作业73【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。
4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。
7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。
作业76【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(七十六)1．若A 2n 3＝10A n 3，则n ＝( ) A ．1 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 原式等价于2n(2n －1)(2n －2)＝10n(n －1)(n －2)，整理得n ＝8.2．平面内有n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n 条直线的交点的个数为( ) A ．n(n －1) B ．(n －1)(n －2) C.n （n －1）2D.（n －1）（n －2）2答案 C解析 这n 条直线交点的个数为C n 2＝n （n －1）2. 3．(2014·辽宁，理)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24答案 D解析 利用排列和排列数的概念直接求解．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 43＝4×3×2＝24.4．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( ) A ．53 B ．59 C ．66 D ．71 答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A 33＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A22＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A33＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A33＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A33＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A33＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)，选D. 5．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10种情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.6．(2020·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有()A．50种B．72种C．48种D．42种答案 D解析先排甲．按甲是否排周六分类．第一类：甲排周六．则甲再从二、三、四、五4天中选一天有C41种选法；乙有C42种，丙有C22种．第二类：甲不排周六，则甲从二、三、四、五4天中选两天有C42种选法，乙有C32种，丙有C22种．C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78. 8．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66(种)．9．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24(种)；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24(种)．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D. 10．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日至7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有()A．81种B．810种C．9 600种D．9 720种答案 D解析(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．11．(2017·天津，理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．答案 1 080解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．12．(2020·开封定位考试)从2019届开始，我省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为________．答案19解析从六科中选考三科的选法有C63种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C63－1＝19(种)．13．(2020·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．答案112解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C82C41＝112(种)．14．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200(种)．15．(2020·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．答案180解析从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180. 16．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的选法种数为C42C42－C42＝30(种)．。
2021年河北省衡水中学高考数学三轮复习试卷
2021年河北省衡水中学高考数学三轮复习试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|3xx+1≤2}，B ={x|a −2<x <2a +1}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A. (12,1)B. (12,1]C. [12,1]D. [12,1)2. 下列命题中，真命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ⑧若x 2+y 2=0，则x =y =0．A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知0<a <b <1，下列不等式成立的是( )A. (12)a <(13)bB. log a 13<log b 12 C. log 12a >log 13b D. (12)a <log 13b4. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指数.