高考数学复习好题精选-正弦定理和余弦定理
最新高考数学复习 正弦定理、余弦定理及其应用 理(含解析)新人教A版
课后限时集训(二十三) 正弦定理、余弦定理及其应用(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1.如图所示，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．25 3 mC ．25 2 mD ．50 2 mD [因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以B ＝30°.由正弦定理可知ACsin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB ＝50 2 m ．]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝2sin B ，cos C ＝－14，则ca ＝( )A. 6B.62C. 3D.32B [在△ABC 中，由sin A ＝2sin B 及正弦定理，得a ＝2b ，再由cos C ＝－14及余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－14，将b ＝12a 代入，得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－c 22a ·a2＝－14，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝32，∴c a ＝62，故选B.]3．(2018·永州一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [在△ABC 中，由正弦定理可得，2b ＝a ＋c ，①由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35＝(a ＋c )2－165ac ，②由cos B ＝35，得sin B ＝45，故S △ABC ＝12ac ×45＝6，③由①②③得，b ＝4.故选C.]4．(2018·珠海二模)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A .∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜2A ＜π2，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2，∴π6＜A ＜π4， ∴22＜cos A ＜32. 即2＜b ＝2cos A ＜3，故选A.]5．(2018·秦皇岛一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形D [∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c ，∴a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b＝b ＋c ，∴b a 2＋c 2－b 2＋c a 2＋b 2－c 22bc＝b ＋c ，∴b ＋ca 2－b 2－c 2＋2bc2bc＝b ＋c ，∴a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形．] 二、填空题6．(2019·南宁模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，且a ＝14，A ＝2π3，则c ＝________.2 [由sin B ＝2sin C 及正弦定理可得b ＝2c ，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，则14＝4c 2＋c 2－4c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7c 2，解得c ＝ 2.]7．(2018·陕西二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b a ＋c＝1－sin Csin A ＋sin B，且b ＝5，AC →·AB →＝5，则△ABC 的面积是________．532 [由b a ＋c ＝1－sin C sin A ＋sin B 及正弦定理，得b a ＋c ＝1－c a ＋b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.因为AC →·AB →＝bc cos A ＝52c ＝5，所以c ＝2，所以S △ABC ＝12bc sinA ＝12×5×2×32＝532.] 8．在△ABC 中，点D 在边AB 上，C D⊥BC ，AC ＝53，C D ＝5，B D ＝2A D ，则A D 的长为________． 5 [在△ABC 中，B D ＝2A D ，设A D ＝x (x ＞0)，则B D ＝2x .在△BC D 中，因为C D⊥BC ，C D ＝5，B D ＝2x ，所以cos∠CD B ＝C D B D ＝52x.在△AC D 中，A D ＝x ，C D ＝5，AC ＝53，则cos∠A D C ＝A D 2＋C D 2－AC 22×A D×C D ＝x 2＋52－5322×x ×5.因为∠C D B ＋∠A D C ＝π，所以cos∠A D C ＝－cos∠C D B ，即x 2＋52－5322×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以A D 的长为5.]三、解答题9．(2019·武昌模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.10.如图，在平面四边形ABC D 中，AB ＝23，AC ＝2，∠A D C ＝∠CAB＝90°，设∠AC D＝θ.(1)若θ＝60°，求B D的长度；(2)若∠A D B＝30°，求tan θ.[解](1)∵在Rt△A D C中，AC＝2，∠AC D＝θ＝60°，∴A D＝AC sin 60°＝ 3.又在△AB D中，AB＝23，∠BA D＝120°，∴B D2＝A D2＋AB2－2A D·AB cos∠BA D＝(3)2＋(23)2－2×3×23cos 120°＝21，∴B D＝21.(2)∵在Rt△A D C中，∠AC D＝θ，AC＝2，∴A D＝AC sin θ＝2sin θ.又在△AB D中，∠A D B＝30°，∠CAB＝90°，∴∠CA D＋∠AB D＝180°－∠A D B－∠CAB＝60°，∴∠AB D＝60°－∠CA D＝60°－(90°－θ)＝θ－30°.∴在△AB D中，由正弦定理得A Dsin∠AB D＝ABsin∠A D B，即2sin θsinθ－30°＝ABsin 30°＝43，∴sin θ32sin θ－12cos θ＝23，∴2sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝32.B组能力提升1．(2019·郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(测仰角的仪器距地面的距离忽略不计)( )A．15米B．5米C．10米D．12米C[如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AO D中，∠A D O＝30°，则O D＝3h.在△OC D中，∠OC D＝120°，C D＝10，由余弦定理，得O D2＝OC2＋C D2－2OC·C D·cos∠OC D，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．]2．(2019·衡水模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D [由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0，则cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0.∵0＜A ＜π，∴0＜A ＜π2.又a 为最大边，∴A ＞π3.因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.] 3．《数学九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜，h a ，h b ，h c 分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高，则S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2×c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c . 若在△ABC 中，h a ＝3，h b ＝2，h c ＝3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为________．1443143 [由12ah a ＝12bh b ＝12ch c ，得3a ＝2b ＝3c ，则a ∶b ∶c ＝23∶3∶2，令a ＝23k ，b ＝3k ，c ＝2k (k ＞0)，代入S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2×c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝12ah a，得48k 4－49k44＝6k ，解得k＝12143.又由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋4－1212＝112，则sin A ＝14312，所以三角形ABC 外接圆的直径2R ＝asin A ＝23k 14312＝243143×12143＝2883143，即R ＝1443143.]4．(2019·太原一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝bsin B ＋ccos C. (1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值； (2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．[解] (1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin Bsin B cos C，所以a ＝b cos C＋c sin B ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cosA ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0＜A ＜34π，所以0＜t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)结合(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac ≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S ma x ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.。
