2022届河北衡水中学高三最后一卷数学试卷含解析
2022年河北省衡水中学高考数学模拟试卷及答案解析
2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（﹣∞，3）D ．（0，2）2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√104B ．√53C ．√64D ．√1534．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．3C ．52D ．25．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．726．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．10300B ．10400C ．10500D ．106007．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f（32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →•AB →=AQ →•FB →，且BQ →=3FQ →，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√5−1C ．√5D ．2+√53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合3(1)(4)ln log (1)x x M x y x ⎧⎫--==⎨⎬-⎩⎭∣，{}2R 4N yy =>∣ð，则（）A ．2M N∈⋂B ．{[2,2](4,)}M N aa ∞⋃=∈-⋃+∣C ．{(,2)(2,)}N aa ∞∞=∈-⋃+∣D ．()R {[2,1]}M N aa ⋂=∈-∣ð2．若i 1|1|i -=--z z ，则||z z -=（）A ．1BC ．2D ．123．在△ABC 中，O 为重心，D 为BC 边上近C 点四等分点，DO mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则m＋n ＝（）A ．13B ．13-C ．53D ．53-4．一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A ．175πB ．325π3C ．100πD ．不存在5．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．3406．已知函数()πsin ,(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭将其向右平移π3个单位长度后得到()g x ，若()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，则()f x 一定满足的单调递增区间为（）A ．4π2π,5757⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4π2π,3939⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3π5π,1313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π7π,1919⎡⎤⎢⎣⎦7．已知0.99e 0.01100100e ,ln ,ln ln (0.99)9999a b a c c c -⎛⎫===-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ． 1.01b a c >>>B ． 1.01b a c >>>C ． 1.01a b c>>>D ． 1.01a b c >>>8．若已知函数()e x af x +=，()lng x x ka =+，()0,a ∞∃∈+，若函数()()()F x f x g x =-存在零点（参考数据ln 20.70≈），则k 的取值范围充分不必要条件为（）A ．()0.7 1.3e ,eB ．)0.71,e⎡⎣C ．)2.23.1e ,e ⎡⎣D ．()1.32.2e ,e 二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,AB E F G =分别为棱1,,BB AB BC 中点，H 为1CC 近C 三等分点，P 在面11AA D D 上运动，则（）A ．1BC ∥平面1D FGB ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，则C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关C ．1BD EG⊥D ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r ，则P 10．若数列{}n a 有2142n n n a a a ++=-，n S 为{}2n a +前n 项积，{}n b 有112n n n n b b b b ++-=，则（）A ．(){}log log 2b a n a ⎡⎤+⎣⎦为等差数列（,0a b >）B ．可能()()21112n n n S a -=-+C ．1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．{}n b 第n 项可能与n 无关11．已知抛物线C ：22x py =，过点P （0，p ）直线{,}l C A B ⋂=，AB 中点为1Q ，过A ，B 两点作抛物线的切线121221,,,l l l l Q l y ⋂=⋂轴＝N ，抛物线准线与2Q P 交于M ，下列说法正确的是（）A ．21Q Q x ⊥轴B ．O 为PN 中点C ．22AQ BQ ⊥D ．M 为2PQ 近2Q 四等分点12．已知奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos sin 0f x x f x x '+>，当π2x →时，()2cos f x x →，下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2π的函数B ．()cos f x x 是最小正周期为2π的函数C ．()cos f x x关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D ．直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，则4444,,3553k ππππ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、填空题13．6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是_________．（写出数字）14．若⊙C ：()()221x a y b -+-=，⊙D ：()()22684x y -+-=，M ，N 分别为⊙C ，⊙D上一动点，MN 最小值为4，则34a b +取值范围为_________．15．已知双曲线22221x y a b-=，1F ，2F 分别为双曲线左右焦点，2F 作斜率为a b -的直线交by x a=于点A ，连接1AF 交双曲线于点B ，若21AB AF BF ==，则双曲线的离心率_________．16．已知函数()ln cos f x x kx x =+-，1212(0,,,)x x x x ∀∈∞≠+，使得()()12123f x f x x x ->-，k 的取值范围为_________．四、解答题17．已知O 为△ABC 外心，S 为△ABC 面积，r 为⊙O 半径，且满足()2222342cos cos 23CB AO r A B a S⋅+---=uu r uuu r (1)求∠A 大小；(2)若D 为BC 上近C 三等分点（即13CD BC =），且AD =S 最大值．18．张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示22()()()()()n ad bc K a b b d c d a c -=++++，n a b c d =+++，()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.828(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()E x ，并说明x 取何值时概率最大．19．在△ABC 中，π3BAC ∠=，A 、B 、C 、D 四点共球，R （已知）为球半径，O 为球心，O '为ABC 外接圆圆心，r （未知）为⊙O '半径．(1)求()max A BCD V -和此时O 到面ABC 距离h ；(2)在()max A BCD V -的条件下，面OAB （可以无限延伸）上是否存在一点K ，使得KC ⊥平面OAB ？若存在，求出K 点距OO '距离1d 和K 到面ABC 距离2d ，若不存在请给出理由．20．在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n 项和：形如()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nn nn b +=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)n n a a q q -=≠，()()1212111,n nn n n S a a a a q q qS a q q q -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+()()()()11111(1)111n n n n n n q S a q q q a q q q a q --⎡⎤-=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-⎣⎦111n n q S a q -=-综上：当中间项可以相消时，可将求解n S 的问题用错位相减化简裂项相消：设1111111(1)11n n n k k k n n n n n n n ++=-==-⇒-=-⇒=+++1n n n b k k 或1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列；①当1n k n =时，111n b n n =-+②当1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列时，()11111,1n n k k b n n n =++=-+；故可为简便计算省去②的讨论，111n n nS k k n +=-=+综上：可将求解n S 的问题用裂项相消转化为求解n k 的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(3)融会贯通，求证：()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭前n 项和n T 满18n n S T +<．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．21．在平面直角坐标系中，12,F F 分别为(1,0)-，(1,0)，⊙()222:116x y F -+=，E 为⊙2F 上一点，C 为线段2EF 上一点，⊙C 过1F 和E ．(1)求C 点轨迹方程，并判断轨迹形状；(2)过12,F F 两直线12,l l 交C 分别于A 、B 和M 、N ，P ，Q 分别为AB 和MN 中点，求P 、Q 轨迹方程，并判断轨迹形状；(3)在（2）的条件下，若PQ //x 轴，12l l D ⋂=，求D 点轨迹方程，并判断轨迹形状．22．已知函数()11e ln-=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．参考答案：1．B【分析】先求出集合,M N ，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log (1)log (1)0x x x x --⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，得3(1)(4)log (1)011x x x x --->⎧⎨-≠⎩，解得>4x 或12x <<，所以{4M x x =>或}12x <<，因为{}2R 4N yy =>∣ð，所以{}{}2422N y y y y =≤=-≤≤，对于A ，因为(1,2)M N = ，所以2M N ∉⋂，所以A 错误，对于B ，因为{4M x x =>或}12x <<，{}22N y y =-≤≤，所以[2,2](4,)M N =-+∞ ，所以B 正确，对于C ，因为{}22N y y =-≤≤，所以C 错误，对于D ，因为{4M x x =>或}12x <<，所以R (,1][2,4]M =-∞ ð，因为{}22N y y =-≤≤，所以(){}R [2,1]2M N ⋂=-ðU ，所以D 错误，故选：B 2．A【分析】设i z a b =+，利用复数相等求出a b ，，即可求解.【详解】设i z a b =+，（,R,i a b ∈为虚数单位）.因为i 1|1|i -=--z z ,所以()1i=1a b +--，所以11a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以111i,1i 22z z =+=-，所以||i 1z z -==故选：A 3．B【分析】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，利用向量平面基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，所以()23213432=++=-+⨯+=+DB BA AE CB AB AB A DO DA CAO uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r ()()3115431212=--++=-AB AC AB AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以15,1212==-m n ，15112123+=-=-m n .故选：B.4．D【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h ，由题意可知5R r -=，13l =，则12h =，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h由题意可知5R r -=，13l =，则12h ==则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353V h R r Rr r r r r r r ⎡=++=⨯⨯+⎤++=⎣⎦+++2512π25π2r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0r >时，V 单调递增，故V 不存在最小值．