西南交大《复变函数与积分变换B》(A卷)(结)
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部习题答案23页word文档
第 1 页复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+= ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩¢．∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+== ②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=④解：1i 1i 22++==4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=． ③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：⑵-1的三次根 解：的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z-+++=L证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=L11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图. 解：(1)、argz =π．表示负实轴． (2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
西南交大复变函数与积分变换复习提纲
西南交大复变函数与积分变换复习提纲一． 复变函数1. 复数（1）复数的运算例 ()()()()11031(1)1324,(2),(3)1,(4)11i i i i i i-+++++. （2）区域、单连通、多连通区域的判断2. 解析函数（1）解析函数的概念：函数在区域内解析、函数在某一点解析、奇点。
（2）函数解析的判断：Cauchy-Riemann 条件、导数公式。
例 判断函数2(z)f x y ixy =+ 在何处可导？何处解析？例 找出函数的奇点 2sin (1)(z 1)e zz + ，(2)sin z e z π. （3）初等函数例 计算下列表达式的值()99312(1)e ,(2)ln 1i)i i π+++ . 3.级数（1）级数敛、散性的判断例 判断下列级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。
()()3211111222(1),(2),(3),,!n nn n n n n n i i in i n n n n ∞∞∞∞====+++∑∑∑∑（2）幂级数的收敛：Abel 定理、收敛半径例 计算幂级数的收敛半径()()()110(1)(1)1,(2),(3)312121!nn n n n n n i z z n z n n +∞+∞+∞===-++++∑∑∑. （3）函数的幂级数展开：Taylor 级数、Laurent 级数例 将函数在指定点展开成幂级数12321,0,1,1(z 1)z z z z ==-=+. 例 将函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数21(z),(1)12,(2)013,(3)2 3.(z 1)(z 2)f z z z =<<<+<->+- 4.复变函数的积分（1）基本积分公式:[](),()()()z z t t C f z dz f z t z t dt αββα=≤≤'=⎰⎰.例 计算复积分的值,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.（2）Cauchy 积分定理（单连通、多连通）、积分与路径无关、Cauchy 积分公式、高阶导数公式例 复积分299cos 12sin(z 1)(z 1)e zz dz =++⎰的值等于？ 例 计算复积分的值2,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.例 计算复积分()24cos (z )z z dz z i π=++⎰的值.（3）留数：孤立奇点的类型、极点的级数、孤立奇点处留数的计算（重点：m 级极点处留数的计算）、留数定理、利用留数计算复积分和定积分.例 判断下列函数的孤立奇点的类型，如果是极点请指明极点的级数.12100sin 1(1),(2),(3)e (1)z z z z e z z z+-+ 例 计算下列复积分的值 223211(1),(2)tan ,(3)sin z (z 1)1z z z z e z dz zdz dz z z π===-+-⎰⎰⎰ 例 计算下列定积分的值2240011(1),(2)2sin 1x dx dx x x π+∞+++⎰⎰ 二． 积分变换1.Fourier 变换（1）Fourier 的定义、Fourier 变换的计算、函数的Fourier 积分表达式、δ函数的筛选性.例 (),kt f t e k -+=∈R 计算函数的Fourier 变换[]()f t F. 例 2(t 2)e ?t dt δ+∞--∞-=⎰（2）Fourier 变换的性质：线性性质、平移性质、伸缩性质、对称性质、微分性质、积分性质及Paeseval 等式.例 计算Fourier 变换：12[]t te+-F . 