(新课标)高考数学总复习：考点9-正弦定理和余弦定理(含解析)
考点9 正弦定理和余弦定理1.（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=( )A 30B 60C 120D 150︒︒︒︒（）（）（）（）【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化.【规范解答】选A.根据正弦定理及sin 23sin C B =得：23c b =.，【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角. 2.（2010·北京高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) （A ）2sin 2cos 2αα-+ （B ）sin 3cos 3αα-+（C ）3sin 3cos 1αα-+ （D ）2sin cos 1αα-+【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识.【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和.【规范解答】选 A.等腰三角形的底边长为2211211cos 22cos αα+-⨯⨯⨯=-.所以班徽的面积为21411sin (22cos )2sin 22cos 2αααα⨯⨯⨯⨯+-=+-.3.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则（ ）(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 与b 的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生运用知识和等价转化的能力.【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选A.∵∠C=120°，2c a =，∴2a2=a2+b2-2abcos120°，∴a2=b2+ab ，∴（a b ）2+a b-1=0， ∴a b =215-<1，∴b<a.【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解,尤其是均值不等式的考查. 4.（2010·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= .【命题立意】本题考查利用三角形中的余弦定理求解. 【思路点拨】对C 利用余弦定理，通过解方程可解出a .【规范解答】由余弦定理得，222121cos33a a π+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或1a =2-（舍）.【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好.5.（2010·广东高考理科·Ｔ11）已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .【命题立意】本题考查正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B ，A 的大小，再求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得13sin sin 60A =，解得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =--90=，所以sin sin 90 1.C == 【答案】16.（2010·山东高考理科·Ｔ15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先根据sin cos 2B B +=求出B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A.AB323π【规范解答】由sin cos 2B B +=，得12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0<B<π，所以B=45，又因为2a =，2b =，所以在ABC ∆中，由正弦定理得：22=sin A sin 45，解得1sin A 2=，又<b a ，所以A<B=45，所以A=30.【答案】30°（或6π）7.（2010·江苏高考·Ｔ13）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6cos b aCa b +=，则tan tan tan tan C CA B +的值是_________. 【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想.【思路点拨】对条件6cos b a C a b +=采用角化边，对tan tan tan tan C CA B +采用切化弦并结合正弦定理解决. 【规范解答】226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=. 2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B +++=⋅=⋅=⋅，由正弦定理得，上式 .【答案】4【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化.本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2tan 22C =， 1tan tan 2tan2A B C===，tan tan tan tan C CA B += 4. 8.（2010·辽宁高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求A 的大小.（Ⅱ）若sinB +sinC=1,试判断△ABC 的形状.【命题立意】本题考查了正弦定理、余弦定理和考生的运算求解能力.【思路点拨】(I)根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角.(II)利用（I）的结论，求出角B(或角C)，判断三角形的形状.【规范解答】【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC.sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分.(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用,如本例中B+C＝60°.9.（2010·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足2223()4S a b c=+-.（Ⅰ）求角C的大小.（Ⅱ）求sin sinA B+的最大值.【命题立意】解析本题主要利用余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查考生的运算求解能力.【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简，求最值. 【规范解答】(Ⅰ)由题意可知12absinC＝3⨯2abcosC，所以tanC3.因为0<C<π，所以C＝π3. （Ⅱ)由已知sinA+sinB = sinA+sin(π-C-A)＝sinA+sin(2π3-A)＝sinA+32cosA+12sinA ＝3sin(A+π6)≤32(0)3A π<<. 当A ＝3π，即△ABC 为正三角形时取等号，所以sinA+sinB 的最大值是3.【方法技巧】求sin sin A B +时，利用23A B π+=，转化为求关于角A 的三角函数y =3sin()6A π+的最值问题.10.（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且（Ⅰ）求A 的大小.（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【命题立意】考查了正弦定理、余弦定理、三角函数的恒等变换及三角函数的最值. 【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角. （II ）由（I ）知角C ＝60°-B ，代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值.【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++， 即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，又0<A<180︒，∴A=120°.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-故当B ＝30°时，sinB+sinC 取得最大值1. 【方法技巧】 (1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC.sinA, s inB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分. (2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，如本例中B+C ＝60°.11.（2010·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =-，(I)求sinC 的值．(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【命题立意】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查考生的运算求解能力.【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sin C的值，再利用正弦定理求c，利用余弦定理求b.【规范解答】（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=14-及0＜C＜π，所以sinC=104.（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4.由cos2C=2cos2C-1=14-及0＜C＜π，得cosC=±64，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，b2±6b-12=0，解得b=6或26. 所以。
高考数学复习、高中数学 正弦定理和余弦定理附答案解析
并可由此计算 R、r.
