
从题型来看，选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法。
解题时谨记“用代数方法研究几何性质”这一学习解析几何的方法灵魂！因此，函数，方程，不等式的相关知识就必须熟练掌握和应用。
在复习过程中这一点值得强化。
本文从2010年考纲的角度，对2010年全国各地解析几何题型和解题方法进行分析，以便同仁对2011年的高考做到心中有数。
一 考查基础知识、基本运算例1:(2010年高考福建卷理科2)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，选D。
命题意图:本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
例2:(2010年高考安徽卷理科5)双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为解析:双曲线的a2=1,b2= ,c2= ,c= ,所以右焦点为命题意图:本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论。
二、考查基本方法与基本技能例3:(2010年高考全国卷I理科9)已知F1、F2为双曲线C:.x2-y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x轴的距离为命题意图:本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.解析:不妨设点P(x0,y)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得由余弦定理得cos ,解得x02= ,所以y2=x2-1= ，故P到x轴的距离为三、考查圆锥曲线定义例4:(2010年高考江苏卷试题6)在平面直角坐标系xO y中，双曲线 =1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________解析:考查双曲线的定义。
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第九章解析几何初步★知识网络★两直线位置关系相交重合点到直线的距离距离两平行线间的距离第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:不能表示的直线为垂直于x 轴的直线斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如： 问题1：直线023tan=++y x π的倾斜角α是A.3πB. 6π C. 32π D. 3π-点拨:转化为: 已知),0[,3tantan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大;②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.k θ=，故：33k ≤≤当0k ≤≤α满足：06πα≤≤当0k ≤<时，直线的倾斜角α满足56παπ≤<所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C （3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示||||PB PA ⋅,本题用点斜式设出方程最简便。
解：设直线l 的方程为)1(2+=+x k y ,2,0-==k y x 得,12,0-==k x y 得,)2,0(),0,12(--∴k B kA , ∴4844144||||2222≥++=+⋅+=⋅k k k k PB PA ,当且仅当221k k =，即k=±1时等号成立，但k<0,故直线l 的方程为：x+y+3=0；（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点)4,3(P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程。
点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。
解：当直线过原点时,方程为x y 34=;当直线不经过原点时,设方程为12=+ay a x ,把)4,3(P 代入得5=a , 102=+∴y x综上,所求方程为x y 34=或102=+y x ★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)[例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且oo13545<<α，试求实数m 的取值范围。
【解题思路】由倾斜角α的范围得出斜率k 的范围,从而求出参数m 的取值范围. 【解析】01113545=-<>∴<<m k k oo或或α ，1232>--∴m m 或01232=-<--m m m 或，解得：00430=<<<m m m 或或 m ∴的取值范围是)43,(-∞【名师指引】根据正切函数在),0[π上的单调性,要分)90,45(00∈α;090=α)135,90(00∈α三种情况讨论,特别注意090=α时容易遗漏. 题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交[例2 ]已知直线l :y=kx-2和两点P （1，2）、Q （-4，1）,若l 与线段PQ 相交，求k 的取值范围； 【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围 [解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），∵∴要使直线l 与线段PQ 有交点，则k 的取值范围 是k ≥4和k ≤-3/4【名师指引】（1交”和“直线与线段相交”的区别（2含有090角,若含有,则斜率的范围是),[],(21+∞⋃-∞k k ,若不含有,则斜率的范围是],[21k k （21,k k 分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C. 由K AB =K BC 可得2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f (x )=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则aa f )(、bb f )(、c c f )(的大小关系是A 、aa f )(＞bb f )(＞cc f )( B 、cc f )(＞bb f )(＞aa f )(C 、b b f )(＞a a f )(＞c c f )(D 、a a f )(＞c c f )(＞b b f )(【解析】B把aa f )(、bb f )(、cc f )(分别看作函数f (x )=log 2（x+1）图像上的点))(,()),(,()),(,(b f c b f b a f a 与原点连线的斜率,对照草图可得答案3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是 （ ）A ．直线的倾斜角为3arctan 4B ．直线必经过点11(1,2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为【解析】D. 将直线方程化为02543=--y x ，直线的斜率为43，直线的倾斜角为3arctan 4，将点11(1,)2-代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限 2(2)410MPk --==-1(2)3(4)04MQ k --==---4. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为[解析] 如图，当a 从－2连续变化到1时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A(ABO ∆)的面积之比为87，而区域A 的面积为2，故所求的面积为745.在平面直角坐标系中，点AB C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，则1+x y的取值范围是 [解析] ：把1+x y 看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为]2,52[ 6.已知点A （-2，3），B （3，2），P （0，-2），过P 点的直线 与线段AB 有公共点，求直线 的斜率k 的变化范围; [解析] 25-=PA k ,34=PB k ,画出图形，数形结合可得结果∈k 54(,][,)23-∞-⋃+∞ 考点2 求直线方程题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程[例3 ] 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x +y –6=0上，顶点A 的坐标是(1, –1)，求边AB , AC 所在的直线方程.