[复变函数与积分变换][课件][第5章][留数]

第五章 留 数本章在介绍孤立奇点的基础上，介绍留数和留数定理．留数有广泛的应用．在Laplace 变换中会用到留数．§1．孤 立 奇 点 孤立奇点：若)(z f 在0z 不解析，但在0z 的某个去心邻域) ,ˆ(0r zU 内解析，则称0z 为)(z f 的孤立奇点． 例：(1) 00=z 是 )1(1-z z 及ze1的孤立奇点．(2)z z f ln )(= 的奇点是原点和负实轴，都是非孤立奇点．将)(z f 在 ) ,ˆ(0r zU 内展开成Laurent 级数：r zz z z c nn <-<-∑+∞∞-=0n0 ,)(．(*) 根据不同情形可作如下分类．1．可去奇点若级数(*)中不含)(0z z -的负幂项，即+-++-+-+=n n z z c z z c z z c c z f )()()()(0202010，r z z <-<00． 称0z 是)(z f 的可去奇点．记和函数 r z z z z c z F nn <--=∑+∞=∆00n 0,)()(，解析． 当 r z z <-<00 时，)()(z F z f =． 令000)()(c z F z f ==， 则 )(z f 在 ) ,(0r z U 内解析， 且有 ∑+∞=-=0n 0)( )(nn z z c z f ，00 )()(lim )(lim 0c z F z F z f z z z z ===→→ （有限数）．例：21cos )(zz z f -= 在 +∞<<z 0 内的Laurent 级数为 +-++-+-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+∞=-+∞=∑∑)1(2421 )1(20 22)!2()1(!6!4!21)!2()1(1)!2()1(1)(n n n n n n n n z n z z n z n z z z f ，不含负幂项，故 00=z 是)(z f 的可去奇点． 若令 21)(00-==c z f ，则)(z f 是全纯函数．2．极点 若 +-+-++-++-=-=----+∞-=∑2020101010 0n )()()()()(c )(z z c z z c c z z c z z c z z z f m m mn n ， r z z <-<00， 0c ,1m ≠≥-m ． 则称0z 是)(z f 的m 级极点．记 +-++-+=+-+--∆nn m m m z z c z z c c z g )()( )(001， 则)(z g 在 r z z <-0 内解析，0)(0≠=-mc z g ，且 mz z z g z f )()()(0-=．反之，若)(z f 能表示成上式，则0z 是)(z f 的m 级极点．而∞=→)(lim 0z f z z ．例：有理分式函数3)2)(1(3)(---=z z z z f ， 奇点：2 ,121==z z ．13)1()2()3()(---=z z z z f ， 11=z 是)(z f 的一级极点； 3)2()1()3()(---=z z z z f ，22=z 是)(z f 的三级极点．3．本性奇点若级数(*)中含有无穷多项)(0z z -的负幂项，称0z 是)(z f 的本性奇点． 例：ze1) 0 ( ,n!z 2!z 1!z 1n!z n210 n ≠+++++==---+∞=-∑z n ， 00=z 是z e 1 的本性奇点．例1．判断函数32)(sin )(i z z zz f -= 的奇点及其类型．解：奇点：i z z ==21,0．13 )(1 sin )(zi z z z z f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=， 01=z 是一级极点； )( sin )(3i z z z z f -=， i z =2 是三级极点． 4．函数的零点与极点的关系 零点：设)(z f 在0z 处解析，0)(≠z f ，则有Taylor 级数展开式])()([)()()()()(2020102021010 +-+-+-=+-+-+-=++++++z z c z z c c z z z z c z z c z z c z f m m m m m m m m m m r z m <-≠-=∆0m 0z z ,0c ),()z (z ϕ， 其中 +-+-+=++20201)()()(z z c z z c c z m m m ϕ 在0z 处解析，0)(0≠=mc z ϕ． 则称0z 为)(z f 的m 级零点．这等价于：0)()()(0)1(00==='=-z fz f z f m ，且 0)(0)(≠z f m ．例：(1) 0z ,)1()(112=+=z z z f 是二级零点，12-=z 是一级零点．(2)1z ,1)(4=-=z z f 是零点，0)1(=f ．044)1(13≠=='=z z f ， 故1=z 是一级零点．定理．若0z 是)(z f 的m 级极点，则0z 是)(1z f 的m 级零点．反之亦然．证：设0z 是)(z f 的m 级极点， 则mz z z g z f )()()(0-=， )(z g 在0z 处解析， 且0)(0≠z g ． 这样， )()( )(1)()(100z z z z g z z z f m mϕ-=-=∆，)(z ϕ在0z 处解析，且 0)(1)(00≠=z g z ϕ． 故0z 是)(1z f 的m 级零点． 反之，设0z是)(1z f 的m 级零点， 则 )()( )(10z z z z f mϕ-=，)(z ϕ在0z 处解析，0)(0≠z ϕ． 则 )()(1 )(1)(1)(00z h z z z z z z f mm ⋅-=⋅-=∆ϕ，)(z h 在0z 处解析， 且0)(1)(00≠=z z h ϕ． 故0z 是)(z f 的m级极点．本定理为判别极点提供了一种简便方法（利用倒数的导数）． 例1．试求 zz f cos 11)(-=的孤立奇点．解：求 z z f z cos 1)(1)(-==ϕ 的零点． 012)( 0)(211cos 1 2 =+-⇒=+-=--z i z i z i zi e e e e z ．ππk e e i k z i 2z ,1k 2 ===，) (Z k ∈．01cos )( ,0sin )( ,0)( ≠==''=='===kkz z k z z k k z z z z z ϕϕϕ， 故πk z k 2=，) (Z k ∈是)(z ϕ 的二级零点，是)(z f 的二级极点．§2．留 数 ( Residue )1．留数及留数定理 留数：设)(z f 在) ,ˆ(0R z U 内解析，C 为) ,ˆ(0R zU 内包围0z 的一条简单闭曲线()(z f 的Laurent 级数为：∑+∞∞-=-=)()(n nn z z c z f ， ) ,ˆ(0R z U z ∈． 