例 计算积分2212dt t +∞-∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰ 的值. （3）卷积（Fourier 变换意义下）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理例 设20,0,sin ,0,(t),(t),00, t t t t f g e t π-<≤≤⎧⎧==⎨⎨≥⎩⎩其它.计算卷积(t)g(t)f *.place 变换（1） Laplace 变换的定义、计算.例 设3,02,(t)1,24,0, 4.t f t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩计算Laplace 变换[()]f t L .（2） Laplace 变换的性质：线性性质、微分性质、积分性质及位移性质. 例 计算Laplace 变换202[]tx xcos x dx e ⎰L ,22002[t ],[2]t t t x cos x dx e xcos xdx e⎰⎰L L . （3） 利用Laplace 变换计算定积分.例 计算定积分的值20sin (1)cos ,(2)x xx x xe dx dx xe +∞-⎰⎰. （4） 卷积（Laplace 变换意义）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理. 例 计算如下卷积(1)t cos2t,(2)sint cost,(3)e cos t t ***.。
西安交通大学2009至2010学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题A
西安交通大学2009至2010学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题 A
西安交通大学考期末试题
成绩课程复变函数与积分变换A卷
学院
专业班号考试日期2010 年 1 月16 日
姓名学号
题号一二三四五六七八九
得分
一、填空题（每题4分，共20分）
1、；______________________。
2、函数在处可导，在处解析。
3、函数的有限奇点及类型________________________________。
4、构成映射的保角区域为________________；
在处的转动角为____________，在该点的伸缩率为__________。
5、设，则傅立叶变换F。
二、单项选择题（每题4分，共20分）
1、函数在点解析是在点展成幂级数的
A．充分条件；B．必要条件；C．充要条件；D．以上不正确。
2、是圆周的正向，则的值为
A．2i；B．i；C．i；D．0。
3、设F，则的傅氏逆变换为
A．；B．；。
西南交大2017-2018复变函数与积分变换B期末考试A卷
复变函数与积分变换B(6022900)期末考试A 卷2017-2018学年第1学期一、填空题 (4分每题，共16分)1.2i +的三角表示式为.2.2018i)=.3.积分z 2z 1e d 22zz z =++∫ 的值为 .4.幂级数sin(i )(1)nn n z ∞=+∑的收敛半径R 为.二、计算题 (4分每题，共16分)1.2.sin[(1i)π]−3.1i(1i)+− 4.2z 2sin(π)d (1)z z z z =+∫ 三、解答题 (共38分)1.设22()i f z xy x y =+，试讨论()f z 在何处可导，何处解析. (7分)2.设C 为从原点到1i −的直线段，计算积分2(+i )d CIx y xy z +∫. (7分)3.已知22(,)u x y x xy y =+−，验证(,)u x y 是调和函数；并求解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+，使(i)1i f =−+. (7分)4.设221sin1()(1)(e 1)z z z f z z −=+−，试判断()f z 在有限复平面上所有孤立奇点的类型，若是极点需判断极点的阶数. (7分)5.将2(1)1z z −展开成洛朗级数：(1)当01z <<. (5分)(2)当0-11z <<. (5分)四.解答题 (共30分)1.计算积分2z 2e d (1)zz z z =−∫ . (6分) 2.利用留数定理求解定积分(1)2sin d 1x xxx −∞+∫(5分)(2) 2π1d cos 6xx +∫(5分)3.设函数()f z 在1z ≤上解析且()1f z ≤，试证(0)1f ′≤. (7分)4.求函数1()[()()()()]222a af t δt a δt a δt δt =++−+++−的傅里叶变换. (7分)参 考 解 析一、填空题 (4分每题，共16分)1.2i +的三角表示式为55 4cosπisin π 66 +. �解 ()Re 0z <，()Im 20z =>，5arg arctan ππ6z =+，()cos isin z z +θθ5555cos πisin π4cos πisin π6666 +=+.2.)2018i−. �解)()()20182018ππi i 20182018631i2e 2e 22−− ===− .3.积分z 21e d 22z zz z =++∫ 的值为 0 . �解 ()z z 2211e d e d 2211z z z z z z z ===++++∫∫ 极点1i z =−+在1z =外，所以z 21e d 022z zz z ==++∫ .4.幂级数()()0sin i 1nn n z ∞=+∑的收敛半径R 为1e −.�解 ()()1sin i e e 2i n n n −=−，()()11sin i 1e e lim lim e sin i e e n n n n n n n n ρ−−+−→∞→∞+ − ===−，11e R ρ−==二、计算题 (4分每题，共16分)1.2.