故选：D ．5．C【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C 6．A【分析】根据平移变换得函数()ππsin ,(0)36g x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922ω≤<，再求π6x ω+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin ,(0)336g x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2ππ,36636x ωωω⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362ω≤+<，解得131922ω≤<，当4π2π,5757x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6576576x ππππωωω+∈-++而42[,[,)57657622ππππππωω-++⊂-，故A 正确，当4π2π,3939x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6396396x ππππωωω+∈-++而426351[,][,)3963967878ππππππωω-++⊂-，故B 不正确，当3π5π,1313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π35[,]6136136x ππππωωω+∈++，而355298[,[,136136378ππππππωω++⊂，故C 不正确，当5π7π,1919x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π57[,]6196196x ππππωωω+∈++，而5721411[,][,)1961961143ππππππωω++⊂，故D 不正确，故选：A.7．D【分析】变形a ，b ，构造函数e ()ln xf x x x x=-+比较a ，b 的大小，构造函数()ln g x x x=-比较,e b 的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c 的大小作答.【详解】依题意，0.99e 0.99a =，e 0.01ln 0.99e 10.99ln 0.99b =--=-+-，令e ()ln x f x x x x =-+，22e (1)1(e )(1)()1x x x x x f x x x x ---'=-+=，当01x <<时，e 10x x >>>，即()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e 1f f >=-，即0.99e 0.99ln 0.99e 10.99-+>-，因此a b >，令()ln g x x x =-，1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1g g >=，而e 1(0.99)e>1.01b g =-+>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，显然11(e)e 1,()1e eg g =-=+，则方程1(),(1,1]e g x k k =∈+有两个不等实根12,x x ，1201x x <<<，有12()()g x g x k ==，ln ln 0.99ln 0.99ln (0.99)()a c c c c g g c =-⇔-=-⇔=，而0.99c ≠，则有1c >，令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，2112(1)()()(2)1102(2)x h x g x g x x x x x -'''=+-=-+-=-<--，即函数()h x 在(0,1)上单调递减，当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，即()(2)g x g x >-，因此11()(2)g x g x >-，即有211()()(2)g x g x g x =>-，而211,21x x >->，()g x 在(1,)+∞上单调递增，于是得212x x >-，即122x x +>，取10.99x =，2x c =，于是得20.99 1.01c >-=，又()(0.99))1()(e eg g c g g <<=，()g x 在(1,)+∞上单调递增，从而1.01e c <<，所以 1.01a b c >>>，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8．C【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11f g ≤，则有()()()F x f x g x =-存在零点，求出1e ak a+≥时k 的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依次判断即可.【详解】 当0a =时，()e x af x +=的图象恒在()lng x x ka =+上方，∴若满足()()11f g ≤，即1eln1aka +≤+，1e ak a+≥，则()f x 与()g x 的图象必有交点，即()()()F x f x g x =-存在零点.令()1e x h x x+=()0x >，()()12e 1x x h x x +-'=，有当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增.()()21e h x h ∴≥=.即当2e k ≥时，一定存在()10,a =∈+∞，满足()()11f g ≤，即()()()F x f x g x =-存在零点，因此)2e ,k ⎡∈+∞⎣是满足题意k 的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是)2e ,⎡+∞⎣的子集，所以)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是k 的取值范围的一个充分不必要条件.故选：C .9．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2，所以1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，1(2,0,0)B ，1(2,2,0)C ，1(0,2,0)D ，(2,0,2)B ，(2,2,2)C ，(0,2,2)D ，(2,0,1)E ，(1,0,2)F ，(2,1,2)G ，4(2,2,3H ，对于A ，因为1(0,2,2)BC =-u u u u r ，1(1,2,2)FD =--u u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，设平面1D FG 的法向量为(,,)n x y z = ，则有2200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，则有23y zy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，取(2,2,3)n =-r，因为120n BC ⋅=-≠r u u u u r，所以1n BC ⊥ru u u u r不成立，所以1BC ∥平面1D FG 不成立，故错误；对于B ，设00(0,,)P y z ，则00(2,1,2)G y z P =---uu u r ，(1,1,0)GF =--uu u r ，2(0,1,)3GH =-uuu r ，又因为(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，所以0021223y z μμϕϕ⎧⎪-=-⎪-=-+⎨⎪⎪-=-⎩，所以有002433z y =-+，所以P 点轨迹为如图所示的线段1MD ，在平面11BCC B 内作出与1MD 平行的直线1NC ，易知1MD 与1NC 的距离等于平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为2，因为1NC 与BH 不平行，所以1MD 与BH 不平行，所以点P 到BH 的距离不是定值，所以PBH S 不是定值，又因为P BCH C BPH V V --=,即1121223233PBH S h ⨯⨯⨯⨯=⋅V ，(h 为C 点到平面PBH 的距离)，所以43PHBh S =V 不是定值，所以C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关，故正确；对于C ，因为1(2,2,2)BD =--uuu r ，(0,1,1)EG =uu u r，1220BD EG ⋅=-=uuu u r uu r ，所以1BD EG ⊥uuu r uuu r，即有1BD EG ⊥，故正确；对于D ，由B 可知P 点轨迹为002433z y =-+，令00y =，则043z =；令02z =，则02y =，所以P 3=，故正确.故选：BCD 10．BD【分析】结合递推式2142n n n a a a ++=-，取12a =-，求{}n a 的通项公式判断选项A 错误，求n S 判断B ，由递推式112n n n n b b b b ++-=，取10b =，判断C ，求数列{}n b 的通项公式判断D.【详解】因为2142n n n a a a ++=-，所以()1222n n a a +=++，所以当2,N n n *≥∈时，20n a +≥，若12a =-，则2,N n a n *=-∈，()log 2a n a +不存在，A 错误；因为12a =-时，2,N n a n *=-∈，所以20n a +=，所以0n S =，又()()211012nn a -+=-，所以可能()()21112n nn S a -=-+，B 正确；因为112n n n n b b b b ++-=，取10b =，则0,N n b n *=∈，此时1nb 不存在，C 错误；D 正确；故选：BD.11．AD【分析】设直线l 的斜率为k ，不妨设0p >，直线l 的方程为y kx p =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立求出12x x +，12x x ，12y y +，得()21,+Q pk pk p ，令12=-pk x 求出1y ，求出xy p '=，可得直线1l 的方程、直线2l 的方程，由22122⨯=AQ BQ x x k k p可判断C ；联立直线1l 、直线2l 的方程可得()2,-Q pk p 可判断A ；令0x =由()1110-=-x y y x p得()0,P p 可判断B ；由()0,P p 、M 点的纵坐标为2p-、()2,-Q pk p 可判断D.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设为k ，不妨设0p >，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线方程联立22y kx px py=+⎧⎨=⎩，可得22220x pkx p --=，222480∆=+>p k p ，所以122x x pk +=，2122x x p =-，21222+=+y y pk p ，所以()21,+Q pk pk p ，不妨令1222==x pk x p k所以221222=+-=++y pk p ky pk p由22x y p=得x y p '=，所以直线1l 的方程为()111x y y x x p -=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-，所以2221222221-⨯===-≠-AQ BQ x x p k k p p ，故C 错误；由()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得11x pk y kx y =⎧⎨=-⎩，可得((222x pk y k pk pk p k p =⎧⎪⎨=--+-=-⎪⎩，所以()2,-Q pk p ，所以21Q Q x ⊥轴，故A 正确；令0x =所以由()1110-=-x y y x p得212-=-=-+y y k p p(220,-+-N p k p ，而()0,P p，且222200pk p p pk k --+=-+=⇒=，故B 错误；因为()0,P p ，M 点的纵坐标为2p-，()2,-Q pk p ，所以322⎛⎫--= ⎪⎝⎭p p p ，()22---=p p p ，故M 为2PQ 近2Q 四等分点，故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】根据奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，可确定函数()f x 的周期，即可判断A ；设()()cos f x g x x=确定函数()g x 的奇偶性与对称性即可判断函数B ，C ；根据()()cos sin 0f x x f x x '+>可判断函数()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数()g x 的大致图象，根据直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，列不等式即可求k 的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πf x f x =-，所以()f x 的图象关于π2x =对称，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()πf x f x f x +=-=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；设()()cos f x g x x =，其定义域为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()ππ0cos cos πcos cos f x f x f x f x g x g x xx x x -+-=+=+=--，所以()g x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()cos f x x关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；又()()()()()cos cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为上的奇函数，结合()()π0g x g x +-=可得()()π0g x g x --+-=，即()()πg x g x -=-故()cos f x x是周期为π的函数，故B 错误；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x '+'=>，故()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，由于()g x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以()g x 在π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且当π2x →时，()2cos f x x →，又函数()g x 的周期为π，则可得()g x 大致图象如下：若直线y kx =与()()cos f x g x x =若有3个交点，则03π225π22k k k ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩或03π22π22k k k ⎧⎪<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得445π3πk ≤<或44π3πk -<≤-，故4444,,π3π5π3πk ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故D 错误.