积分得：1 0 2)()(-+∞∞-==-=∑⎰⎰ic dz z z c dz z f n Cn n Cπ，称]z Res[f (z), )( 2101∆-==⎰c dz z f i Cπf (z)Res0 zz == 为 )(z f 在0z 的留数（Residue ）． 留数定理：设)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z , , ,21 外解析， C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 ∑⎰==nk Cz f s dz z f 1k ]z ),([Re i 2)(π． 证：在C 内作k C 包围k z ，)n , 2, ,1 ( =k ．n C C C , , ,21 互不相交、 互不包含．由复合闭路定理，有 ∑∑⎰⎰====nk nk C Cz f s dz z f dz z f k1k 1]z ),([Re i 2)()(π．此定理将积分的计算转化为留数的计算．2．留数的计算(A) 若0z 是)(z f 的解析点或可去奇点，则0]z ),([Re 10==-c z f s ．(B) 若0z 是)(z f 的本性奇点，则将)(z f 展开成Laurent 级数， 按定义计算 10]z ),([Re -=c z f s ．(C) 若0z 是)(z f 的极点，则有如下规则可循．规则I ．若0z 是)(z f 的一级极点，则)]()[(lim ]z ),([Re 0 00z f z z z f s z z -=→．规则II ．若0z 是)(z f 的m 级极点，则)]()[( lim )!1(1]z ),([Re 01 1 00z f z z dzd m z f s mm m z z --=--→． (四) (三) (二) (一)证：r z z z z c z z c c z z c z z c z f m m <-<+-+-++-++-=----020********* ,)()()()()( ，两边乘以mz z )(0- 得： +-+-++-+=---+--m m m m mz z c z z c z z c c z f z z )()()()()(00101010，1201001z z 01m 1m z z )!1()()!1(21)(! )!1( lim )]()[(lim 00--→--→-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=-⇒c m z z c m z z c m c m z f z z dz d m]z ),([Re )!1(0z f s m -=． 取 1=m ，便得规则I ．规则III ．设)()()(z Q z P z f =，)(z P 与)(z Q 在0z 处解析，0)(0≠z P ，0)(0=z Q ，0)(0≠'z Q ，则0z 是)(z f 的一级极点，且 )()(]z ),([Re 000z Q z P z f s '=．证：记 )()()(1)(z P z Q z f z g ==∆， 则 0)()()(000==z P z Q z g ， 且 020)()()()()()(z z z P z Q z P z P z Q z g ='-'='0)()()(0200≠'=z P z P z Q ， 故 0z 是)(z g 的一级零点，是)(z f 的一级极点． 由规则I ，)()( z z )Q(z Q(z)P(z) lim )]()[(lim ]z ),([Re 00000 000z Q z P z f z z z f s z z z z '=--=-=→→． 例1．求 2z :C ,1 2=-⎰dz z e z C z， 取正向． 解：)1)(1( f(z)+-=z z e z z有两个一级极点：1 ,121-==z z ， 均在C 内．故} ]1 ),([Re ]1 ),([Re { i 2)(-+=⎰z f s z f s dz z f Cπ． 由规则I ，2 1 lim 1 )1( lim ]1 ),([Re 1 21 e z e z z e z z z f s z z z z =+=--=→→， 21 lim 1 )1( lim ]1 ),([Re 11 21 --→-→=-=-+=-e z e z z e z z z f s z z z z ． 1 22 21 12ch i e e i dz z e z C z ⋅=+=--⎰ππ．或由规则III ，22 ]1 ),([Re 1 e ze z zf s z z===　， 22 ]1 ),([Re 11--===-e z e z z f s z z ．例2．求 2z :C ,)3)(1(=--⎰dz z z zC，取正向． 解：)3)(1(f(z)--=Z z z在C 内有一个一级极点：11=z ．由规则I ，i z z zz i z f s i dz Z z z z C)3)(1()1(lim 2]1 ),([Re 2)3)(1(1 πππ-=---==--→⎰． 例3．计算 5z :C ,)1(32=-⎰dz z z C ，取正向． 解：32)1(f(z)-=z z ，11=z 是三级极点． 由规则II ， 有i 22 lim )1()1(d lim )!13(1 2]1 ),([Re 2)(1323221 ππππ=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅==→→⎰z z Ci z z z dzi z f s i dz z f ． 例4．求 10z :C , 1=⎰Cz dz e z ，取正向． 解：zez 1) 0(z ,!1!31!211zn!1 120 n ≠++++++==-+∞=∑n n z n z z z z ． 0=z 为ze z 1 的本性奇点， 且 i e z s i dz e z z C z2!1i 2c i 2]0 , [Re 2 111ππππ=⋅=⋅==-⎰． 注：在规则II 中，若)(z f 的极点0z 的级数m k ≤时，公式也成立：)]()[( lim )!1(1]z ),([Re 01 100z f z z dzd m z f s m m m z z --=--→， )(k m ≥．例：取100m ,sin )(100=-=zzz z f ，有 ! 991cosz lim ! 991sin lim )!1100(1]0 ),([Re 0 10010099 99 0 ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=→→z z z z z z dz d z f s ． 事实上，0=z只是)(z f 的97=k 级极点．如取97==k m ，则sin lim ! 961sin lim )!197(1]0 ),([Re )96(30 1009796 960 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=→→z z z z z z z dz d z f s z z ， 难！！！。