1.3二次函数与幂函数
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
人教版高二数学知识点目录
人教版高二数学知识点目录高二数学知识点目录1. 函数与方程1.1 直线与线性函数1.2 二次函数1.3 幂函数与指数函数1.4 对数函数1.5 三角函数1.6 组合函数与反函数1.7 多项式函数1.8 有理函数与分式函数1.9 一次、二次函数综合应用2. 三角函数与解三角形2.1 三角函数的概念2.2 三角函数的性质2.3 同角三角函数的相互关系 2.4 解直角三角形2.5 平面坐标系与向量2.6 弧度制与三角函数2.7 三角函数图像的性质与变换 2.8 倍角公式与半角公式2.9 三角方程与不等式3. 解析几何3.1 平面直角坐标系3.2 直线的方程与位置关系3.3 圆的方程与位置关系3.4 直线与圆的位置关系3.5 抛物线与椭圆3.6 双曲线与三角形3.7 空间坐标系与方程3.8 空间平面与直线3.9 空间直线与平面的位置关系4. 一元函数微积分初步4.1 函数的极限与连续性4.2 导数与导数应用4.3 不定积分与定积分4.4 微分方程与微分中值定理 4.5 反函数与参数方程4.6 曲线与曲面积分4.7 微分方程应用4.8 一元函数微积分综合应用5. 统计与概率5.1 数据的整理与分析5.2 概率的基本概念5.3 随机事件与概率5.4 条件概率与独立性5.5 随机变量与概率分布5.6 高中数学统计与概率综合应用以上是人教版高二数学的知识点目录，涵盖了各个单元的重要内容。
每个小节都是基于该知识点的教材内容进行总结，旨在帮助学生更好地掌握和理解高二数学知识。
请根据具体需要自行参考相应知识点，深入学习和复习，以提高数学水平。
幂函数的变化规律与应用
幂函数的变化规律与应用幂函数是高中数学中重要的一种函数类型，具有广泛的应用。
本文将探讨幂函数的变化规律以及在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义与基本性质幂函数的定义为：f(x) = x^a，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的变化规律与常数a的正负相关，下面分别进行讨论。
1.1 正整数幂函数（a>0）当a为正整数时，幂函数可以表示为多项式的形式，曲线呈现出特定的变化规律。
例如，对于幂函数f(x) = x^2，随着x的增大，f(x)的值也增大，但增速逐渐减小。
当x为负数时，幂函数的值同样为正。
同样地，对于其他正整数幂函数，其变化规律与二次函数类似，只是曲线的开口方向、附过的顶点位置等会有所不同。
1.2 负整数幂函数（a<0）当a为负整数时，幂函数的变化规律与正整数幂函数相似，但曲线的性质有所不同。
例如，对于幂函数f(x) = x^(-1)，随着x的增大，f(x)的值逐渐减小。
当x为负数时，幂函数的值同样为负。
1.3 非整数幂函数（a为有理数但不为整数）当a为有理数但不为整数时，幂函数的变化规律稍显复杂。
通常情况下，我们需要借助计算工具来获得特定取值下幂函数的函数值。
二、幂函数的应用幂函数在现实生活中有广泛的应用，可以观察到幂函数与许多量的关系。
2.1 金融领域中的复利计算复利计算是金融领域中极为重要的一种应用，其中幂函数的变化规律被广泛运用。
通过复利的计算公式：A = P(1+r/n)^(nt)，其中A为最终金额，P为本金，r为年利率，n为每年计算的次数，t为贷款（投资）的年限。
可以看出，幂函数在复利计算中起到了关键的作用。
2.2 物理学中的力与功的计算在物理学中，幂函数被广泛应用于力与功的计算当中。
根据功的定义，F为力，s为力的方向上的位移，功W = Fs。
当力的大小与位移的变化存在幂函数关系时，利用幂函数的特性可以更加准确地计算出功。
2.3 生态学中的物种多样性研究在生态学中，研究物种多样性与面积之间的关系是一项重要的课题。
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
2023年高考数学一轮复习讲义——二次函数与幂函数
§2.5二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝⎛⎭⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________．答案 (－∞，40]∪[160，＋∞) 解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0.综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( ) A.⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫2，167. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ， a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有pq <0，又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1答案 B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得 ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )． 解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎫x －t 22－1－t 24. (1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－1－t24. ③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ， f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ，∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3，∴－1≤a ≤－23， 故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1.(1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；(2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0， ∴1a≥1，即0<a ≤1； 当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0， ∴a <0符合题意．综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. (ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＋1＝－1a＋1. (ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3] 答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a 2≤3， 解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2答案 C解析 由于函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． 当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( )A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确；对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0，故选项C 不正确；对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( )A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确； 因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确．6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( ) A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案 BC解析 因为f (x )＝()2231mm m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )．因为y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，所以⎝⎛⎭⎫116n ＝14，解得n ＝12， 所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点．(1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]，当t ＝－1时，g (t )有最小值0，当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0， 解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12. 幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2 答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b ＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( )A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1；当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)，由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1.因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根．综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ， 且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0， 代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3. 所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。
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1 ( x 0) 图象上一动点， x
.
习题 1.已知函数 f ( x) (m 2) x 2 mx (2m 1) 的两个零点分别在区间 (1, 0) 和区间 (1, 2) 内， 则实数 m 的取值范围是（ A. ( , ) ）
1 1 4 2
B. [ , ]
1 1 4 2
C. (
2
D. a 2a 16
2
3.已知函数 f ( x) 2mx 2 2(4 m) x 1, g ( x) mx ，若对任意的实数 x ， f ( x) 与 g ( x) 的 值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是（ A. (0, 2) B. (0,8) C. (2,8) ） D. (,0)
1 1 , ) 2 4
D. (
1 1 , ) 4 2
， 设
2.
已
知
函
数
f ( x) x 2 2(a 2) a 2 , g ( x) x 2 2(a 2) a 2 8
Go the distance
记 H1 ( x) 的最小值为 A ，H 2 ( x) 的 H1 ( x) max{ f ( x), g ( x)}, H 2 ( x) min{ f ( x), g ( x)} ， 最大值为 B ，则 A B （ A. 16 B. 16 ） C. a 2a 16
Go the distance
二次函数与幂函数
一、二次函数 【例 1 】 （ 1 ）已知 t 为常数，函数 f ( x) | x2 2 x t |在区间 [0, 3]上的最大值为 2 ，则
t
.
（2） 已知函数 f ( x) A. (, 1)
x 2 4 x, x 0 4 x x , x 0
2
， 若 f2 ( a)
2
f(a )
， 则实数 a 的取值范围是 （ D. (, 2)
）ห้องสมุดไป่ตู้
(2, )
B. (1, 2)
C. (2,1)
(1, )
（3）已知函数 f ( x) x 2 ax b(a, b R) 的值域为 [0, ) ， 若关于 x 的不等式 f ( x) c 的解集为 (m, m 6) ，则 c .
2
b 对称，据此推测，对任意的 2a
）
非零实数 a, b, c, m, n, p ，关于 x 的方程 mf ( x) nf ( x) p 0 的解集不可能是（ A. {1, 2} 二、幂函数 【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a, a), P 是函数 y 若 P, A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 B. {1, 4} C. {1, 2,3, 4} D. {1, 4,16,64}
2 【变式】 （ 1 ） 直 线 y 1 与 曲 线 y x | x | a 有 四 个 交 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是
. .
（2）已知函数 f ( x) x | x 2 | ，则不等式 f ( 2 x) f (1) 的解集为 （3）函数 f ( x) ax 2 bx c (a 0) 的图象关于直线 x