5．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
解的 个数
[微点提醒]
1.由正弦定理可以变形为： (1)a：b：c＝_______：_______：_______；
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝__________；
2．在△ ABC 中中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cos C
.
2 3．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝ 5，c＝2，cosA＝ ，则 b＝
3 （ ）．
A. 2 B. 3 C．2 D．3
a
b
(3)sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝______等形式，以解决不同的三角形问题．
2R
2R
2.余弦定理可以变形为：
b2＋c2－a2
cosA＝
，cosB＝______________，cosC＝______________.
2bc
abc 1
3.
S△ABC＝
4R
＝ (a＋b＋c)·r(r 2
是三角形内切圆的半径)，并可由此计算
则A
.
6．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB＝acosC＋ccosA，则 B＝ ________.
考点 1 应用正弦、余弦定理解三角形 2
【例 1】已知△ ABC 的面积为 S ，且 BC CA CB 2S ．
（1）求 B 的大小；
高考数学专题复习：余弦定理与正弦定理
高考数学专题复习：余弦定理与正弦定理一、单选题1．在ABC 中，若3sin 5A =，120C =︒，BC =AB =（ ）A ．5B C ．D ．32．在ABC 中，AB =BC ，2CA =，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．23π16B ．23π24C ．24π23D ．16π233．在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 分别所对的边，若::1:2:3A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，a =b =B =（ ）．A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上都不对5．在ABC 中，2,3,6a c C π==∠=，那么等于sin A =（ ）A B C ．13D ．236．在ABC 中，2,1,3a b C π===，那么的面积等于（ ）A ．12B C D ．17．在ABC 中，若ABC 的面积()22214S a b c =+-，则C =（ ） A ．4πB ．6πC ．3π D ．2π 8．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c -的取值范围是（ ）A ．()3,3-B ．()3,5-C ．)⎡-⎣D ．(3,9．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 向量()2,sin ,b c p C =+向量()sin ,21)B c b q =+，且满足2sin ,p A q a =⋅则角A =（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，则cos cos b C c B +=（ ）A ．1B C ．2D ．411．在ABC 中，已知1,45b c B ==，则a =（ ）A ．2B C D12．在ABC 中，若60,1,B a b ===，则ABCS 等于（ ）A B C D ．2二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，CD ，则cos A =________.14．在ABC 中，60A =，4AC =，BC =ABC 的面积为________.15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若5a =，b =cos C =，则sin B =________.16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =2b =，3c =，则sin sin sin a b cA B C________.三、解答题17．在ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a =c =60A =︒. （1）求B 、C ∠的值；（2）求ABC 的面积.18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ． （1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．19．如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值.20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B 2c =，求ABC 的面积.21．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2c A b a =-． （1）求角C ；（2）若4c =，ABC 的面积为ABC 的周长．22．如图，在平面四边形ABCD 中，90DAB CBD ∠=∠=︒，BC ．（1）若22BD AB ==，求AC 的长；（2）若1BD =，30BAC ∠=︒，求四边形ABCD 的面积．参考答案1．A 【分析】使用正弦定理求解即可． 【详解】 由正弦定理得：sin sin a cA C =，即sin sin BC AB A C=，5=5AB =．故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 2．C 【分析】首先根据余弦定理求cos B ，再求sin B ，再根据正弦定理求ABC 外接圆的半径，即可求得圆的面积. 【详解】由余弦定理可知222cos 2AB BC CA B AB BC +-===⋅所以sin B =，根据正弦定理，2sin CA R B ==，即R 所以ABC 外接圆的面积22423S R ππ==.故选：C 3．C 【分析】先求出角,,A B C ，再利用正弦定理求解 【详解】由题::1:2:3A B C =且,,632A B C A B C ππππ++=∴===由正弦定理得1::sin :sin :sin 2a b c A B C ===2 故选：C 4．C 【分析】由正弦定理求出sin B 的值，再根据b a <，得B A <，求得B 的取值． 【详解】根据题意，由于正弦定理可知sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A ===故可知sin B由于b =a =b a <，可知角B A <，因此B 为锐角，故45B ︒= 故选：C ． 5．C 【分析】利用正弦定理求得sin A . 【详解】由正弦定理得s sin sin 12in 12sin 33a a C A c c A C ⨯=⇒===. 故选：C 6．C 【分析】由三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由三角形的面积公式可知，三角形的面积121sin 23S π=⨯⨯⨯=故选：C. 7．A【分析】由已知三角形的面积公式，余弦定理和同角三角函数的基本关系式，求得tan 1C =，即可求解答案． 【详解】由题意可知，在ABC 中，满足2221()4S a b c =+-，即22211sin ()24ab C a b c =+-，又由222cos 2a b c C ab+-=，所以11sin cos 22ab C ab C =，即sin cos C C =，因为(0,)C π∈，所以当cos 0C =即2C π=时显然不成立.所以tan 1C =，又由(0,)C π∈，所以4C π.故选:A 8．A 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理求出内角A ，再根据正弦定理，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，所以由正弦定理可得：222222()()()a b a b c b c a b c bc a b c bc -+=-⇒-=-⇒=+-， 由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-⋅，所以1cos 2A =，因为三角形ABC 是锐角三角形，所以3A π=，因此有2sin sin sin sin 3a b c A B C =====， 所以2sin ,2sin b B c C ==，因此22221cos 21cos 24sin 4sin 442cos 22cos 222b c B CB C C B --=-=⋅-⋅=-- 因为3A π=，所以233B C C πππ=--=-， 因此2222cos 22cos[2()]2cos 22cos(2)33C C b C c C ππ=--=+--2cos 22(coscos 2sinsin 2)3cos 22)333C C C C C C πππ=++==+， 因为三角形ABC 是锐角三角形，由220023263B C C πππππ<<⇒<-<⇒<<，而02C <<π，所以62C ππ<<，因此242333C πππ<+<，所以sin(2)3)366C C ππ<+<⇒-<+<，即 2233b c -<-<， 故选：A 9．