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年11月份对该关键词相关的信息关注度最高D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值5. 在图中，二次函数y =bx 2+ax 与指数函数y =(ab )x 的图象只可为( )A.B. C. D.6.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 167.已知数列{a n}的前n项和为S n且(√2−1)S n+a n=√2(n∈N∗).记b n=a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则使T n>63√264成立的最小正整数为()A. 5B. 6C. 7D. 88.P为双曲线x24−y29=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为()A. 2B. 3C. 32D. √132二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(A. f(x)=2sin(13x−π6)B. 若把函数f(x)的图象向左平移π2个单位，则所得图象对应的函数是奇函数C. 若把f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数在[−π,π]上是增函数D. ∀x∈[−π3,π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，则a的最小值为√310.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列结论中正确的是()A. k 的取值范围是(−1,1)B. y 1y 2=8x 1x 2C. 存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD. 若三角形ABF 的面积为16√2，则直线AB 的倾斜角为π6或5π611. 如图一张矩形白纸ABCD ，AB =10，AD =10√2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点.现将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BFDE 的同侧，下列命题正确的是( )A. 当平面ABE//平面CDF 时，AE//CDB. 当平面ABE//平面CDF 时，AC//平面BFDEC. 当A ，C 重合于点P 时，PG ⊥PDD. 当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P −DEF 外接球的表面积为150π12. 已知函数f(x)=e x −e −x +x 3−ax ，则下列结论中正确的是( )A. 若f(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M +m =0B. 曲线y =f(x)与直线y =−ax 相切C. 若f(x)为增函数，则a 的取值范围为(−∞,2]D. f(x)在R 上最多有3个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8=______．14. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 15. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为b5，则该椭圆的离心率为______ ．16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =an 2+bn(a,b 为常数)，且a 9=π2，则a 1+a 17= ______ ；设函数f(x)=2+sin2x −2sin 2x2，y n =f(a n )，则数列{y n }的前17项和为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM =PN =MN =2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1a 5=33，a 22=25．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =4n−2+3a n ，若a n ∈N ，求{b n }的前n 项和T n ．19. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD//AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：GF//平面ABC ；(2)当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A −BE −D 的余弦值．20. 为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了11块实验田的数据，得到下表： 实验田编号n123 4 5 6 78 9 10 11 x(棵/米 2) 3.5 4 5.1 5.7 6.1 6.9 7.5 8 9.1 1011.2 y (斤/棵) 0.330.320.30.280.270.250.250.240.22 0.250.15技术人员选择模型y =1a+bx 2作为y 与x 的回归方程类型，令u i =x i 2，v i =1y i，相关统计量的值如表：∑u i 11i=1∑v i 11i=1∑u i 11i=1v i∑u i 211i=1600 44 2721 45642由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：(1)根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由)；(2)剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程v ̂=β̂u +α̂中的β̂=0.03，求y 关于x 的回归方程；(3)利用(2)得到的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大？(计算结果精确到0.01)附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β̂=∑u i n i=1v i −nu −⋅v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂u −，√30≈5.4821.已知函数f(x)=2ln(ax+b)，其中a，b∈R．(Ⅰ)若直线y=x是曲线y=f(x)的切线，求ab的最大值．(Ⅱ)设b=1，若方程f(x)=a2x2+(a2+2a)x+a+1有两个不相等的实根，求a的最大整数值．(ln54≈0.223)．22.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上异于左、右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为√3时，△PF1F2为正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设PB交直线x=4于M，AM交椭圆C于Q．