()sin 1i π−3.()1i1i +− 4.()()2z 2sin πd 1z zz z =+∫ �解1. 1πππ4i i 4216ππππcos isin 216216k k k−−==−+−，0,1,2,3k =；2.()()()()()sin 1i πsin πi πsin πcos i πcos πsin i πsin i πish π−=−=−== ；3.()()()()1ππ1i ln 2i 2π2π1i1i Ln 1i 244ln 2πln 2π1i eecos isin 2424k k+⋅+−+ −++−−===−+−，k ∈Z ； 4.0z =为可去奇点，1z =−为一级极点，()()22sin πd 1z z zz z =+∫ ()2πi Res ,1f z −()12πi lim 1z z →−+()()2sin π1z z z +22πi =.三、解答题 (共38分)1.设22()i f z xy x y =+，试讨论()f z 在何处可导，何处解析. (7分)�解 22,,2,2x y y x u y v x u xy v xy ====，由C-R 方程y x v u =，x y v u −=得：2222x y xy xy ==−，所以在()0,0可导，处处不解析.2. 设C 为从原点到1i −的直线段，计算积分()2i d CI x y xy z =++∫. (7分)�解 沿y x =−，i z t t =−，()d 1i d z t =−，()()()112331ii d i 1i d 1i d 4C x y xyz t t t t +++=−=+=∫∫∫. 3.已知22(,)u x y x xy y =+−，验证(,)u x y 是调和函数；并求解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+，使()i 1i f =−+. (7分)�解 2,2,2,2x xx y yy u x y u u x y u =+==−=−，所以0xx yy u u +=，即(,)u x y 是调和函数. 由C-R 方程：2,2y x x y v u x y v u y x ==+=−=−，得()()d y x xxu v u y g x =−=−+∫，所以()()2d x x y y g x′−+− ∫2x y =−，解得()g x x ′=−，()()221d 22x v u y g x xy y x C =+=+−+∫，代入()i 1i f =−+，得12C =，即()22221()i 212f z x xy y xy y x=+−++−+ .4.设221sin1()(1)(e 1)z z z f z z −=+−，试判断()f z 在有限复平面上所有孤立奇点的类型，若是极点需判断极点的阶数. (7分)�解 0z =是分母的一级零点，也是分子的一级零点，故为()f z 的可去奇点；2πi, , 0z k k k =∈≠Z 为分母的一级零点，故为()f z 的一级极点；i z =±是分母的二级零点，故为()f z 的二级极点；1z =不是孤立奇点. 5.将2(1)1z z −展开成洛朗级数：(1)当01z <<. (5分)(2)当011z <−<. (5分)�解 (1)()()()222001121111111n n n n n n z n z n z z z z z z z ∞∞∞===− =⋅=⋅=⋅+=+ − − ∑∑∑；(2)()()()()()()()()222021111111111111n nn nn n z z z z z z z ∞∞==−==−−=−−+−−−−∑∑.四.解答题 (共30分)1.计算积分2z 2e d (1)zz z z =−∫ . (6分) �解()()(){}()22e d 2πi Res ,0Res ,12πi 102πi 1zz z f z f z z z ==+=+=−∫ . 2.利用留数定理求解定积分(1)2sin d 1x xxx −∞+∫(5分) (2)2π1d cos 6xx +∫(5分)�解 (1) (){}i 21e 111πIm d Im 2πi Res ,i Im 2πi 21222e 2ex x I x f x x +∞−∞ ===⋅= + ∫. (2)()2π1201111d 21d d 4πRes 6cos 6i i 12162z z z x z f z z z x z z z −== =⋅==− +++++∫∫∫ 3.设函数()f z 在1z ≤上解析且 ()1f z ≤，试证 (0)1f ′≤. (7分)�解 ()()()2111111(0)d d 1d i 2πi 2πi 2πi 0z z z f z f z f z z z z ===′==≤=−−∫∫∫，所以(0)1f ′≤. 4.求函数1()[()()()()]222a af t δt a δt a δt δt =++−+++−的傅里叶变换. (7分) �解 ()i i i i 221e e e e cos cos 22a aa a a f t a −− =+++=+ωωωωωω .。
第一学期《复变函数与积分变换B》(A卷)(结)
西南交通大学2012－2013 学年第(1)学期考试试卷课程代码 2100488_课程名称 复变函数与积分变换B 考试时间 120分钟阅卷教师签字__朱星亮____符伟____张静________________________ 注意: 1. 请将选择题与填空题的答案写在指定位置； 2. 计算题需要写出必要的步骤。