故选：AC.13．559【分析】将21x x-看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)x x-+的展开式的通项公式是26122316661C ()22C (1)C r r r r r s s r sr r T x xx ---+-=-⋅=-，令12230r s --=，则2312r s +=，故32r s =⎧⎨=⎩或60r s =⎧⎨=⎩或04r s =⎧⎨=⎩，所以261(2)x x-+的展开式中常数项为：3322660044636662C (1)C 2C 2C (1)C 4806415559⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯=++=，故答案为：559.14．[]15,85【分析】先根据MN 的最小值求出7CD =，即()()226849a b -+-=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离4127CD =++=，即()()226849a b -+-=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648a b a b ⎡⎤-+-⋅+≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当6834a b --=，即5168,55a b ==时，等号成立，即()234502549a b +-≤⨯，解得：153485a b ≤+≤.故答案为：[]15,8515【分析】首先求出2AF 的方程，联立两直线方程，即可取出A 点坐标，由21AB AF BF ==，即可得到B 为A 、1F 的中点，得到B 点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226c a =，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0F c ，所以2AF ：()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2AF b =，又21AB AF BF ==，所以B 为A 、1F 的中点，所以2,22a c ab c B c ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222122a c b c c ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-=，即44224b a c a -=，即()()222222+4b a b a c a -=，所以2224b a a -=，即225b a =，即2225c a a -=，所以226c a =，则离心率ce a==16．[)4,∞+【分析】不妨设12x x <，把1212()()f x f x x x --＞3化为()()11223f x x f x x <--3，构造函数()()3g x f x x =-，利用()g x 的导数()0g x '≥，求出k 的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<,∵()()12123f x f x x x ->-，即()()1212)3(f x f x x x <--，()()11223f x x f x x <--3,构造函数()()3g x f x x =-，∴()g x 在(0)+∞，是单调递增函数，∴()()13sin 30g x f x k x x ''=-=++-≥,∴()1sin 3,0,k x x x ∞⎛⎫≥-++∈+ ⎪⎝⎭当0x >时，10x >，[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 1x x+>-，所以1sin 34x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为[)4,∞+故答案为：[)4,∞+17．(1)π3【分析】（1）由向量的运算整理可得221122c b CB AO =-⋅uu r uuu r ，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233AD AB AC =+ ，再结合数量积可得221242999c bc b =++，利用基本不等式可得3bc ≤，再结合面积公式即可得结果.【详解】（1）取,AB AC 的中点,M N ，连接,OM ON ，则,OM AB ON AC ⊥⊥，可得：()cos cos NC AC AB AO AC AO AB AO OA A M A B O AB A A O C O OA =-=⋅-⋅=∠-∠⋅⋅uu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r u u r uuu r uuu r222211112222AB AC c b =-=-uu u r uuu r由()2222342cos cos 23CB AO r A B a S ⋅+---=uu r uuu r ，可得()2222223141cos 1cos 11sin 22322r A B a c b bc A +--+--=⨯，则()()2222232sin 2s 1in sin 2122r A r B a c b b c A --=++，即222223sin 21221a b a b A c b c +-=-+，整理得2222sin b A c a bc +⨯-，由余弦定理222cos sin 23b c a A A bc +-==，可得tan A =∵()0,πA ∈，故π3A =.（2）由题意可得：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则22221214433999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，可得：221242999c bc b =++，则2218244bc c b bc -=+≥，当且仅当224c b =，即2c b =时等号成立，即3bc ≤，则11sin 322S bc A =≤⨯故S18．(1)有，理由见解析(2)14(3)78(4)分布列见解析，()2E x =，2x =时，概率最大，理由见解析【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x =时，概率最大.【详解】（1）22100(10204030)5010.828406050503K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽取人数为601066040⨯=+，从3班抽取的人数为401046040⨯=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A ，抽到丙辅导丁为事件B ，则()4455A 1A 5P A ==，()3355A 1A 20P AB ==，()()()1112054P AB P B A P A ==÷=；（3）1班和3班总人数为100人，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为优秀的概率为17188-=.（4）由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以分布列为8811C 144xxx -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,,8x = ；数学期望()1824E x =⨯=，2x =时，概率最大，理由如下：令8171881111C 1C14444xxx xx x -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：54x ≥，令8191881111C 1C14444x xx xx x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：94x ≤，故5944x ≤≤，因为N x ∈，所以2x =.19．(1)()max A BCD V -3，此时13h R =，(2)存在K ，满足KC ⊥平面OAB ，理由见解析；1d =，223d R =.【分析】(1)设线段O O '的延长线与球的交点为1D ，则1A BCD D ABC V V --≤，设OAO θ'∠=，表示1D ABC -的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，过C 作KC OE ⊥，根据线面垂直判定定理证明KC ⊥平面OAB ，再通过解三角形求1d ，2d .【详解】（1）当点D 为线段O O '的延长线与球的交点时，点D 到平面ABC 的距离最大，所以1A BCD D ABC D ABC V V V ---=≤，由球的截面性质可得'⊥O O 平面ABC ，设OAO θ'∠=，π02θ≤<，则sin ,cos OO OA AO OA θθ''==，又,OA R AO r '==，所以sin ,cos OO R r R θθ'==，所以sin DO R R θ'=+，在ABC 中，π3BAC ∠=，由正弦定理可得π2sin cos 3BC r θ==，由余弦定理可得222π2cos3AB AC AB AC BC +-⋅=，所以22AB AC AB AC BC ⋅-⋅≤，故223cos AB AC R θ⋅≤，所以ABC 的面积221πsin cos 23S AB AC θ=⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立，所以()()12232111cos sin cos sin 133D ABC V S D O R R R θθθθ-=⋅≤⋅⋅+=⋅⋅+'，设()2cos sin 1y θθ=⋅+，令sin t θ=，则()()211y t t =-⋅+，01t ≤<所以()()2321311y t t t t '=--+=--+，当103t ≤<时，0y >' ，函数()()211y t t =-⋅+在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当113t <<时，0'<y ，函数()()211y t t =-⋅+在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当13t =时，函数()()211y t t =-⋅+，01t ≤<取最大值，最大值为3227，所以13D ABC V -≤，所以()max A BCD V -为327R ，此时1sin 3h OO R R θ'===，（2）由(1)点D 与点1D 重合，33AB AC BC R ===，又π3BAC ∠=，取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，则,OE AB CE AB ⊥⊥，OE CE E ⋂=，,OE CE ⊂平面OCE ，所以AB ⊥平面OCE ，过C 作KC OE ⊥，垂足为K ，因为KC ⊂平面OCE ，所以AB KC ⊥，AB OE E ⋂=，,AB OE ⊂平面OAB ，所以KC ⊥平面OAB ，由(1)AB BC AC ===，OA OB OC R ===，1133OO OA R '==，所以3OE R ==，CE ==，所以3O E '=，因为π2OO E CKE OEO CEK ''∠=∠=∠=∠，，所以CEK OEO ' ，所以EK CE EO OE ='，所以3EK R =，所以2EK OE =，所以O 为EK 的中点，又EO OO '⊥，所以E 到直线OO '的距离为3EO R '=，过K 作KM OO '⊥，垂足为M ，故点K 到OO '的距离为KM ，所以K 到直线OO '的距离为13d KM EO R '===，因为OO '⊥平面ABC ，O '为垂足，所以点O 到平面ABC 的距离为13OO R '=，过K 作KN CE ⊥，垂足为N ，则//KN OO '，所以KN ⊥平面ABC ，故点K 到平面ABC 的距离为KN ，又223KN OO R '==所以点K 到平面ABC 的距离为223d R =.20．