D 【分析】利用向量数量积的坐标表示及已知条件，并应用正弦边角关系可得222b c a +=，再由余弦定理有222cos 2b c a A bc+-=，即可求角A .【详解】由题意，(2)sin 2sin 1)sin 2sin ,b c B c C b C a A p q =+++=⋅∴22(2)21)2b c b c bc a +++=，即222b c a +=，∴222cos 2b c a A bc +-==，又(0,)A π∈， ∴56A π=.故选：D 10．D 【分析】利用余弦定理对cos cos b C c B +化简可得答案 【详解】解：由余弦定理得，222222cos cos 22b a c a c b b C c B b c ab ac +-+-+=⋅+⋅2222222b a c a c b a+-++-=2242a a a===， 故选：D 11．B 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在ABC 中，因1,45b c B ===，于是由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：221a =+，即210a -=，而0a >，解得a =，所以a =. 故选：B 12．C 【分析】根据给定条件，先利用正弦定理求出角A ，进而求得角C ，再利用三角形面积定理求解即得. 【详解】在ABC 中，因60,1,B a b ==sin sin a bA B=得： sin 1sin2a B A b ===，而a b <，即A B <，则30A =，于是得90C =，所以113sin 1sin 90222ABCSab C ==⋅=故选：C 13．0 【分析】设BD x =，则3AD x =，23AC x =-，2BC x =-，利用余弦定理计算cos ADC ∠、cos BDC ∠，由cos cos BDC ADC ∠=-∠可得x 的值，进而可得AD 、AC 的长，在ADC 中求角A ，进而可得cos A 的值. 【详解】设BD x =，则3AD x =，23AC x =-，2BC x =-，在ADC 中，由余弦定理得：222229223cos2x x AD CD ACADC AD CD +--+-∠==⋅ 在BDC 中，由余弦定理得：2222222cos2x x BD CD BCBDC BD CD +--+-∠=⋅ 因为πBDC ADC ∠+∠=，所以cos cos BDC ADC ∠=-∠， 2222=整理可得：212423x x --=，解得：13x =，所以1AD =，1AC =，在ADC 中，222AD AC CD +=，所以AD AC ⊥，所以π2A =， 所以cos 0A =， 故答案为：0.14．【分析】先由余弦定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，由余弦定理可得： 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，代入数据可得：211216242AB AB =+-⨯⨯，即2440AB AB -+=，解得：2AB =，由三角形的面积公式可得ABC 的面积为：11sin 2422AB AC A ⋅⋅⋅=⨯⨯=故答案为：15【分析】根据余弦定理求得c ，再由正弦定理可求得答案. 【详解】由余弦定理知：222+2cos c a b ab C =-，即(2225+25c =-⨯⨯解得c =又1sin 3C =，由正弦定理得sin sin c b C B =3，解得sin B =16【分析】由余弦定理求得cos A 再得sin A ，然后由正弦定理计算．【详解】由题意可知，在△ABC 中，由余弦定理可得cos A ＝2222b c a bc+-＝497223+-⨯⨯＝12， 因为A ∈(0，π)，所以sin Asin sin sin a b c A B C ==== 所以aA ，bB ，cC ， 所以sin sin sin a b c A B C ++++＝sin sin )3sin sin sin A B C A B C++++17．（1）45C =︒，75B =︒；（2）3S =【分析】（1）由正弦定理求得C ，再由三角形内角和得出B ；（2）由面积公式计算．【详解】（1）由正弦定理得sin sin a c A C =，所以sin sin c A C a = 又a c >，所以A C >，所以C 是锐角，45C =︒，180604575B =︒-︒-︒=︒；（2）11sin 7530)22ABC S ac B ==⨯︒=︒+︒145cos30cos5sin 30))32=︒︒+︒︒== 18．（1）3A π=；（2【分析】 （1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得sin A A =，进而求角A ． （2）由余弦定理得2230b b --=求b ，再利用三角形面积公式求△ABC 的面积．【详解】（1）由正弦定理，sin sin cos A C C A ，又sin 0C ≠，sin A A ∴，即tan A (0,)A π∈，得3A π=.（2）由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，∴2230b b --=，解得3b =，1sin 2ABC S bc A ∴==19．（1）3（2【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用=BAD ADC B ∠∠-∠，结合两角差的正弦公式即可得解．【详解】（1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴ （2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠==BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13=-=20．（1）6C π=；（2）1【分析】(1)根据所给条件，利用正弦定理角化边，再用余弦定理即可得解；(2)借助正弦定理用角A ，B 分别表示边a ，b ，再用三角形面积定理求解即得.【详解】（1）ABC中，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得22()a a b c +=，即222a b c +-由余弦定理得222cos 2a b c C ab -=＋，而0πC <<，6C π=， 所以角C 的值是6π；（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 于是得2sin 4sin a R A A ==，2sin 4sin b R B B ==，即16sin sin 4(1ab A B ==，111sin 4(11222ABC a S b C ==⋅⋅=所以ABC 的面积是121．（1）3C π=；（2）12．【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求出cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ab 的值，利用余弦定理可求得a b +的值，进而可求得ABC 的周长.【详解】（1）2cos 2c A b a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，即()2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin sin C A A C A A C A C A =+-=+-，整理可得sin 2cos sin A C A =，()0,A π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2C =， 又()0,C π∈，故3C π=；（2）ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ===△16ab =， 由余弦定理得()()22222162cos 3483c a b ab a b ab a b π==+-=+-=+-，解得8a b +=， 所以ABC 的周长为12a b c ++=.22．（1）AC （2 【分析】（1）根据题意，可得60ABD ∠=︒，根据余弦定理，即可求得答案.（2）设ABD θ∠=，可得60ACB θ∠=︒-，cos AB θ=，根据正弦定理，结合同角三角函数的关系，可求得sin θ，cos θ的值，进而可得AB 、AD ，代入面积公式，即可得答案.【详解】解：（1）如图所示：在Rt △ABD 中，22BD AB ==，所以1cos 2AB ABD AD ∠==，所以60ABD ∠=︒， 又90DAB CBD ∠=∠=︒，所以150ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠，1321cos15013217⎛=+-⨯︒=+-⨯= ⎝⎭．所以AC ．（2）设ABD θ∠=，则60ACB θ∠=︒-，cos AB θ=， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，所以()cos sin 60θθ=︒-()1cos 602θθ=︒-化简得cos θθ=， 代入22sin cos 1θθ+=，得24sin 7θ=，又θ为锐角，所以sin θ=cos θ=所以cos AB θ==，sin AD θ=，∴ABCD 的面积11122ABD BCD S S S =+=⨯⨯．。