(ⅰ)证明：k AP⋅k AQ为定值；(ⅰ)求△APQ面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知集合A ={x|3xx+1≤2}，解得：A ={x|−1<x ≤2}， B ={x|a −2<x <2a +1}，若A ⊆B ，则有B 集合包含A 集合中所有元素． 有数形结合法则：a −2≤−1，且2a +1>2； 解得：12<a ≤1；则实数a 的取值范围是：12<a ≤1； 故选：B ．求解A 集合，根据集合的关系A ⊆B ，则有B 集合包含A 集合中所有元素．由数形结合法则可得答案． 本题考查了集合间的关系，考查数形结合的应用，属于基础题2.【答案】A【解析】解：对于①，若x ，y ∈R ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1，故①错误； 对于②，若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ，复数不能比较大小，故②错误； 对于③，若x ，y ∈R ，且x 2+y 2=0，则x =y =0，故③错误． 故选：A ．直接利用复数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵y =(12)x 在R 上单调递减，y =x b 在(0,+∞)上单调递增，且0<a <b <1， ∴(12)a >(12)b >(13)b ，故A 错；取a =13，b =12，故log a 13=log b 12=1，故B 错； ∵0<a <b <1，∴lna <lnb <0， ∴−lna >−lnb >0，又∵ln3>ln2>0，∴−lnaln2>−lnbln3，即log12a>log13b，故C正确；取a=12，b=√33，则(12)a=√22，log13b=12，故D错．故选：C．根据对数函数，指数函数的单调性，结合特值依次判断即可．本题考查了函数的性质应用，同时考查了对数运算及指数运算，运算及取值比较难，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：A项，走势图图象没有周期性变换，故选项A错误，B项，这半年中，关注度不是单调减小，而是时而增强时而减弱，故选项B错误，C项，根据走势图图象可知，去年10月份对该关键词相关的信息关注度最高，故选项C错误，D项，去年12月份的数据整体高于今年1月份的数据，故去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故选项D正确，故选：D．根据走势图图象，逐个分析选项即可判断出结果．本题主要考查了数字特征，是中档题．5.【答案】C【解析】解：根据指数函数y=(ab )x可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴−b2a<0可排除B，D由图象可知y=(ab)x均为减函数，又因为二次函数y=ax2+bx过坐标原点，∴C正确，故选：C．根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．【解析】解：记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A ，基本事件总数为C 42⋅A 22⋅A 22=24， 事件A 包含的基本事件数2A 22⋅A 22=8，∴p(A)=824=13．故选：B ．记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A ，求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，再代入古典概型公式计算即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由(√2−1)S n +a n =√2(n ∈N ∗)，可得：(√2−1)S n+1+a n+1=√2(n ∈N ∗)． 相减可得：√2a n+1=a n ．n =1时，(√2−1)a 1+a 1=√2，解得a 1=1． ∴数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为√22．∴a n =(√2)n−1，∴b n =a n a n+1=(√2)2n−1=(12)n ⋅√2．∴T n =√22[1−(12)n ]1−12=√2[1−(12)n ]，数列{T n }单调递增，T 6=63√264， ∴使得不等式T n >63√264成立的最小正整数为7，故选：C ．由(√2−1)S n +a n =√2(n ∈N ∗)，可得：(√2−1)S n+1+a n+1=√2(n ∈N ∗).相减可得：√2a n+1=a n .n =1时，(√2−1)a 1+a 1=√2，解得a 1.利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式及求和公式、方程与不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质、图形的对称性，属于中档题．本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，得到本题结论． 【解答】解：由题意，作图如下：∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF 1⊥PF 2， 设△APF 1的内切圆半径为r ，则S △APF 1=12|PF 1|·|PA |=12r (|PF 1|+|PA|+|AF 1|)， 即r =|PF 1|·|PA ||PF 1|+|PA|+|AF 1|=(|PF 1|·|PA |)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)(|PF 1|+|PA|+|AF 1|)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)=(|PF 1|·|PA |)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)(|PF 1|+|PA|)2−|AF 1|2 ∵|PF 1|2+|PA|2=|AF 1|2， ∴|PF 1|+|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|PF 2|+2a +|PA|−|AF 1|=2r ， 由双曲线方程可知a =2， ∴|AF 2|−|AF 1|=2r −4，∵由图形的对称性知：|AF 2|=|AF 1|， ∴2r −4=0，即r =2． 故选：A ．9.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，所以T4=7π2−2π=3π2，解得T=6π，故ω=13．由于f(2π)=2，所以2sin(2π3+φ)=2，整理得φ=2kπ−π6(k∈Z)，由于|φ|<π，所以φ=−π6．故f(x)=2sin(13x−π6)，故A正确；对于B：函数f(x)的图象向左平移π2个单位，整理得g(x)=2sin13x，故函数为奇函数，故B正确；对于C：把f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数g(x)=2sin(12x−π6)，由于x∈[−π,π]，故−2π3≤12x−π6≤π3，故函数不单调，故C错误；对于D：∀x∈[−π3,π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，只需满足a≥f(3π2)−f(3x)，∀x∈[−π3,π3]恒成立．