(1)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(2)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【分析】(1)写出n S 的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【详解】（1）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()123111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12341111113572121222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1123111111322221222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()1111112212222n n n S n -+⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎝⎝-⎪⎪⎭⎭，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（2）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()111122n nn a A n B An B --⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎝⎭，则()122nn a An A B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2A =，5B =，故()()111232522n nn a n n -⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎝⎝-⎪⎭⎭所以()()112171111115723252292222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎝-⎭⎭-，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（3）因为()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()()122111122n nn c Dn En F D n E n F -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++ ⎪⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭，则()2122nn c Dn E D n F D E ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎦⎝-⎪⎣⎭，则1,4,8D E F ===，所以()()122114861322n nn c n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，即()()12211243422n nn c n n -⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++ ⎪⎪⎣⎦⎦⎝⎝-⎣⎭⎭，所以()()()()()()2111222222111111342444445434222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⎝+--⎭++所以()21613132nn T n n ⎛⎫=++ -⎪⎝⎭，所以()()()22811152513613188182212nnn nn n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<⎝⎭21．(1)C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.(2)点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，其轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆.(3)点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线12,l l 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt +=，再求出D 点的坐标，结合,m t 的关系式即可求解.【详解】（1）由题意可知：24F E =，1CF CE =，因为12221242CF CF CE CF EF F F +=+==>=，所以C 点的轨迹是以12,F F 为焦点，24a =为长轴长的椭圆，则2223b a c =-=，所以C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）当直线1l 与x 轴重合时，点(0,0)P ；当直线1l 与x 轴不重合时，设直线1l 的方程为：1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，所以212122268()223434t x x t y y t t -+=+-=-=++，则12212242343234P P x x x t y y t y t +-⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y ++=，即221()21(0)13416x y x ++=≠，综上所述：点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，点P 的轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l 与x 轴重合时，点(0,0)Q ；当直线2l 与x 轴不重合时，设直线2l 的方程为：1x my =+，3344(,),(,)M x y N x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：22(34)690m y my ++-=，则342634my y m -+=+，342934y y m -=+，所以234342268()223434m x x t y y m m -+=++=+=++，则34234242343234Q Qx x x m y y m y m +⎧==⎪⎪+⎨+-⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y -+=，即221()21(0)13416x y x -+=≠，综上所述：点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，点Q 的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；（3）由（2）知：2243(,)3434tP t t -++，2243(,)3434m Q m m -++，因为//PQ x 轴，所以22333434t mt m -=++，即(34)()0mt m t ++=，又因为且12l l D ⋂=，所以340mt +=，也即43m t=-，联立12,l l 可得：11x ty x my =-⎧⎨=+⎩，解得：212D D t x t my t m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩消参可得：24123(1)y x x ++=+，即22134y x +=，所以点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.22．(1)证明见解析；(2)(],1-∞-【分析】（1）利用同构，转化为()()1e ln e e kx kx f x x x =-.构造函数1ln ey t t =-，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e≥+f x 转化为()()ln 12e ln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.构造函数()e mg m m =-，利用导数判断出单调性，转化为2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，分离参数后，构造函数()()ln ,01xh x x x=-->，利用导数求出()min h x ，即可求解.【详解】（1）函数()11e ln -=-+kx f x x kx x 的定义域为()0,∞+.()11e ln-=-+kx f x x kx x 1e ln e kxx kx x =--()1e ln e ekx kx x x =-.令(),0e kxt x t =>，则1ln ey t t =-.因为11e e e t y t t -'=-=，所以当0<e t <时，0'<y ，1ln ey t t =-单减；当t e >时，0'>y ，1ln ey t t =-单增.所以1e ln e=0ey ≥⨯-，即0y ≥，所以()0f x ≥成立.（2）()211e≥+f x 即为121e ln e 1kx x kx x ---+≥+，亦即为ln 12e e ln 1e 2x kx kx x ----+≥+，可化为()()ln 12eln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.不妨设()e m g m m =-，则()e 1mg m '=-.当0m <时，()0g m '<，()e m g m m =-单减；当0m >时，()0g m '>，()e mg m m =-单增.所以当0ln 1kx x +-<时，有2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立.即l 1n xk x--≤.令()()ln ,01x h x x x =-->，则()2ln xh x x'=.所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增所以()()min 11h x h ==-.即1k ≤-.综上所述：k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式．。
2022年河北省衡水市第十四中学高三数学文上学期期末试题含解析
2022年河北省衡水市第十四中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C2. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数，则Q(x)是( )A． B．f (x)g (x)C．f ( x ) – g ( x ) D．参考答案：D略3. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）A．130 B．134 C．137 D．140高考资源参考答案：B略4. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A．y=sin2x B．y=|cosx| C．y=﹣tanx D．参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据函数以π为最小正周期，y=cos的周期为=4π，可排除D．在区间上，2x∈（π，2π），y=sin2x没有单调性，故排除A．在区间上，y=﹣tanx单调递减，故排除C，故只有y=|cosx|满足以π为最小正周期，且在区间上为增函数，故选：B．5. 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P ﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1 B．2 C．D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意确定棱锥P﹣ABC的正视图的面积，三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．【解答】解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，所以三棱锥P﹣ABC的正视图的面积为=1；三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值为=，所以三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为=2，故选：B．6. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．7. 已知向量BC D参考答案：D8. 已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．【解答】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．9. 如图，在三棱锥中，面，，，，，则（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．10. 已知函数。
河北省衡水中学2022届高三数学试题
河北省衡水中学2022届高三上学期六调数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）A ．y n =（0m >）B ．y mx n =+（0m >）C ．2y mx n =+（0m >）D ．x y ma n =+（0m >，0a >且1a ≠）2．要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向上平移4π个单位D ．向下平移4π个单位3．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 12,π则椭圆C 的方程为（ ） A ．221916x y +=B ．22134x y +=C ．2211832x y +=D ．221436x y +=4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．2xey x =B ．()21x xe y x+=C ．2xe y x=D ．22xe y x=5．在正方体1111ABCD A B C D -中，过点D 作直线l 与异面直线AC 和1BC 所成角均为θ，则θ的最小值为（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.已知()4x f x ae =--在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)4,0-C ．(],4-∞-D ．(],4-∞7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A．3B ．CD ．2二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），则()10.5P ξ>=10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．311．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x 12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为3πD ．球离球托底面DEF 1三、填空题13．