高考数学总复习(人教版)：4-6正弦定理和余弦定理
4-6正弦定理和余弦定理基础巩固强化1.(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°[答案] A[解析] ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝32sin C ＋32cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.故选A.(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.2．(文)(2011·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)[答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 [答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.3．(2011·福建质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5， 又c sin C ＝b sin B ，所以sin C ＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B. 4．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝csin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.5．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2 [答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba ＝ 2.6．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.7．在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC ＝2.8．(2011·广州一测)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝2，AC ＝263，则∠B ＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：BC sin A ＝AC sin B ， 即2sin60°＝263sin B ，∴sin B ＝22，∵2>263，∴BC >AC ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π4，tan C ＝2，则c ＝________.[答案] 2 2[解析]⎭⎪⎬⎪⎫sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin Ccos C ＝2⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴c ＝sin Csin B ×b ＝2 2.10．(2012·河南商丘模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．[解析] (1)由正弦定理得，sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2. 又cos B ＝13，∴ac ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及b ＝22， 可得a 2＋c 2＝12，∴(a －c )2＝0，即a ＝c . ∴a ＝c ＝ 6.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力.能力拓展提升11.(文)(2011·泉州质检)△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.(理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的长度分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝1，b ＝4B ．a ＝4，b ＝1C ．a ＝4，b ＝4D ．a ＝2，b ＝2[答案] D[解析] 由余弦定理得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，∴ab ＝4.联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2.12.(2011·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4. 在△ABC 中，由正弦定理得3sin C ＝4sin A ，在△ABD 中，由余弦定理得， cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223，∴sin C ＝3sin A 4＝3×2234＝66，故选D. 13．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．[答案] π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1， ∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.(理)(2011·河南质量调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.14．(2011·安阳月考)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________.[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c＝1. 15．(2012·天津文，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos(2A ＋π3)的值．[分析] (1)由cos A ＝－24及0<A <π，sin 2A ＋cos 2A ＝1可求sin A ，再由正弦定理求sin C ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可求b 的值．(2)由(1)知道sin A ，cos A ，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A ，cos2A ，展开cos(2A ＋π3)代入即可．[解析] (1)在△ABC 中， 由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144得， cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3 ＝－3＋218.[点评] 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦关系、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查基本运算求解能力．16．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3，又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，a 2＋c 2－ac －4＝0，又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.。
高考数学复习第4章 正弦定理和余弦定理
【小题热身】
一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ ) (2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝45°或 ∠B＝135°.( × )
2．余弦定理
a2＝⑤_b_2_＋__c_2－__2_b_c__c_o_s_A_，b2＝⑥__a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B_____，c2＝⑦
____b__2__a+__2＋__c__2b__−2__－__a__22__a_，b__cco_os_sB_C＝__⑨_______. _a余_2_+弦__c_2定_−__理b_2_可，c以osC变＝形⑩_为_a_2：_+__cb_o2_s_A−_＝_c．2 ⑧
解 析 ： 由cosC ＝ AC22+ABCC·2B−CAB2 得 23 ＝ 162+×94−×A3B2 ， ∴AB ＝ 3 ， ∴cosB ＝ BA22+BBAC·2B−CAC2＝92+×93−×136＝19，故选A.