令g(x)=f(3π2)−f(3x)=√3−2sin(x−π6)，由于x∈[−π3,π3 ]，所以−π2≤x−π6≤π6，所以√3−1≤g(x)≤√3+2则a的最小值为√3+2，故D错误；故选：AB．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：对于A ：由题意可得F(2,0)，M(−2,0)， 设直线l 的方程为y =k(x +2)，由{y 2=8x y =k(x +2)，得k 2x 2+(4k 2−8)x +4k 2=0(∗)， 因为直线l 与抛物线的相交于两点， 所以{k ≠0(4k 2−8)2−16k 2>0，解得−1<k <1，且k ≠0，故A 不正确； 对于B ：由韦达定理可得x 1x 2=4k 2k 2=4，x 1+x 2=8−4k 2k 2，所以y 1y 2=8x 1⋅8x 2=64x 1x 2=256>0，所以y 1，y 2同号， 所以y 1y 2=16=4x 1x 2，故B 不正确；对于C ：假设存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点F ， 则FA ⊥FB ，所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)⋅(x 2−2,y 2)=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+k 2(x 1+2)(x 2+2) =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+2k 2(x 1+x 2)+4k 2 =(1+k 2)x 1x 2+(2k 2−2)(x 1+x 2)+4+4k 2 =(1+k 2)×4+(2k 2−2)(8−4k 2k2)+4+4k 2 =32−16k 2=0，解得k =±√22，所以存在k ，满足题意，故C 正确；对于D ：|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅8√1−k 2k2， 所以直线l 的方程为kx −y +2k =0， 则点F 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=√1+k 2所以S △ABF =12×√1+k 2×8√1−k 2k 2×√1+k 2，所以16√1−k 2|k|=16√2，所以k =±√33，设直线AB 的倾斜角为α，tanα=±√33，所以α=π6或α=5π6，故D 正确．故选：CD ．对于A ：设直线l 的方程为y =k(x +2)，联立抛物线的方程，由直线l 与抛物线的相交于两点，得{k ≠0(4k 2−8)2−16k 2>0，解得k 的取值范围，即可判断A 是否正确； 对于B ：由韦达定理可得x 1x 2，x 1+x 2，y 1y 2，得出y 1y 2=16=4x 1x 2，即可判断B 是否正确； 对于C ：假设存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点F ，则FA ⊥FB ，由向量的数量积得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得k ，即可判断C 是否正确；对于D ：由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式，可得点F 到直线AB 的距离为d ，再计算S △ABF =16√2，解得k ，进而可得直线AB 的倾斜角α，即可判断D 是否正确．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：在△ABE 中，tan∠ABE =√22，在△ACD 中，tan∠CAD =√22，所以∠ABE =∠DAC ．由题意得，将△ABE 、△CDF 沿BE 、DF 折起，且A 、C 在平面BEDF 同侧，此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC =AG ，平面CDF ∩平面AGHC =CH ； 当平面ABE//平面CDF 时，得到AG//CH ；显然AG =CH ，所以四边形AGHC 是平行四边形，所以AC//GH ，进而得到AC//平面BFDE ，所以A 正确； 由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，所以B 错误； 当A 、C 重合于点P 时，可得PG =10√33，PD =10，又GD =10，所以PG 2+PD 2≠GD 2，所以PG 和PD不垂直，所以C 错误；当A 、C 重合于点P 时，在三棱锥P −DEF 中，△EFD 和△FCD 均为直角三角形，所以DF 为外接球的直径， 即R =DF 2=5√62，则三棱锥P −DEF 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(5√62)2=150π，所以D 正确．故选：AD ．作出不同情况下的几何体，然后运用平型垂直的基本知识进行证明，最后计算外接球面积． 本题考查几何体折叠问题，通过对几何体不同情况的判断进行证明和外接球计算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：A.∵f(−x)=e−x−e x−x3+ax=−f(x)，∴函数f(x)为R上的奇函数，其图象关于原点对称，因此A正确；B.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a=−a，可得：e x+e−x+3x2=0，此方程无实数根，因此f′(x)=e x+ e−x+3x2−a=−a不成立，即切线斜率不可能为−a，因此B不正确；C.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a≥0，可得a≤e x+e−x+3x2，∵e x+e−x+3x2≥2，∴a≤2，即a的取值范围为(−∞,2]，因此C正确；D.令f(x)=e x−e−x+x3−ax=0，解得x=0，或e x−e−x+x3x =a，(x≠0)，令g(x)=e x−e−xx+x2，g′(x)=(x−1)e x+(x+1)e−xx2+2x，令u(x)=(x−1)e x+(x+1)e−x，则u′(x)=x(e x−e−x)，可得u′(x)≥0，只有x=0时取等号．u(0)=0，∴x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，又g(−x)=g(x)，∴g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，因此直线y=a与y=g(x)最多有2个交点，∴f(x)在R上最多有3个零点．故选：ACD．A.判断函数f(x)的奇偶性即可判断出正误．B.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a=−a，可得：e x+e−x+3x2=0，判断此方程实根情况，即可判断出正误．C.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a≥0，可得a≤e x+e−x+3x2，利用函数的单调性、基本不等式即可判断出正误．