已知集合{}1,0,1A =-，02x B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =_____________． 14．在6x ⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为 _______15．如图，已知抛物线2y x =及两点()110,A y 和()220,A y ，其中120y y >>.过1A 、2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B 、2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点()330,A y ，此时就称1A 、2A 确定了3A .依此类推，可由2A 、3A 确定4A 、.记()0,n n A y ，1n =、2、3、.给出下列三个结论：①数列{}n y 是递减数列；①对任意*n ∈N ，0n y >；①若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．四、解答题17．已知数列{}n a 满足：2112322216n n a a a a n -++++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令12log 2n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=，F 是平面ABCD 外一点，在四边形ADEF 中，EA 交FD 于点M .4FD =，2AM =，1ME =，DF =FA CD ⊥.(1)证明：FA ⊥平面ABCD ；(2)求平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值.19．①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a +c =2bcosA . （1）证明：B =2A ；（2）设D 为BC 边上的中点，点E 在AB 边上，满足DE CB DE CA ⋅=⋅，且b =，四边形ACDE ，求线段CE 的长.20．如图所示，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1P -，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过Р作两条直线分别交椭圆C 于两点A ，B ，直线PQ 平分APB ∠，且直线AB 过点()1,0R -，求四边形PAQB 的面积．21．十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为1p ，2p ． (1)若13p 4=，223p =，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当1265p p +=，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？22．已知函数()()ln (0)f x mx x m =->有两个不同的零点1x ，2x . (1)求m 的取值范围；(2)若212x x >，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】根据函数y x =，y =2yx ，12,2xxy y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象特征判断.【详解】在同一坐标系中作出函数y x =，y =2yx ，12,2xxy y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在第一象限的图象，如图所示：由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是y n =（0m >）， 故选：A 2．A【解析】先变形：)2y x x π+，再根据左加右减原理即可得解.【详解】因为)2y x x π=+，所以由函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，根据左加右减，只需向左平移4π个单位. 故选：A. 3．A【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a 、b 的方程组，求解方程组即可得答案．【详解】解：由题意，设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b+=>>，因为椭圆C12π，所以12c e a ab ππ⎧⎪===⎨⎪=⎩2216,9a b ==，所以椭圆C 的方程为221169y x +=，故选：A. 4．C【分析】根据题意，用排除法分析排除A 、B 、D ，综合可得答案． 【详解】根据题意，用排除法分析：对于A ，()2xf x ex =，当0x <时，有()0f x <，不符合题意，对于B ，当0x <时，()()210x x e f x x+=<，不符合题意，对于D ，()22x f x e x=，()2218e f =<，不符合题意，故选：C ． 5．B【解析】计算异面直线AC 和1BC 所成角，则θ的最小值为异面直线AC 和1BC 所成角的一半 【详解】解：因为AC ①11A C ，所以11BC A ∠为异面直线AC 和1BC 所成角， 因为1111AC BC A B ==，所以11A BC 是等边三角形，所以1160BC A ∠=︒，过点B 作直线l 的平行线'l ，则当'l 与11BC A ∠的角平分线平行时，θ取得最小值为30︒， 故选：B【点睛】此题考查异面直线所成角，属于基础题． 6．B【分析】由()()f x f x -=-得出a （用x 表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．【详解】因为()4x f x ae =--，所以()4x f x ae --=--，所以44x x ae ae ---=+，则8e e x x a -=-+.因为2x xe e -+≥（当且仅当0x =时，等号成立），所以84e e x x--≥-+，即40a -≤<.故选：B ． 7．B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种， 故选：B.8．A【详解】[方法一]：特殊值法2,1x y ==+12xy λμ+=+=+>故选A [方法二]：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P xy 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 9．BCD【分析】直接利用方差关系式的变化和原数据的关系，回归直线方程，相关系数的关系式，正态分布的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：对于A ：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的2a 倍，故A 错误；对于B ：设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，35(1)355y x x =-+=--，所以平均减少5个单位，故B 正确；对于C ：线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0线性相关性越弱，故C 正确；对于D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，对称轴为1μ=则(1)0.5P ξ>=，故D 正确；故选：BCD ． 10．AC【分析】根据2a ，31a +，4a 成等差数列，以及数列前4项的和为114a +，求出a 3，再根据2a ，3+1a ，4a 成等差数列，将各项化为a 3和q ，进而求出q .【详解】因为2a ，31a +，4a 成等差数列，所以()2432+1a a a +=，又因为数列前4项的和为114a +，所以1431231332144a a a a a a a a +=+++⇒+==+， 而数列公比为q ，再根据()24321a a a +=+有，()331115214102a q a q q q q q ⎛⎫⎛⎫+=+⇒+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2q或12q =. 故选：AC. 11．ABD【分析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，f x 的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩， ()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin 11 1.74f x π=+>+=+>>D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题. 12．BCD【分析】求出ABC 外接圆面积判断A ，作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B ，根据直线民平面所成的角定义判断C ，求出球心到平面DEF 的距离可判断D ． 【详解】根据图形的形成，知,,A B C 三点在底面DEF 上的射影分别是DEF 三边中点,,M N P ，如图，ABC 与MNP △全等且所在面平行，截面圆就是ABC 的外接圆与MNP △的外接圆相同．由题意MNP △的边长为1，其外接圆半径为1r ==213S r π==，A 错；由上面讨论知AC 与MP 平行且相等，而MP 与NF 平行且相等，因此AC 与NF 平行且相等，从而ACFN 是平行四边形，//CF AN ，所以DAN ∠是异面直线AD 与CF 所成的角（或其补角）．由已知，2AD =，DN =2AN CF ==， 2224435cos 22228AN AD ND DAN AN AD +-+-∠===⋅⨯⨯，B 正确；由平面ADE 与平面DEF 垂直知AE 在平面AEF 内的射影是DE ，所以AED ∠为直线AD 与平面DEF 所成的角，此角大小3π，C 正确． 由上面讨论知1AB BC CA ===，设O 是球心，球半径为R ，由34433R ππ=得1R =，则O ABC -是正四面体，棱长为1，设H 是ABC 的中心，则OH ⊥平面ABC ，又CH ⊂平面ABC ，所以OH CH ⊥，CH =，则OH ==AM =所以球离球托底面DEF 1-，D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间折叠问题，掌握空间的垂直关系是解题关键．由垂直平行关系得出ABC 与MNP △全等且所在面平行，从而易得截面圆与MNP △的外接圆相同，从而可得//CF AN ，得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性质求得其高，得出距离的最小值． 13．{1}【分析】结合已知条件求出集合B ，然后利用集合的交运算即可求解. 【详解】由02xx>-可知，(2)0x x ->，即(2)0x x -<， 解得02x <<，从而{|02}B x x =<<， 因为{}1,0,1A =-， 所以{1}A B ⋂=. 故答案为：{1}. 14．154##3.75 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解﹒【详解】二项式的通项公式366216612rrr r rr r T C x C x --⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝＋＝＝． 令3632r -＝可得2r ＝，则3x 的系数为226111515244C ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭＝＝．故答案为：15415．①①①.【分析】根据题意得出数列{}n y 的递推公式，结合数列{}n y 的递推公式对题中三个命题进行分析，可得出结论.【详解】由题意知，()2111,n n n B y y ---，()2222,n n n B y y ---，直线12n n B B --的斜率为122212121n n n n n n y y y y y y -------=-+， 则直线12n n B B --的方程为()211121n n n n y y x y y y -----=-+，令0x =，则21112n n n n y y y y y ------=+，1212n n n n y y y y y ----∴=+，即1212n n n n n y y y y y ----=+，在等式1212n n n n n y y y y y ----=+两边取倒数得12111n n n y y y --=+.10y >，20y >，由此可得出30y >，40y >，，命题①正确；121110n n n y y y ---=>，则111n n y y ->，由①知，对任意的n N *∈，0n y >， 1n n y y -∴<，即数列{}n y 是单调递减数列，命题①正确；若14y =，23y =，则3127y =，41211y =，323y =，命题①正确. 故答案为：①①①.【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查数列基本性质的判断，解题的关键就是求出数列的递推公式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．【分析】由余弦定理及所给等式可得22cos 4sin 6a bc A bc Aπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2sin a A =，然后利用正弦定理进行边化角可整理得tan tan tan B C B C +=，再由tan tan()A B C =-+可推出tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，令tan tan 1(0)B C m m ⋅-=>将所求式子整理为关于m 的函数，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc Aπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sinsin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =， 所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sinsin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C AB C ++=⋅⋅，则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1B C A B C B C B C B C +++=⋅⋅=⋅-．