一、选择题(每题3分,共30分) 1. 复数 cos4sin4i + 的辐角主值为【 】 （A ）4 （B ）42π- （C ）24π- （D ）4π- 2.下列说法错误的是【 】 （A ）设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，000z x iy =+，则()f z 在0z 处连续的充要条件是(,)u x y ，(,)v x y 均在点00(,)x y 处连续； （B ）等式 1212ln()ln ln z z z z =+ 不一定成立； （C ）复变函数 z e 是以 2π 为周期的周期函数； （D ）sin z 在整个复平面内不是有界函数。
3. (1)i i + 的主值为【 】 （A ）1ln224i e π- （B ）1ln224i e π+ （C ）ln 242i e π+ （D ）ln242i e π-+ 4.()sin 15201012ln(5)z z e dz z i z ==++⎰Ñ【 】 （A ）0 （B ）i π- （C ）i π （D ）2i π班级学 号姓 名 密封装订线密封装订线密封装订线5. 级数1(1)11n n n a i n n ∞=⎡⎤-⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑（其中a 为实常数）【 】 （A ）发散 （B ）收敛性与a 的取值有关 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛6.0z =是函数21cos z z z-的【 】 （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 7. 1011Re ,0z e s z ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦【 】（A ）0 （B ）199! （C ）1100! （D ）1101!8. 函数2,1()0,1t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的傅里叶变换等于【 】（A ）2cos ωω （B ）2sin ωω （C ）4cos ωω （D ）4sin ωω9. 若函数()f t 的拉普拉斯变换[]()()L f t F s =存在，则下列等式中正确的是【 】 （A ）[]112()()2L F s f t -= （B ）[]1()()L sF s tf t -= （C ）01()()t L f t dt F s s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ （D ）[]()sin()()L f t at F s a =-（其中a 为常数） 10.函数11,0()0,0t f t t >⎧=⎨<⎩与21,10()0,10t f t t t -<<⎧=⎨≤-≥⎩或在傅里叶变换意义下的卷积12()*()f t f t 等于【 】（A ）0 （B ）0,0,0t t t ≤⎧⎨>⎩ （C ）0,11,1t t t ≤-⎧⎨+>-⎩ （D ）0,11,101,0t t t t ≤-⎧⎪+-<≤⎨⎪>⎩二、填空题(每题3分,共15分)11．函数2()()(2)f z x y i x y =-++在其可导点处的导数值等于 ； 12．设函数()2223()f z d z ζζζζ=+=-⎰Ñ（其中圆周2ζ=取逆时针方向），则(0)f '= ； 13．函数cos ()sin z e z f z z=在 01z i =+ 处的泰勒展开式的收敛半径R = ___ ____；14．函数()sin(2)f t t t =的拉普拉斯变换为 ；15．在拉普拉斯变换意义下，卷积 1*cos t = .三、解答题（共6个题，共55分，要求：写出必要的解题步骤）16.计算复积分：Re()C I z z dz =⎰，其中C 为由原点 O 到 12i - 的直线段。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
y ( x) 5 y ( x) 4 y( x) e x y(0) y (0) 1
六、（本题 8 分）求 f (t) e t (
0) 的傅立叶变换，并由此证明：
f (t) 1 2
ei t F ( )d (
0) - -------5 分
1 2
ei t
2
2
2d
(
0)
1 2 2 (cos t i sin t )d ( 0)
2
cos t
i
0
2
2d
sin t 2 2d ( 0)
2
cos t
f (t)
0
2
2d (
0) ， -------6
分
共 6 页第 6 页
cos t
则 f (z)dz 0 C
（ C）如果 f (z)dz 0 ，则函数 f ( z) 在 C 所围成的区域内一定解析； C
（ D）函数 f ( z) u( x, y) iv ( x, y) 在区域内解析的充分必要条件是
u( x, y) 、 v( x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D ）．
（C） f ( z) u x iv y ； （D） f ( z) u y iv x .
2．C是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
（A） 3 ； z2
（B） 3(z z
1) ； 2
（ C）
3( z (z
1) 2) 2
；
（ D） (z
3 2)2
.
3．如果级数 cn zn 在 z 2 点收敛，则级数在（ C ）
(整理)《复变函数与积分变换电信B》试卷答案.