D.令f(x)=e x−e−x+x3−ax=0，解得x=0，或e x−e−x+x3x =a，(x≠0)，令g(x)=e x−e−xx+x2，利用导数研究其单调性、判断奇偶性即可判断出正误．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】180【解析】【分析】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x 写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x 的指数为8，求出a 8． 【解答】解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C 10r 210−r [−(1−x )]r =(−1)r ·210−r ·C 10r (1−x )r ， 令r =8得a 8=4C 108=180故答案为180．14.【答案】12【解析】解：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos π3， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故答案为：12．由已知将所求利用平行四边形的对应的向量表示，得到关于|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的方程解之．本题考查了平面向量的平行四边形法则以及数量积的运算，注意向量的夹角与平行四边形内角的关系，属于基础题．15.【答案】14【解析】解：由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积S =bc ， 该三角形的周长为2a +2c ，由题意得S =bc =12(2a +2c)⋅b5，即a +c =5c ， 所以e =ca =14． 故答案为：14．先求出短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积，再结合三角形内切圆半径公式即可得到a ，c 的方程，进而求得椭圆的离心率．本题考查三角形内切圆半径的求法，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．16.【答案】π17【解析】解：由S n=an2+bn(a,b为常数)，常数项为0．可得数列{a n}为等差数列，a1=a+b，a1+a2=4a+2b，可得：公差d=a2−a1=2a，∴a n=a+b+2a(n−1)=2na−a+b．∴a1+a17=2a9=π．函数f(x)=2+sin2x−2sin2x2=sin2x+cosx+1，又y n=f(a n)，∴y1+y17=f(a1)+f(a17)=sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1=sin2a1+cosa1+1+sin(2π−2a1)+cos(π−a1)+1=2，同理可得：y2+y16=⋯…=y8+y10=2，y9=f(a9)=sin2a9+cosa9+1=1．∴数列{y n}的前17项和=2×8+1=17．故答案为：π，17．由S n=an2+bn(a,b为常数)，常数项为0.可得数列{a n}为等差数列，可得a n=2na−a+b.a1+a17=2a9.函数f(x)=2+sin2x−2sin2x2=sin2x+cosx+1，又y n=f(a n)，可得y1+y17=f(a1)+f(a17)=2，同理可得：y2+y16=⋯…=y8+y10=2，y9=f(a9)=sin2a9+cosa9+1=1.即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式、转化方法、三角函数的性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：设∠AMN=θ，在△AMN中，MNsin60∘=AMsin(120∘−θ)．因为MN=2，所以AM=4√33sin(120°−θ).在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ).AP2=AM2+MP2−2AM⋅MP⋅cos∠AMP=163sin2(120°−θ)+4−2×2×4√33sin(120°−θ)cos(60°+θ)=163sin2(θ+60°)−16√33sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4=83[1−cos(2θ+120°)]−8√33sin(2θ+120°)+4=−83[√3sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+203=203−163sin(2θ+150°)，θ∈(0,120°).当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2√3． 答：设计∠AMN 为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．【解析】设∠AMN =θ，在△AMN 中，求出AM ，在△APM 中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．18.【答案】解：(Ⅰ)设各项均为正数且公差为d 的等差数列{a n }满足a 1a 5=33，a 22=25，则a 2=5，所以{a 1(a 1+4d)=33a 1+d =5，整理得3d 2−10d +8=0，d =2或43，解得{a 1=3d =2或{a 1=113d =43， 故a n =3+2(n −1)=2n +1或a n =113+43(n −1)=4n+73；(Ⅱ)由于a n ∈N ，所以a n =2n +1， 所以b n =4n−2+3a n =4n−2+6n +3， 所以T n =14(1−4n )1−4+12(9+6n +3)n =112(4n −1)+3n 2+6n ．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，分组求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用已知条件和等差数列的通项公式建立方程组求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法求出数列的和．19.【答案】(1)证明：分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，在梯形ACDE 中，DC//EA ，且DC =12EA ，M ，N 分别为BA ，BE 的中点， ∴MN//EA ，MN =12EA ，∴MN//CD ，且MN =CD ，则四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ， 又EB⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为EB 的中点，∴G 为EN 的中点， 又F 为ED 的中点，∴GF//DN ，可得GF//CM ， 又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF//平面ABC ；(2)解：在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，交AC 于H ， ∵平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC =AC ， BH ⊂平面ABC ，BH ⊥AC ，∴BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，又底面ACDE 的面积确定，∴要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2． 