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++=1223(22)m m m ⎫=++=⎪⎭当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的应用，换元法的应用等，属于较难题．根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问题的一般方法：（1）利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；（2）利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解．17．（1）52nn a -=，*n ∈N ；（2）()9212n n n n T -=+-，*n ∈N .【分析】（1）利用n a 与n S 的关系，即可求出{}n a 的通项公式；（2）5112log 2252n n n n b n ---=+=-+，利用分组求和即可求出数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】解：（1）当1n =时，116a =，当2n ≥时，2211231222216n n n n a a a a a n ---++++=，①()221231222161n n a a a a n --++++=-，①①-①得1216n n a -=，52n n a -∴=，当1n =时，116a =满足通项公式， 52n n a -∴=，*n ∈N .（2）5112log 2252n n n n b n ---=+=-+，()()()()012142322252n n T n -=++++-+++-+()()012143252222n n -=++++-+++++⎡⎤⎣⎦()9212n n n -=+-，*n ∈N .18．(1)证明见解析【分析】（1）通过证明,FA AD FA CD ⊥⊥来证得FA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值. (1)在EAD中，由余弦定理，得1cos 2DAE ∠==， 所以60DAE ∠=︒，所以ADM △为等边三角形. 所以2MA MD MF ===，则FA AD ⊥， 又,FA CD AD CD D ⊥=， 所以FA ⊥平面ABCD . (2)设G 是CD 的中点，60,ADC ABC AD CD ∠=∠==， 所以三角形ACD 是等边三角形，所以,AG CD AG AB ⊥⊥， 由（1）知，FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AG ⊥⊥，以A 为坐标原点，,,AB AG AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),2A C M ⎛- ⎝，所以1(1,3,0),2AC AM ⎛==- ⎝. 设平面MAC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100n ACn AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得0102x x y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩, 令x =1(3,1,1)n =-.又平面ABCD 的一个法向量为2(0,0,1)n =，所以1212111cos ,5n n n nn n ⋅〈〉===⋅所以平面MAC 与平面ACB 【点睛】19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）结合正弦定理边化角，然后化简证明即可； （2）根据题意作出图形，然后结合正余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）由正弦定理得①s sin 2sin c i o n s C B A A +=()sin sin 2cos sin A A B A B ⇒++=sin sin cos cos sin 2cos sin A A B A B A B ⇒++= sin cos sin sin cos A A B A B ⇒=-sin sin()A B A =-①A ，B ①(0，π) ①A =B -A ①B =2A（2）由0DE CB DE CA DE AB ⋅=⋅⇒⋅=①DE ①ABsin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A====①cos 2b a A ===①6A π=，3B π=，2C π=①1cos 4BE DB B a ==而四边形ACDE的面积21172224ACD AED a a S S S b ∆∆=+=⨯+⨯=22a == 由余弦定理得①CE == 20．（1）22182x y +=；（2【分析】（1）由题知224a b =，22411a b+=，进而解得28a =，22b =，即椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）根据题意，设AB ：()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，进而与椭圆联立方程得212221228414841k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再根据直线PQ 平分APB ∠0AP BP k k +=，进而化简整理得22651091k k k ++=-，解得12k =-，1212172x x x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，进而得121212y y x x -=-=，最后计算四边形PAQB的面积1212S PQ y y =-. 【详解】解：（1）由离心率c e a===224a b =（*）， 由于点()2,1P -在椭圆C 上，故22411a b+=（**）， 联立（*）（**）得28a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由直线AB 过点()1,0R -，可设AB ：()1y k x =+，它与椭圆C 的方程联立得()2222418480k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212221228414841k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，① 因为直线PQ 平分APB ∠，所以0AP BP k k +=，即()()12121111022k x k x x x +++++=--，整理得()()()121221410kx x k x x k --+-+=，将①代入上式并化简得22651091k k k ++=-， 所以12k =-，所以1212172x x x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以121212y y x x -=-=， 所以四边形PAQB的面积1211422S PQ y y =-=⨯= 【点睛】本题考查椭圆的方程的求解，椭圆中的四边形的面积问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将直线PQ 平分APB ∠转化为0AP BP k k +=，进而设AB 方程()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，通过设而不求计算得12k =-,最后结合1212S PQ y y =-求解面积. 21．(1)23(2)19轮竞赛【分析】（1）分甲答对1次，乙答对2次，甲答对2次，乙答对1次，甲答对2次，乙答对2次三类求解；（2）先求得获“优秀小组”的概率的最大值，设他们小组在n 轮竞赛中获“优秀小组”的次数为ξ，由(),B n P ξ'求解.【详解】（1）解：由题可知，所有可能的情况有：①甲答对1次，乙答对2次的概率121212231214436P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ①甲答对2次，乙答对1次的概率22122232114334P C C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； ①甲答对2次，乙答对2次的概率2222322321434P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故所求的概率11164342P =++=． （2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率()1222221122211P C p p C p C p '=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅()1222222221221C p p C p C p ⋅⋅-+⋅⋅⋅()()212121223p p p p p p =⋅+-． 因为101p ≤≤，201p ≤≤，1265p p +=， 所以1115p ≤≤，2115p ≤≤， 所以()212121235P p p p p '=-， 由基本不等式212129225p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1235p p ==时，等号成立， 所以12192525p p ≤≤，令12t p p =， 则()2212212335525P h t t t t ⎛⎫'==-+=--+ ⎪⎝⎭，19,525t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当925t =时，max 297625P '=， 设他们小组在n 轮竞赛中获“优秀小组”的次数为ξ，则(),B n P ξ'，由max 9nP '=，得96251929733625n ==≈，所以理论上至少要进行19轮竞赛．22．(1)(e,)+∞ (2)2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由()0f x =分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.（2）由()()1122ln ,ln mx x mx x ==整理得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用换元法表示12,x x ，通过构造函数法，利用导数证得10ln 21x <<<，结合（1）求得m 的取值范围.(1)()f x 的定义域为{}0x x >. 令()0f x =，得e =xm x， 令()(0)x e g x x x=>，则2e (1)()-'=x x g x x ， 令()0g x '=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增.所以min ()(1)e g x g ==，当x 趋近于0时，y 趋近于+∞；当x 趋近于+∞时，y 趋近于+∞，所以(e,)m ∈+∞.(2)()()1122ln ,ln mx x mx x ==， 两式相减，得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令212x t x =>，则1ln (1)t t x =-， 故12ln ln ,11t t t x x t t ==--， 记ln (),21t h t t t =>-， 则211ln ()(1)t th t t '--=-， 构造函数()()11ln 2H t t t t=--≥， ()'22111t H t t t t-=-=，所以()H t 在[)2,+∞上()()'0,H t H t <递减， 由于()11121ln 2ln 20222H =--=-<-=， 所以当2t >时，()0H t <， 所以211ln ()0(1)t t h t t -'-=<-，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==， ()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=， 即2,ln 2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】根据函数()f x 的零点个数来求参数的取值范围，可采用导数来进行研究，具体步骤是：首先令'0f x ，然后分离参数，接着构造函数，然后利用导数研究所构造的函数，再结合零点个数来求得参数的取值范围.。
2022年河北省石家庄市衡水中学高三数学理模拟试卷含解析
2022年河北省石家庄市衡水中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）．A．B．C．D．参考答案：D：的，在区间上先减后增；：的，在区间上为增函数；：的，在区间上为减函数；：符合，且在区间上为减函数．∴选择．2. 复数的共轭复数为，若，则a=A.±1B. ±3C. 1或3D. －1或－3参考答案：A3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，即,所以，故选C.考点：二项分布.4. 以下判断正确的是A．函数为R上的可导函数，则“”是“为函数极值点”的充要条件B．命题“存在x∈R，<0”的否定是“任意x∈R，>0”．C．命题“在ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题．D．“b=0”是“函数是偶函数”的充要条件．参考答案：D5. 已知为第三象限角，且，则的值为A． B． C． D．参考答案：B略6. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：且最后发现，两个分类变量X和y没有任何关系，则m的可能值是A．200 B．720 C．100D．180参考答案：B7. 若将正方体(如图4－1)截去两个三棱锥，得到如图4－2所示的几何体，则该几何体的侧视图是图4-1 图4-2A．B．C．D．参考答案：B8. 已知数列的前n项和，且，猜想等于A. B. C. D.参考答案：B9. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点与的夹角为,且，则b=( )A．1 B． C. D．参考答案：B本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差得.因为,所以.即.设直线的倾斜角为，则或，.又,由，解得,即.10. 已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2－5x+4＜0},则集合A∩B的子集的个数为( )A. 4B.3C. 2D. 1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面向量的夹角为60°，13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝ .参考答案：略12. （不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .参考答案：.不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.13. 已知，，，则x．y．z的大小关系为；参考答案：14. 若函数有零点，则k的取值范围为_______.参考答案：； 12 .15. 公差不为0的等差数列的前n项和，若成等比数列，则.参考答案：1916. 正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为____ ．参考答案：如图3，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.17. 某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
