2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的． （1）【2014年广东，理1，5分】已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =（ ）

（A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2}- （D ）{0,1} 【答案】B

【解析】{1,0,1,2}M N =-，故选B ． （2）【2014年广东，理2，5分】已知复数z 满足(34i)25z +=，则z =（ ）

（A ）34i - （B ）34i + （C ）34i -- （D ）34i -+ 【答案】A

【解析】2525(34i)25(34i)

=34i 34i (34i)(34i)25

z --=

==-++-，故选A ． （3）【2014年广东，理3，5分】若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪

+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，

则M m -=（ ）

（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】C 【解析】画出可行域，易知在点(2,1)与(1,1)--处目标函数分别取得最大值3M =，与最小值3m =-，6M m ∴-=，

故选C ．

（4）【2014年广东，理4，5分】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k

-=-与曲线

22

1259x y k -=-的（ ） （A ）离心率相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）实半轴长相等 （D ）焦距相等 【答案】D

【解析】09k <<，90k ∴->，250k ->，从而两曲线均为双曲线，又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，两

双曲线的焦距相等，故选D ．

（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是（ ）

（A ）()1,1,0- （B ）()1,1,0- （C ）()0,1,1- （D ）()1,0,1- 【答案】B 【解析】

222222

1

210(1)1(1)0=

++-⋅+-+，即这两向量的夹角余弦值为12

，从而夹角为060，故选A ． （6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分

别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

（A ）200,20 （B ）100,20 （C ）200,10 （D ）100,10 【答案】A

【解析】样本容量为(350045002000)2%200++⋅=，抽取的高中生近视

人数为：20002%50%20⋅⋅=，故选A ．

（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥则下列结

论一定正确的是（ ）

（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）14,l l 既不垂直也不平行 （D ）14,l l 的位置关系不确定 【答案】D

【解析】平面中的四条直线，14l l ⊥，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D ．

（8）【2014年广东，理8，5分】设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件

“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）

（A ）60 （B ）90 （C ）120 （D ）130 【答案】D

【解析】12345x x x x x ++++可取1,2,3，和为1的元素个数为：11

25C 10C =；和为2的元素个数为：

122255C 40C A +=；和为3的元素个数为：13112

25254C C C 80C C +=，故满足条件的元素总的个数为104080130++=，故选D ．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13） （9）【2014年广东，理9，5分】不等式125x x -++≥的解集为 ．

【答案】(][),32,-∞-+∞

【解析】数轴上到1与2-距离之和为5的数为3-和2，故该不等式的解集为：(][),32,-∞-+∞．

（10）【2014年广东，理10，5分】曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 ． 【答案】530x y +-= 【解析】'55x y e -=-，'

5x y =∴=-，∴所求切线方程为35y x -=-，即530x y +-=．

（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的

概率为 ．

【答案】1

6

【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率

为3671016C C =． （12）【2014年广东，理12，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，

则a

b

= ． 【答案】2

【解析】解法一：由射影定理知cos cos b C c B a +=，从而2a b =，2a

b

∴=．

解法二：由上弦定理得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B ∴=，即

2a b =，2a

b

∴=．

解法三：由余弦定理得：222222222a b c a c b b b ab ac +-+-⋅+=，即224a ab =，2a b ∴=，即2a

b

=．

（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则

1220ln ln ln a a a +++= ． 【答案】50

【解析】1011912a a a a =，51011a a e ∴=，设1220ln ln ln S a a a =++

+，则20191ln ln ln S a a a =+++，

51201011220ln 20ln 20ln 100S a a a a e ∴====，50S ∴=．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为

2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标

系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,1)

【解析】1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =，2C 的直角坐标系方程为：1y =，1C ∴与2C 的

交点的直角坐标为(1,1)．

（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，

点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点，则CDF AEF ∆=∆的面积

的面积

．