连接HF ，则HF//AE//CD ，易知HB 、HC 、HF 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(0,−1,0)，B(1,0，0)，E(0,−1,2)，D(0,1，1)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ABE 的一个法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−y 1+2z 1=0，取y 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)； 设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2+z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2−y 2+2z 2=0，取z 2=2，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)． ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√14=√77． 由图可知，二面角A −BE −D 为钝角，∴二面角A −BE −D 的余弦值为−√77．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，证明四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ，再由已知向量等式证明GF//DN ，可得GF//CM ，再由直线与平面平行的判定可得GF//平面ABC ； (2)证明BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，由底面ACDE 的面积确定，知要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2.连接HF ，则HF//AE//CD ，易知HB 、HC 、HF 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE 与平面DBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −BE −D 的余弦值．20.【答案】解：(1)根据残差图发现一个可疑数据是第10组；(2)剔除可疑数据(10,0.25)，在剩余的10组数据中， 计算u −=∑u i 11i=1−u 1010=600−10010=50，v −=∑v i 11i=1−v 1010=44−410=4，∴α̂=v −−β̂u −=v −−0.03，u −=4−50×0.03=2.5，∴v 关于u 的回归方程是v ̂=0.03u +2.5； 则y 关于x 的回归方程是y ̂=12.5+0.03x 2；(3)利用(2)得到的结果，结合条件知单位面积的总产量w 的预报值为 w ̂=x 2.5+0.03x 2=12.5x+0.03x≤2√2.5×0.03=√303≈1.83，当且仅当2.5x =0.03x 时，此时x =√2.50.03=5√303≈9.13，即x =9.13时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大，最大值是1.83．【解析】(1)根据残差图去掉偏离平均值较远的一个可疑数据即可；(2)剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程，再写出y 关于x 的回归方程； (3)利用(2)得到的结果，利用基本不等式计算单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大．本题考查了回归分析与函数最值的应用问题，也考查了数据处理能力与运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设直线y=x和y=f(x)相切于点P(x0,2ln(ax0+b))，∵f′(x)=2aax+b ，则f′(x0)=2aax0+b=1，故ax0+b=2a(a>0)，又P在切线y=x上，故2ln(ax0+b)=x0，故x0=2ln(ax0+b)=2ln2a，b=2a−ax0=2a−2aln2a，故ab=2a2−2a2ln2a(a>0)，设g(a)=2a2−2a2ln2a(a>0)，则由g′(a)=2a(1−2ln2a)>0，解得：0<a<√e2，故g(a)在(0,√e2)递增，在(√e2,+∞)递减，故g(a)max=g(√e2)=e4，故ab的最大值是e4；(Ⅱ)原方程即为2ln(ax+1)=(ax+1)2+a(ax+1)，设ax+1=t，则上述方程等价于2lnt=t2+at(t>0)，设p(t)=2lnt−t2−at(t>0)，则函数p(t)要有2个不同的零点，∵p′(t)=2t−2t−a在(0,+∞)递减，且p′(t)=0在(0,+∞)上存在唯一实根t0，即p′(t0)=0，即at0=2−2t02，故当t∈(0,t0)时，p′(t)>0，当t∈(t0,+∞)时，p′(t)<0，故p(t)在(0,t0)递增，在(t0,+∞)递减，若a>0，则t0∈(0,1)，p(t)≤p(t0)=2lnt0−t02−(2−2t02)=2lnt0+t02−2<0，不合题意，舍，若a<0，则t0∈(1,+∞)，当t∈(0,1)时，则p(t)=2lnt−t2−at<2lnt+|a|，取t1=e−|a|2，则p(t1)<0，当t∈(1,+∞)时，则p(t)=2lnt−t2−at<2(t−1)−t2−at<−t2+(2−a)t，取t2=2+|a|，则p(t2)<0，由此t1<t0<t2，且p(t1)<0，p(t2)<0，要使函数p(t)=2lnt−t2−at(t>0)有2个不同的零点，则只需p(t 0)=2lnt 0−t 02−at 0>0，故只需p((t 0)=2lnt 0−t 02−(2−2t 02)=t 02+2lnt 0−2>0,∵p((t 0)=t 02+2lnt 0−2是关于t 0的增函数，且p(1)=−1<0，p(54)=2ln 54−716>0，故存在m ∈(1,54)使得p(m)=0，故当t 0>m 时，p(t 0)>0，∵a =2t 0−2t 0是关于t 0的减函数， 故a =2t 0−2t 0<2m −2m ， 又2m −2m ∈(−910,0)，故a 的最大整数值是−1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到ab =2a 2−2a 2ln2a(a >0)，设g(a)=2a 2−2a 2ln2a(a >0)，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；(Ⅱ)问题等价于2lnt =t 2+at(t >0)，设p(t)=2lnt −t 2−at(t >0)，根据函数的单调性求出a 