衡水市冀州区第一中学2022届高三上学期期末考试数学答案
期末高三数学答案1．B 2．C 3．A 4．C5．B6．B【解析】设AB与CD的夹角为，因为AB2,2，CD3,4，所以cos682．故选：B10225bb7．B【解析】由题意，可设P x,x，则Q x,x，aac c bc c bc因为OF QP，且F c,0，可得2xc，即x，所以P,，Q,，222a22a2c c bc bc b0，则3，又QF OP，所以QF OP0，即c222a2a ab所以C的离心率e12.故选B.a28．A【解析】如图，G是△BCD的外心，AG是正四面体ABCD的高，O是外接球球心，O 在AG上，设半径为R，23DG623,AG AD2DG262(23)226,32由OD2OG2DG2得R2(26R)2(23)2，解得R所以EG2R AG236，23632693，266，S△BCD421所以VE BCD93692．故选：A．39．BCD【解析】等差数列an中，a4a110，a4a11a7a8，a10，a7a8a70,a80，公差d0，数列an是递减数列，A错误S9S6a7a8a93a80，S6S9，B正确.a70,a80，数列an是递减数列，当n7时，Sn最大,C正确.a4a110,a70,a8S1414a1a1414a4a1115a1a15152a80,S150.2222当Sn0时，n的最大值为14,D正确.故选:BCD.10．BC【解析】A：由a b c 可知AB C ，且b 2c 24136a 2，所以A 是锐角，故A 不能判断；B：由AB BC accosB2a ,得cosB 0，则B 为钝角，故B 能判断；C：由正弦定理a b c12，得b 2c 2a 2bc ，则cosA ，A ，故C 能判断；c b a b 23D：由正弦定理，条件等价于sin 2B sin 2C sin2C sin 2B =2sinB sin C cosB cos C ，则sinB sinC cosB cos C ，即cos(B C )0，故B C 故选：BC 11．ACD【解析】由10a4,10b 25，得a lg4,b lg25，则a b lg4lg25lg1002，b a lg25lg4lg 所以b a lg 错误.12．ABD【解析】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况有且只有一种情况发生，所以P M 1252525lg6，lg lg10，，由于lg 4442，则A 2，故D 不能判断.252lg6，b a 1，所以ab 4lg2lg54lg2lg48lg2，故ACD 正确，B41，故A 正确；2224对于B，8支球队抽签分组共有C 870种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有C 6A 230种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率P M3对于C，因为P M 1P M 1303，故B 正确；7071，所以P M 1P M 21P M 3，故C 错误；22C 63133对于D，因为P M 1M 34，P M 1P M 3，所以C 8142714P M 1M 3P M 1P M 3，所以事件M 1与事件M 3相互独立，故D 正确.故选：ABD.13．314．乙【解析】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.故答案为：乙．15．x 2y 420；【解析】设所求圆的圆心为(a,b)，22因为圆C :x 2y 22x 4y 0的圆心为1,2，与原点连线的斜率为k 2，b 又所求圆与已知圆外切于原点，2，①所以所求圆的半径满足r 2a 2b 2，a 又被y 轴截得的弦长为8，a 242a 2b 2②，由①②解得a 2,b 4，所以圆的方程为x 2y 420.x 16．e【解析】f x e 22a ，若a 0，则当x 0,时，f x 0，f x 单调递增，x 此时f x 不存在极值，不符合题意，所以a 0，易知f x 在0,上单调递增，且当x 0时，f x，当x 时，f x ，所以存在唯一的x 00,，使得f x00.当x 0,x 0时，f x 0，f x 单调递减；当x x 0,时，f x 0，f x 单调递增.x 0x 所以f x 的极小值f x0e 0alnx 0a ，因为e a ，x 0所以a 1a lnx 0a ，即lnx 01，设g x 1lnx ，因为g x 1210，x 0x 0xx x x 所以g x 在0,上单调递减，又g 11，所以x 01，从而a x 0e 0e .17.【解析】（1）设等差数列a n 的公差为d ，因a 4a 822，则2a 622，即a 611，于是得da 6a 51192，（2分）从而有a na 5(n 5)22n 1，所以a n 的通项公式是a n2n 1.（4分）（2）若选择①②：设等比数列b n的公比为q ，因b1a 1，b 3a 1a 2，由(1)知，b 11，b 34，而S 37，则b 2S 3b 1b 32，即有q b 22，（6分）b 1于是得S n b 11q n1q 2n 1，因S n2021，即2n 12021，而n N ，解得n 10，则n max10，所以满足S n 2021的n 的最大值为10.（10分）若选择①③：设等比数列b n的公比为q ，2因b 1a 1，b 3a 1a 2，由(1)知，则b 11，b 34，由q b 34，解得q 2，b 1又b n 1b n ，则有q 2，（6分）于是得S n n max 10，b 11q n1q 2n 1，因S n 2021，即2n 12021，而nN ，解得n 10，则所以满足S n 2021的n 的最大值为10.（10分）若选择②③：设等比数列b n 的公比为q ，因S 37，由(1)知，b 11，则1q q 27，解得q 而b n 1b n ，则有q 2或q 3，2，（6分）于是得S n n max 10，b 11q n1q 2n 1，因S n 2021，即2n 12021，而nN ，解得n 10，则所以满足S n 2021的n 的最大值为10.（10分）18．【解析】（1）EF //平面AB 1C 1.证明如下：取BB 1的中点H ，连接EH ，HF ，如图，因为E 为AB 的中点，所以EH //AB 1，又EH 平面AB 1C 1，AB 1平面AB 1C 1，所以EH //平面AB 1C 1.（2分）因为BB 1//CC 1，BB 1CC 1，H 为BB 1的中点，F 为CC 1的中点，所以B 1H ∥C 1F ，所以四边形B 1HFC 1为平行四边形，所以HF //B 1C 1.因为HF 平面AB 1C 1，B 1C 1平面AB 1C 1，所以HF //平面AB 1C 1.因为EH HF H ，所以平面EFH //平面AB 1C 1，又EF 平面EFH ，所以EF //平面AB 1C 1.（4分）（法二：取线段AB 1的中点M，连接EM,C 1M ,可证EF //平面AB 1C 1）（2）因为AB //CD ，AB 平面ADD 1，所以CD 平面ADD 1.222因为AD DD 11，AD 12，所以ADDD 1AD 1，所以AD DD 1.（6分）故可以D 为坐标原点，DD 1，DC ，DA 的方向分别为x 轴y 轴z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz ，如图，易知CD3，则C 1(1,3,0)，A (0,0,1)，B 1(1,2,1)，D 1(1,0,0)，所以AC 1(1,3,1)，AB 1(1,2,0)，AD 1(1,0,1).（8分）设平面AB 1D 1的法向量为n (x,y,z)，n AB10,x 2y 0,则所以取y 1，得n (2,1,2)，（10分）x z 0,n AD 0,1设直线AC 1与平面AB 1D 1所成的角为，则sin cos AC 1,n AC 1n AC1|n |311，11311所以直线AC 1与平面AB 1D 1所成角的正弦值为11.（12分）1121．【解析】（1）（1）当a11x 时，f(x)e lnx x ，22111111f x e x lnx x e xe x lnx x ，22x 2x 2111111x 22x 2(x 1)21令g(x)lnx x ，则g (x)20，2x 2x 2x 2x 22x 2111所以g(x)lnx x 在(0,)上是减函数.2x 2由于g(1)0，所以当0x 1时，g(x)0，即f x 0，当x >1时，g(x)0，即f x 0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.（2）由于e x 0，所以f(x)e x (ln x ax)的零点个数即h(x)lnx ax 的零点个数.h (x)11ax a ，x x当a 0时，h (x)0，所以h(x)在(0,)上单调递增，aa a 又h e a ae a 1e 0，h(1)a 0，所以h(x)有唯一零点.当a 0时，h(x)lnx ，h(x)有唯一零点x 1.当a 0时，令h (x)0，得0x 11，令h (x)0，得x ，a a11所以h(x)在0,上单调递增，在,上单调递减，a a 11所以h(x)max h ln 1lna 1.a a 1当lna 10，即a 时，h(x)max 0，h(x)没有零点.e 1当lna 10，即a 时，h(x)max 0，h(x)有唯一零点.e 当lna 10，即0a又h(1)a 0，且11时，h(x)max 0，e 11，所以h(x)在0,上有唯一零点.aa 11x 由（1）知，当x 1时，e lnx x e ln10，221则lnx x ，lnx 2x ，e x x 2，21111又e ，所以e a ，a aa 211111a h e ae a a 20，a a a 1所以h(x)在,上有唯一零点.a 111因此，当a 0或a时，f(x)有唯一零点；当a 时，f(x)没有零点；当0a 时，f(x)e ee 有两个零点.20．【解析】（1）由题意知a ，c 可以分别表示为b 1，b 1，C 2A,sin C sin 2A 2sinA cosA ,得cosA b 1．（2分）2b 122b 2b 1b 1b 4由余弦定理得cosA，（4分）2b b 12b 1b 4b 1所以，解得b 5．（6分）2b 12b 1（2）由（1）知b 5，c 6，cos BAC因为cos所以37，则sin BAC ．4472，且0，所以sin ，（8分）2337732732434312sin CAD sin BAC sin BAC cos cos BAC sin（10分）1173235152．（12分）bcsin CAD 562212411x 21．【解析】（1）（1）当a 时，f(x)e lnx x ，22则CAD 的面积S111111f x e x lnx x e x e x lnx x ，22x 2x 2111111x 22x 2(x 1)21令g(x)lnx x ，则g (x)2（2分）0，2x 2x 2x 2x 22x 2111所以g(x)lnx x 在(0,)上是减函数.2x 2由于g(1)0，所以当0x 1时，g(x)0，即f x 0，当x >1时，g(x)0，即f x 0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.（4分）（2）由于e x 0，所以f(x)e x (ln x ax)的零点个数即h(x)lnx ax 的零点个数.h (x)11ax a ，x x当a 0时，h (x)0，所以h(x)在(0,)上单调递增，a a a 又h e a ae a 1e 0，h(1)a 0，所以h(x)有唯一零点.（6分）当a 0时，h(x)lnx ，h(x)有唯一零点x 1.（7分）当a 0时，令h (x)0，得0x 11，令h (x)0，得x ，a a 11所以h(x)在0,上单调递增，在,上单调递减，a a 11所以h(x)max h ln 1lna 1.a a 1当lna 10，即a 时，h(x)max 0，h(x)没有零点.e 1当lna 10，即a 时，h(x)max 0，h(x)有唯一零点.e 当lna 10，即0a 又h(1)a 0，且11时，h(x)max 0，e 11，所以h(x)在0,上有唯一零点.a a 11x 由（1）知，当x 1时，e lnx x e ln10，222111112x 2则lnx x ，lnx x ，e x ，又e ，所以e a ，a 2a a 111111h e a ae a a 20，所以h(x)在,上有唯一零点.a a a a 111因此，当a 0或a 时，f(x)有唯一零点；当a 时，f(x)没有零点；当0a 时，f(x)e e e 有两个零点.（12分）22．【解析】（1）由y ae ，两边同时取自然对数得lny ln(a e bt )lnabt ，2设v lny ，可得v lna bt ，因为t 4，v 3.25，t i 140，i 17bt 7所以b tv t i 1i 172ii i7tv7(t )2103.6074 3.2512.60.45，140742283.250.454 1.45，解得a 4.26，又由lna v bt 即y 关于t 的回归方程为 4.26e 0.45t .（4分）y （2）（i）当实施禁渔令以后，c 0，要使得鱼群数量增加，则b37sin x cosx0x，解得，（6分）e x44331，124（ii）根据题意知c设函数f(x)2sinxsinx cosx3f(x)，则，（8分）e x4e x令f(x)0，可得x，当x(0,)时，f()0；当x(,2)时，f(x)0，所以当x时，f(π)取得最大值130. eπ4此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.（12分）。