考点一 利用正、余弦定理解三角形[自主练透型]
考向一：用正弦定理解三角形
1．[2021·北京朝阳区模拟]在△ABC中，B＝π6，c＝4，cosC＝
第六节 正弦定理和余弦定理
【知识重温】
一、必记3个知识点 1①．_s_正in_a _弦A_＝_定_si_理nb_B_＝__s_inc__C＝__2_R__ ， 其 中 R 是 三 角 形 外 接 圆 的 半 径 ． 由 正 弦 定 理 可 以 变 形 为 ： (1)a∶b∶c ＝ ②__s_in__A_∶__s_in__B_∶__s_in__C_____ ； (2)a ＝2R sin A，cb＝2R sin B，③c_＝__2_R__s_in__C_；(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝④___2_R____等形式，以解决不同的三角形问题．
高考数学复习、高中数学 正弦定理和余弦定理附答案解析
第6节 正弦定理和余弦定理基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1. 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（ ）．A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c 若sin 2＝，则△ABC 的形状一B 2c －a 2c定是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝，c ＝3， 6则A ＝（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4. 在中，角，，的对边分别为a ，b ，c ．若为锐角三角形，且满ABC ∆A B C ABC ∆足，则下列等式成立的是（ ）．sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+A ．2a b = B ．2b a = C ． D ．2A B =2B A =5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为2，则b ＋c 的值为（ ）．3A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝，则＝（ ）． 3c sin CA. B. C. D ．2 8381239326337二、多项选择题7. 如图，在矩形ABCD 中，边AB ＝5，AD ＝1，点P 为边AB 上一动点，当线段AP ＝（ ）时，使得∠DPC ＝.3π4A. B.2 C. D ．3 8. 在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值可能是（ ）．A. B. C. +1 D ．332二、填空题9. 在△中，若，则的形状一定是 三角形．ABC 2cos sin sin B A C =ABC ∆10.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， 则角C ＝________.11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ， 则B ＝________.12.在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ， 则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.能力提升题组（建议用时：20分钟）13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知CD 为△ABC 的角平分线，且AD ＝2，BD ＝1，当△ABC 面积最大时，cos C ＝__________. 14.已知锐角三角形ABC 的外接圆的半径为，tan2C ＝－，则△ABC 面积的最大值 54247为________．15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －2b )cos C ＋c cos A ＝0.(1)求角C ；(2)若c ＝2，求△ABC 周长的最大值．316. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形且满足＝＋，求实数m 的最小值． m tan C 1tan A 1tan B第6节 正弦定理和余弦定理1. B .2. B ．3. D4. A ．5. 7 .6. 23937. BD解析：(法一)判断得点P 的位置关于AB 中点对称！故所有AP 的长和为AB 长。
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算例、(1)(△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________. 变式练习1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点二 平面图形中的计算问题例、如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 跟踪训练1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题例、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A的取值范围为( ) A.]6,0(πB.]4,0(πC.]4,6[ππD.]3,6[ππ (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等． 跟踪训练1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C.(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用 考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换例、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝ac os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πB . (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质 例、已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积． 跟踪训练1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．课后作业1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．2 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( ) A.33 B.32C.3 D ．23 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋2C ．3D ．3＋2 7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πA 的值．提高训练1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则2ba的取值范围是()A．(2，2)B．(2，6)C．(2，3)D．(6，4)2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋bc os2A＝2a，则角A的取值范围是________．3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．。
高考数学复习(22) 正弦定理和余弦定理
高考数学复习（22） 正弦定理和余弦定理1．(2018·姜堰中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋14c 2，则acos B c ＝________.解析：由已知及余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a ，所以acos B c ＝58.答案：582．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 的大小为________．解析：由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，所以sin B ＝cos B ，所以B ＝45°.答案：45°3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝________.解析：bsin A ＝3csin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1， 所以b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为________． 解析：由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝12，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， 所以边AC 上的高h ＝ABsin A ＝332.答案：3325．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________． 解析：易知a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b222ab＝－12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝2π3.答案：2π36．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝－αsin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2. 答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2acos A ＋bcos C ＋ccos B ＝0，则角A 的大小为________．解析：由余弦定理得2acos A ＋b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b22ac ＝0，即2acos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12absin C ＝12×3×32＝34. 答案：343．