的最大整数值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(1)由题意可得：(S △PF 1F 2)max =bc =√3，由△PF 1F 2为正三角形可得：b =√3c ，a =2c ，解得a =2，b =√3，c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由题意设P(x 1,y 1)，M(4,y 0)，Q(x 2,y 2)，又A(−2,0)，B(2,0)，所以k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AM =y 04+2=y 06， 直线BP 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，当x =4时，y 0=2y 1x 1−2，此时，k AP ⋅k AQ =y 1x1+2×y 06=y 1x 1+2×y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)， 又x 124+y 123=1，则y 12=3(1−x 124)=34(4−x 12)，代入上式可得，k AP ⋅k AQ =−14． (ⅰ)设直线PQ 的方程为x =my +t ，联立{x =my +tx 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，所以{y 1+y 2=−6mt 3m 2+4y 1y 2=3t 2−123m 2+4， 又{x 1+x 2=8t 3m 2+4x 1x 2=4t 2−12m 23m 2+4， 由k AP ⋅k AQ =y 1x1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=−14， 化简得3t 2−124t 2+16t+16=−14，化简得t 2+t −2=0，解得t =1或t =−2(舍)，所以S △APQ =12|AF 2||y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=18√m2+13m 2+4，令λ=√m 2+1≥1，则m 2=λ2−1，则S △APQ =18λ3λ2+1=183λ+1λ，3λ+1λ在[1,+∞)上单调递增， 故λ=1时，S △APQ 的最大值为92，此时m =0，直线PQ 的方程为x =1．【解析】(1)由题意可得：(S △PF 1F 2)max =bc =√3，由△PF 1F 2为正三角形可得b =√3c ，a =2c ，解得a ，b ，c ，进而可得答案．(2)(ⅰ)由题意设P(x 1,y 1)，M(4,y 0)，Q(x 2,y 2)，直线BP 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，当x =4时，y 0=2y 1x1−2，推出k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AM =y 06，进而可得答案；(ⅰ)设直线PQ 的方程为x =my +t ，与椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式、三角形的面积公式和对勾函数的单调性，可得所求最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
作业8【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(八)1．函数y ＝x 2＋8x ＋12在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1 答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D. 3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边，而在[1，＋∞)上函数是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3. 4．(2020·杭州学军中学月考)若函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.7．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C8．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析 若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．9．(2020·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．10．(2019·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．令h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以使a ≥h(x)max＝－⎝⎛⎭⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.则k 的取值范围为(－∞，－16]∪[8，＋∞)(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________． 答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点处取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]， 则令f(x)＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为x ＝12，开口向上，所以函数的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. 最大值为f(1)＝2－2＋1＝1. 则x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1.16．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a >－1.。