河北省衡水中学2022届高三下学期素养提升五数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A ．若与共面，则与共面B ．若与是异面直线，则与是异面直线C ．若==，则D ．若==，则=2. 设随机变量，且，则实数a 的值为 A ．10B ．8C ．6D ．43. 设定义在R 上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知命题，，则为（ ）A．，B ．，C ．，D ．，5. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．6. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.012B ．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在内的学生人数为1107. 已知，若，则（ ）A．B．C．D．8.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）A．B ．1C ．2D．9.已知向量，，函数则下列选项正确的（ ）A ．函数是偶函数B ．函数的值域为C ．函数在区间内所有零点之和为河北省衡水中学2022届高三下学期素养提升五数学试题 (2)河北省衡水中学2022届高三下学期素养提升五数学试题 (2)三、填空题四、解答题D．将函数图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点向下平移个单位长度，最后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象10.设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ）A．B．当时，的取值范围为C ．为奇函数D ．方程仅有3个不同实数解11. 下列说法中，正确的是（ ）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．一组数据的第60百分位数为14C ．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2D ．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差12. 设直线系，下列命题中的真命题有（ ）A ．中所有直线均经过一个定点B ．存在定点不在中的任一条直线上C ．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上D ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等13. 已知函数的最小值为，则______.14. 已知，，则___________.15. 计算（i 为虚数单位）的值为______.16. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.17. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.18.如图，在三棱柱中，，.(1)证明：；(2)若，，，点E为的中点，求三棱锥的体积.19. 设平面向量，，函数．（1）当时，求函数的取值范围；（2）当，且时，求的值．20. 在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下题号12345实测答对人数161614148(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.21. 为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．。
河北省衡水中学2022年高三第六次重点考试数学(理)试卷
河北省衡水中学2022年高三第六次重点考试数学（理）试卷(理科试卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，则A B =( )A ．()0,2B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,22．假如复数miim -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B.1 C. 2- D.23．焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为( )A ． 060 B ． 030 C ． 0150 D ．0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域。
在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ． 13D ．12 6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 3 7．在ABC ∆中, AM AC AB 2=+，1AM =,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+等于( )A ．49 B ．43 C ．43- D ．49- 8. 函数)sin()(ϕω+=x x f （R x ∈）)20(πϕω<>,的部分图像如图所示，假如)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （ ） A ．21B ．22C ．23D ．19. 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足为H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ）xy O6π-3π1A ．点H 是BD A 1∆的垂心B ．AH 垂直平面11D CBC ．AH 的延长线通过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为04510.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范畴为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1） 11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时， OM ON ⋅的取值范畴为 （ ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,012．已知函数()()21(0)()110xx f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝（ ） A ．15 B ．22 C ．45 D ． 50 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．102．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 33．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭4．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．175．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20177．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >9．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．2710．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π11．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对12．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设全集U =R ，{|31,}A x x x Z =-<≤∈，{}2|20,B x x x x R =--≥∈，则UAB =______.14．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1c =，60C =，则b 的取值范围是_____． 15．过圆22240x y x y ++-=的圆心且与直线230x y +=垂直的直线方程为__________. 16．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，20013x x +>”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面BCE ，若2BCE π∠=，四边形ABCD 是平行四边形，且AE BD ⊥.（Ⅰ）求证：AB AD =；（Ⅱ）若点F 在线段AE 上，且//EC 平面BDF ，60BCD ∠=︒，BC CE =，求二面角A BF D --的余弦值.18．（12分）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，向量()12m =，，2cos 2,cos 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1m n ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若223b c a +==，求sin 4B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值 19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.（1）求证：DE ⊥平面PAD . （2）求二面角A PC D --的余弦值.20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，E ， F 分别是棱AB ， PC 的中点.求证：（1） EF //平面PAD ； （2）平面PCE ⊥平面PCD ． 21．（12分）已知函数()ln f x x =． （1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．22．（10分）设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且32a =，954S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （213⋅⋅⋅+>. 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A 【解析】根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出212z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【详解】由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，122z z ⋅=-，()()()2121221111i z i i i i z +∴=-===+--+，因此，2z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2、B 【解析】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即3AF BF AB +≤，所以3MN AB ≤，故选B ． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 3、C 【解析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=，短轴长为6，所以椭圆离心率e ==所以0,5e ⎛∈ ⎝⎦.故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 4、C 【解析】首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.5、D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g (x )>0,∵lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,∵lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∵f (x )是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 6、D 【解析】依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin 2018,32S i π=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52S i π=+=-==，不满足条件；第三次：52017sin 2018,72S i π=+==，不满足条件；第四次：72018sin 201812017,92S i π=+=-==，不满足条件；第五次：92017sin 2018,112S i π=+==，不满足条件；第六次：112018sin 201812017,132S i π=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ．7、D【解析】 由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 8、C 【解析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.9、B 【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数. 10、C 【解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11、A 【解析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 12、D 【解析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。