中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业： ，教师： 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂， （2）………………（2分） 将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分） 所以是函数的本性奇点。
………… （8分）《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分） 六、 计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。
北京交通大学《复变函数与积分变换B》试卷A及其答案
2006-2007 学年第一学期《复变函数 B》期末考试卷(A)答案
一、填空题(本题满分 20 分，每空 1 分)
1．复数 z =
2i ，则 Re( z ) = i −1
1 5− i 2
1
， Im z = -1
,z =
2 ， arg z = −
π
4
；
2．
8 + 6i = 10 ， arg(2e
2分
4分
六、应用题（本题满分 10 分）
30．求把单位圆映成单位圆的分式线性映射，并满足 f ( ) = 0, arg f ′( ) =
π
2
．
1 iφ 2 解： w = e 1 1− z 2
z−
2分
由已知条件，可有 w = i
2z −1 。 2− z
4分
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15．（ 16．（
× ）若 f ( z ) 在 z0 点可导，则 f ( z ) 在 z0 点解析； × ） cos z ≤ 1 （ z 为任意复数） ；
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17．（ 18．（ 19．（ 20．（ 21．（ 22．（
× ）∫
C
1 dz = 2πi （ C 为平面内任一条闭曲线） ； z−a
Hale Waihona Puke )=−1 ； 22006 级极点； 角 性， 保 ； 圆 性， 保 对称点 性；
3． z = 0 是函数 f ( z ) =
ez −1 的 z 2007
4．分式线性映射在扩充复平面是 1-1 对应的， 且具有 5．设 z = 0 是 z (e
2 z2
− 1) 的 m 级零点，则 m =
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()sin 15201012zz e zi =+⎰A ）0 （B ）班 级 学 号 姓 名5. 级数1(1)11nn n a i n n ∞=⎡⎤-⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑（其中a 为实常数）【 A 】 （A ）发散 （B ）收敛性与a 的取值有关 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛6.0z =是函数21cos z z z-的【 B 】（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点7. 1011Re ,0z e s z ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦【 C 】直接展开成洛朗级数找出对应的负一次项（A ）0 （B ）199! （C ）1100! （D ）1101!8. 函数2,1()0,1t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的傅里叶变换等于【 D 】（A ）2cos ωω（B ）2sin ωω（C ）4cos ωω（D ）4sin ωω9. 若函数()f t 的拉普拉斯变换[]()()L f t F s =存在，则下列等式中正确的是【 C 】 （A ）[]112()()2L F s f t -=（B ）[]1()()L sF s tf t -= （C ）01()()t L f t dt F s s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ （D ）[]()sin()()L f t at F s a =-（其中a 为常数）10.函数11,0()0,0t f t t >⎧=⎨<⎩与21,10()0,10t f t t t -<<⎧=⎨≤-≥⎩或在傅里叶变换意义下的卷积12()*()f t f t 等于【 D 】（A ）0 （B ）0,0,0t t t ≤⎧⎨>⎩ （C ）0,11,1t t t ≤-⎧⎨+>-⎩ （D ）0,11,101,0t t t t ≤-⎧⎪+-<≤⎨⎪>⎩二、填空题(每题3分,共15分)11．函数2()()(2)f z x y i x y =-++在其可导点处的导数值等于 2i + ；12．设函数()2223()f z d z ζζζζ=+=-⎰（其中圆周2ζ=取逆时针方向），则(0)f '= 4i π ；13．函数cos ()sin z e zf z z=在 01z i =+ 处的泰勒展开式的收敛半径R = ___ ____；14．函数()sin(2)f t t t =的拉普拉斯变换为 224(4)ss + ； 15．在拉普拉斯变换意义下，卷积 1*cos t sin t .三、解答题（共6个题，共55分，要求：写出必要的解题步骤）16.计算复积分：Re()CI z z dz =⎰，其中C 为由原点 O 到 12i - 的直线段。