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________． 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，所以sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：无解4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c)(sin B ＋sin C)＝(a －3c)sin A ，则角B 的大小为____．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c)·(sin B＋sin C)＝(a －3c)sin A 得(b －c)(b ＋c)＝(a －3c)a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 答案：30°5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Acos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×1×1×32＝34.答案：346．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以3a ＝2b. 又a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，所以c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，则b a ＝________.解析：因为asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin Asin AsinB ＋sin Bcos 2A ＝2sin A ，所以sinB ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.答案： 28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 解析：因为tan B ＝－43，所以sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12acsin B ＝2c ＝8，所以c ＝4，所以b ＝a 2＋c 2－2accos B ＝65，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56549．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知acos B ＝3，bcos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解：(1) 法一：在△ABC 中，acos B ＝3，由余弦定理，得a·a 2＋c 2－b 22ac ＝3，即a 2＋c 2－b 2＝6c.①由bcos A ＝1，得b·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，即b 2＋c 2－a 2＝2c.②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4. 法二：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin Acos B ＋sin Bcos A ＝sin(A ＋B)＝sin C ， 由正弦定理，得sin A ＝asin C c ，sin B ＝bsin Cc ，代入上式得，c ＝acos B ＋bcos A ＝3＋1＝4. (2)由正弦定理得acos B bcos A ＝sin Acos B sin Bcos A ＝tan Atan B ＝3.又tan(A －B)＝tan A －tan B 1＋tan Atan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2acos 2C 2＋2ccos 2A2＝52b.(1)求证：2(a ＋c)＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b.解：(1)证明：由条件得a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝52b ，由于acos C ＋ccos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c)＝3b.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12acsin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝(a ＋c)2－2ac(1＋cos B)， 2(a ＋c)＝3b ，所以5b 24＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·致远中学检测)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A)＋sin(B ＋A)＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由sin(B －A)＋sin(B ＋A)＝3sin 2A ，得2sin Bcos A ＝6sin Acos A ，所以cos A ＝0或sin B ＝3sin A.若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt△ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736；若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a·3a·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC的面积S ＝12absin C ＝12×1×3×32＝334.答案：334或7362．(2018·苏州高三期中调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝acos C ＋csin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由b ＝acos C ＋csin A 及正弦定理可得sin B ＝sin Acos C ＋sin Csin A ，所以sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋sin Csin A ，化简可得sin A ＝cos A ，所以A ＝π4.在△ACD中，由余弦定理可得CD 2＝2＝b 2＋c 24－2b·c 2·cos A≥bc－22bc ，当且仅当b ＝c2时取“＝”，所以bc≤4＋22，所以△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝24bc≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值是2＋1.答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33， 所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223.因为AD ＝1，CD ＝3， 所以△ACD 的面积S ＝12AD·CD·sin∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DC·cos∠D ＝12， 所以AC ＝2 3. 因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝ABsin ∠ACB ， 所以23sin ∠B＝AB π－2∠＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin∠Bcos∠B ＝AB233sin ∠B ，所以AB ＝4.。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12， 解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A.455B.355C.255D.55[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边， 由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12， 又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。
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- 1 - 正弦定理和余弦定理 题组一 正、余弦定理的简单应用
1.(2009·广东高考)已知△ABC中， ∠A， ∠B， ∠C的对边分别为a， b， c.若a＝c＝6＋2， 且∠A＝75°， 则b＝ ( ) A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2 解析：如图所示．
在△ABC中， 由正弦定理得 6262sin30sin75sin4530boooo()=4，
∴b=2. 答案：A
2．在锐角△ABC中， BC＝1， B＝2A， 则ACcosA的值等于______， AC的取值范围为________． 解析：由正弦定理得ACsin2A＝BCsinA.
即AC2sinAcosA＝1sinA.∴ACcosA＝2. ∵△ABC是锐角三角形， ∴0＜A＜π2， 0＜2A＜π2， 0＜π－3A＜π2， 解得π6＜A＜π4. 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2， 3)． 答案：2 (2， 3) 3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中， 内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b， 且sinAcosC＝3cosAsinC， 求b. 解：由余弦定理得 - 2 -
a2－c2＝b2－2bccosA. 又a2－c2＝2b， b≠0， 所以b＝2ccosA＋2.① 又sinAcosC＝3cosAsinC， sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC， sin(A＋C)＝4cosAsinC， sinB＝4sinCcosA. 由正弦定理得sinB＝bcsinC，
故b＝4ccosA.② 由①、②解得b＝4.