【解题思路】从确定直线AB , AC 的条件入手，直线AC 满足:经过点A 且垂直于直线2x +y –6=0, 直线AB 满足:经过点A 且与直线2x +y –6=0成4π角，（或|AB|等于点A 到直线2x +y –6=0的距离的2倍）解法1:由条件知直线AC 垂直于直线2x +y –6=0，设直线AC 的方程为x-2y+c=0, 把A (1, –1)代入得c=-3, 故直线AC 的方程为x-2y-3=0,10||555||=∴==AB AC ，设B(x,y),则⎩⎨⎧=-+=++-∴06210)1()1(22y x y x ，解得)2,2(B 或)2,4(-B ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x解法2: 直线AC 的斜率为21，由点斜式并化简得，直线AC 的方程为x-2y-3=0 考虑直线AB , AC 的夹角为4π，设直线AB , AC 的方向向量分别为),1(),1,2(k n m ==则22)1(5|2||,cos |2=++=><k k n m ，解得3=k 或31-=k ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x【名师指引】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解[例4] 过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线l 1:2x+y-8=0和l 2：x-3y+10=0所截得的线段被点P 平分的直线的方程.【解题思路1】：设出直线l 的点斜式方程，分别与直线l 1，l 2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l 的方程；解析1：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx+1 联立1280{,y kx x y =++-=解得交点坐标是782(,)22K A K K +++ 联立13100{,y kx x y =+-+=解得交点坐标是7101(,)3131K B K K ---而点P （0，1）是AB 的中点，∴7723102k k ++-=，解得k=-14，故所求的直线方程为： x+4y-4=0；【解题思路2】：设出l,l 1的交点A 坐标（x 1,y 1），通过中点坐标公式求出l 与l 2的交点B 的坐标，然后分别将A,B 两点的坐标带入直线l 1， l 2的方程,联立方程组进行求解; 解析2：设直线l 与已知l 1， l 2的交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2） ∵P 是AB 的中点∴12120212{,x x y y +=+=即21212{,x xy y=-=-带入l 2的方程的，得（-x 1）-3(2-y 1)+10=0,即x 1-3y 1-4=0联立1111340280{x y x y --=+-=解得A(4,0)故所求的直线方程为：041004y x --=--，即x+4y-4=0.【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量 （2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求” 【新题导练】7.已知点A （3，4）（1）经过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ； （2）经过点A 且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ： （3）经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ； （4）经过点A 且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程为： ； [解析]（1）4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0[当直线经过原点时，方程为4x －3y ＝0，当直线不经过原点时，设方程为1=+aya x ，代入点A 的坐标得直线方程x ＋y －7＝0]（2）2x －y －2＝0或8x －9y ＋12＝0；[设直线方程为1=+b y a x ，由143=+ba 和2||=ab 求得b a ,的值]（3）x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0；[斜率为1或-1，由点斜式易得]（4）x ＋2y －11＝0或4x －3y ＝0；[当直线经过原点时，方程为4x －3y ＝0，当直线不经过原点时，设直线方程为1=+b y a x ，由143=+ba 和b a 2=求得b a ,的值] 8.已知直线l 经过点(1,4)P ,分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，其中O 为原点，求 △AOB 的面积最小时，直线l 的方程； [解析] 设直线l 的方程为)1(4-=-x k y ,令k y x -==4,0得,令k x y 41,0-==得,)4,0(),0,41(k B kA --∴,∴8|)16()(8|21|)4)(41(|21||||21≥-+-+=--=⋅=∆k k k k OB OA S AOB ,当且仅当kk 16=，即k=±4时等号成立，但k<0,故直线l 的方程为：084=-+y x考点3 对称问题题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程 [例5 ] [例5 ]已知直线l :2x-3y+1=0,点A （-1，-2），求： （1）点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线'm 方程； （3）直线l 关于点A(-1，-2)对称的直线'l 的方程；【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决； [解析]（1）设点A 关于l 的对称点是),('y x A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---⋅-=⋅++∴0122321213212y x x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1341333y x )134,1333('-∴A （2）设点)','('y x P 是直线m 上任意一点，)','('y x P 关于直线l 的对称点为),(y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⋅-=⋅--∴012'32'2132''y y x x x x y y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+=136512'134125'y x y y x x)','('y x P 在直线l 上， 0613651221341253=-+---+∴y x y x化简得：0102469=+-y x（3）设点),('b a Q 是直线l 上任意一点，点),('b a Q 关于点A(-1，-2)的对称点为),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+2212y b xa ，解得⎩⎨⎧--=--=yb x a 42因点),('b a Q 在直线l 上，01)4(3)2(2=+-----y x ， 化简得：0932=--y x【名师指引】（1）要抓住两点关于直线对称的特征来列式；（2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握； 题型2：利用对称知识解决有关问题[例6 ] [2008·深一模] 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 A．B ．6C．D．【解题思路】：利用对称知识，将折线PMN 的长度转化为折线CNMD 的长度[解析] 设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴的对称点为)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长=≥++=++=CD NC MN DM NP MNPM 【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。