（7分）解：由条件，得曲线C 的参数方程为:,:012x tC t y t=⎧→⎨=-⎩……（2分），则2(12)z t ti i t =-=-，从而11220Re()(12)(12)(12)CI z z dz i t td i t i t dt ==--=-⎰⎰⎰……（4分）12230(12)(12)41333i i ti --===--……（6分）解：由拉普拉斯变换的定义，得[]()30()()2sttt st L f t f t e dt ee e dt +∞+∞---==+⎰⎰……（2分）(3)(1)(3)(1)02231s t s t s ts te e e e dt s s +∞-+--+∞-+--⎡⎤=+=--⎣⎦+-⎰……（5分）(3)(1)21212lim 313131s t s t s e e s s s s s s -+--→+∞⎡⎤⎡⎤=-+++=+⎢⎥⎢⎥+-+-+-⎣⎦⎣⎦（Re(3)0s +>且Re(1)0s ->） ……（7分）故[]312()231t tL f t L e e s s -⎡⎤=+=+⎣⎦+-（Re()1s >） ……（8分）（1）1z <<+∞； （2）011z <-<。
解：（1）因为1z <<+∞，所以11z<，从而 23111()1(1)1f z z z z z==---……（2分）3300111nn n n z z z∞∞+==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑……（5分）（2）因为011z <-<，所以2211111()(1)11f z z z z z z z '⎛⎫==-= ⎪---⎝⎭……（2分） 1011111(1)(1)(1)(1)11(1)11n n n n n n z n z z z z z ∞∞-==''⎡⎤⎡⎤==--=--⎢⎥⎢⎥-+---⎣⎦⎣⎦∑∑……（4分） 21(1)(1)n n n n z ∞-==--∑ ……（5分）或 22211111()(1)111(1)f z z z z z z z ⎡⎤⎛⎫==-=- ⎪⎢⎥---+-⎝⎭⎣⎦22011(1)(1)(1)(1)1n n n n n n z n z z ∞∞-==⎡⎤=---=--⎢⎥-⎣⎦∑∑解：因为函数22(25)xx x -+分母含x 的最高次比分子含x 的最高次高3次，并且作为复变量z 的函数，22(25)zz z -+的孤立奇点为12i ± ……（4分） 即22(25)zz z -+在实轴上没有孤立奇点，从而 22222Re ,12(25)(25)x zdx i s i x x z z π+∞-∞⎡⎤=+⎢⎥-+-+⎣⎦⎰……（6分）222212122lim (12)2lim (25)(12)z i z i z zi z i i z z z i ππ→+→+''⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦……（8分） 3312(12)242(12)2lim2(12)(4)16z i z i z i i i i z i i πππ→+-+--+===-+……（10分）计算积分3(1)zz r e dz z z =-⎰解：函数3(1)ze z z -有两个孤立奇点0,1。
由01r <≠，有 （1） 当01r << 时，有333(1)22(1)(1)zzz z r z r z e e e z dz dz ii z z z z ππ===-===--⎰⎰……（5分）（2） 当1r >时，由留数定理，得3(1)z z r e dz z z =-⎰2分） 3330112lim lim (1)(1)2!(1)z zz z e e i z z z z z z π→→⎧⎫''⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭ 332011112212lim lim 21lim (1)22z zz z z z e ei i e z zz z z ππ→→→⎡⎤''⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦……（4分）121(2)2i e e i ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭……（5分）解：记[]()()L y t Y s =，对原方程两边同时取拉普拉斯变换，得[]21()(0)(0)()(0)2()2s Y s sy y sY s y Y s s '⎡⎤-----=⎣⎦-……（4分）将初值条件(0)(0)0y y '==代入上式，得21()()2()2s Y s sY s Y s s --=- 解得 2211()(2)(2)(2)(1)Y s s s s s s ==----+……（6分）则[]1()()y t L Y s -=方法一：因为 22211(1)(2)111()(2)(1)3(2)(1)3(2)(2)(1)s s Y s s s s s s s s ⎡⎤+--===-⎢⎥-+-+--+⎣⎦2211111111113(2)3(2)(1)3(2)9291s s s s s s =-=-+--+--+所以[]11112111111()()3(2)9291y t L Y s L L L s s s ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2222111111()399399st t t t t ts e e e te e e --='=-+=-+ 即22111()399t t ty t te e e -=-+。
……（10分）方法二：因为21()(2)(1)Y s s s =-+有一个二级极点2和一个一级极点1-，所以[]122()()Re ,2Re ,1(2)(1)(2)(1)st ste e y t L Y s s s s s s s -⎡⎤⎡⎤==+-⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦22221lim (2)lim (1)(2)(1)(2)(1)st st s s e e s s s s s s →→-'⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦22222212(1)131111lim lim lim 1(2)(1)999399st st t t st t t t t s s s e e t s e t e e e te e e s s s ---→→-→'⎡⎤+--=+=+=+=-+⎢⎥+-+⎣⎦即22111()399t t ty t te e e -=-+ ……（10分）。