题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
4.(2020·天津模拟)在△ABC中， cos2B2＝a＋c2c， (a， b， c分别为角A， B， C的对边)， 则△ABC的形状为 ( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2B2＝a＋c2c， ∴cosB＋12＝a＋c2c， ∴cosB＝ac，
∴a2＋c2－b22ac＝ac，
∴a2＋c2－b2＝2a2， 即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：B 5．在△ABC中， 已知2sinAcosB＝sinC， 那么△ABC一定是 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中， A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)， 所以sinC＝sin(A＋B)． - 3 -
由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0， 即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π， 所以A－B＝0， 即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC可化为 2a·a2＋c2－b22ac＝c， 即a2＋c2－b2＝c2， 即a2－b2＝0，
即a2＝b2， 故a＝b.所以△ABC是等腰三角形． 答案：B
题组三 三角形面积公式的应用
6.在△ABC中， AB＝3， AC＝1， B＝π6， 则△ABC的面积等于 ( )
A.32 B.34 C.32或3 D.32或34 解析：由正弦定理知ABsinC＝ACsinB， ∴sinC＝ABsinBAC＝32，
∴C＝π3或2π3， A＝π2或π6， ∴S＝32或34. 答案：D 7．在△ABC中， 面积S＝a2－(b－c)2， 则cosA＝ ( )
A.817 B.1517 C.1315 D.1317
解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝12bcsinA， ∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1， ∴cosA＝1517. 答案：B 8．(2009·浙江高考)在△ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且满足cosA2 - 4 -
＝255， ABuuur·ACuuur＝3. (1)求△ABC的面积； (2)若c＝1， 求a的值．
解：(1)因为cosA2＝255，
所以cosA＝2cos2A2－1＝35， sinA＝45.
又由ABuuur·ACuuur＝3， 得bccosA＝3， 所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsinA＝2.
(2)由(1)知， bc＝5， 又c＝1， 所以b＝5， 由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20， 所以a＝25.
题组四 正、余弦定理的综合应用
9.若△ABC的周长等于20， 面积是103， A＝60°， 则BC边的长是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8
解析：依题意及面积公式S＝12bcsinA，
得103＝12bcsin60°， 得bc＝40.
又周长为20， 故a＋b＋c＝20， b＋c＝20－a， 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60° ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 故a2＝(20－a)2－120， 解得a＝7. 答案：C 10．(文)在三角形ABC中， 已知∠B＝60°， 最大边与最小边的比为3＋12， 则三角形的最大角为 ( ) A．60° B．75° C．90° D．115° 解析：不妨设a为最大边．由题意， - 5 -
ac＝sinAsinC＝3＋12，
即sinAsin(120°－A)＝3＋12， ∴sinA32cosA＋12sinA＝3＋12，
(3－3)sinA＝(3＋3)cosA， ∴tanA＝2＋3， ∴A＝75°. 答案：B (理)锐角△ABC中， 若A＝2B， 则ab的取值范围是 ( ) A．(1,2) B．(1， 3) C．(2， 2) D．(2， 3) 解析：∵△ABC为锐角三角形， 且A＝2B，
∴ 0＜2B＜π2，0＜π－3B＜π2，∴π6＜B＜π4，
∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB， ab＝sinAsinB＝2cosB∈(2， 3)．
答案：D 12．(文)(2020·长郡模拟)在△ABC中， 内角A， B， C的对边分别为a， b， c， π3
＜C＜π2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C (1)判断△ABC的性状； (2)若|BAuuur＋BCuuur|＝2， 求BAuuur·BCuuur的取值范围． 解：(1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C及正弦定理得sinB＝sin2C，
∴B＝2C， 且B＋2C＝π， 若B＝2C， π3＜C＜π2， - 6 -
∴23π＜B＜π， B＋C＞π(舍)；
∴B＋2C＝π， 则A＝C， ∴△ABC为等腰三角形． (2)∵|BAuuur＋BCuuur|＝2， ∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，
∴cosB＝2－a2a2(∵a＝c)， 而cosB＝－cos2C， π3＜C＜π2， ∴12＜cosB＜1，
∴1＜a2＜43， 又BAuuur·BCuuur＝accosB＝2－a2， ∴BAuuur·BCuuur∈(23， 1)． (理)(2020·广州模拟)在△ABC中， A， B， C分别是三边a， b， c的对角．设m＝(cosC2， sinC2)， n＝(cosC2， －sinC2)， m， n的夹角为π3. (1)求C的大小； (2)已知c＝72， 三角形的面积S＝332， 求a＋b的值．
解：(1)m·n＝cos2C2－sin2C2＝cosC，
又m·n＝|m||n|cosπ3＝12， 故cosC＝12， ∵0＜C＜π， ∴C＝π3.
(2)S＝12absinC＝12absinπ3＝34ab， 又已知S＝332， 故34ab＝332， ∴ab＝6. ∵c2＝a2＋b2－2abcosC， c＝72， ∴494＝a2＋b2－2ab×12＝(a＋b)2－3ab. - 7 -
∴(a＋b)2＝494＋3ab＝494＋18＝1214， ∴a＋b＝112. 11．已知a， b， c为△ABC的三个内角A， B， C的对边， 向量m＝(3， －1)， n＝(cosA， sinA)， 若m⊥n， 且acosB＋bcosA＝csinC， 则角B＝________. 解析：∵m⊥n， ∴3cosA－sinA＝0，
∴tanA＝3， ∴A＝π3. ∵acosB＋bcosA＝csinC， ∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC， ∴sin(A＋B)＝sin2C， ∴sinC＝sin2C， ∵sinC≠0， ∴sinC＝1. ∴C＝π2， ∴B＝π6. 答案：π6