作业81【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(八十一)1．(2020·衡水中学调研)在区间(0，100)上任取一数x ，则lgx>1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9答案 D解析 由lgx>1解得x>10.所以P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cosx 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58答案 B解析 cosx 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3.由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.故选B.3．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916B.34C.1516D.1532答案 C解析 两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.4．(2020·湖南益阳期末)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是( ) A.12 B.13 C.25 D.35 答案 D解析 本题考查与长度有关的几何概型．由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A ，则P(A)＝610＝35，故选D. 5．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.6．(2020·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析 由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥1及x ∈[0，π]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴所求概率为P＝π2π＝12. 7.(2020·安徽江淮十校第一次联考)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( ) A.316 B.38 C.18 D.14答案 D解析 如图所示，设AB ＝4，则OG ＝GH ＝FD ＝HI ＝IE ＝2，DE ＝2，所以S OIHG ＝2×2＝2，S EDFI ＝2×1＝2，所以此点取自阴影部分的概率P＝2＋24×4＝14.8．(2020·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域(不包含边界)，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65确定的平面区域(不包含边界)，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.9．(2020·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析 方法一：如右图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆内的概率P ＝9π12×8×15＝3π20，选A.方法二：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20. 10．(2020·河北唐山模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )A.14B.13 C.15 D.12答案 A解析 根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为14，故选A.11．(2020·山东四校联考)如图的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A.12B.13 C ．2－4πD.4π－1 答案 D解析 设圆的半径为R.如图的弓形(阴影部分)的面积S ＝14πR 2－12R 2＝π－24R 2，所以所求概率P ＝阴影部分的面积圆的面积＝πR 2－8×π－24R 2πR 2＝4π－1，故选D.12.(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C.从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.25答案 B解析 本题考查与面积有关的几何模型．在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得点位于阴影部分的概率为82382＝13，故选B.13．在区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得，(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，即以1为半径的14圆中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，所以π＝4mn.故选C.14．(2020·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.15．(2020·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( ) A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12 答案 A解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0，解得b a ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.16．(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 方法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12. 方法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.17．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________． 答案π40解析 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10，0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y)落在图中的阴影区域内时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.。
作业68【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
( ) ( ) 3 3
(2)k∈ －2，－ ∪ ，2 22
a1
解析 (1)由题意得 ＝ ，∴a＝2，故抛物线 42
C2
的方程为
x2＝－2y.
3
x2
又 e＝ ，∴c＝ 2
3，∴b＝1，从而椭圆 C1 的方程为 4 ＋y2＝1.
(2)显然直线 x＝0 不满足条件，故可设直线 l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
|BP|，求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值． x2
答案 (1) ＋y2＝1 (2)2 3
6c
6
3
解析 (1)由题意知，离心率 e＝ ＝ ，所以 c＝ a，b＝ a，所以 x2＋3y2＝a2，
3a
3
3
将 y＝x＋2 代入得 4x2＋12x＋12－a2＝0，
由 Δ＝122－4×4×(12－a2)＝0，得 a＝ 3，b＝1，
4t
4
则 y1＋y2＝－t2＋2，y1y2＝－t2＋2.
( ) 1
4t 2 16
t2＋1
所以 S△OBC＝S△OAB＝2|OF|·|y1－y2|＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝
－ t2＋2
＋t2＋2＝4
2× t2＋2
1
＝4 2×
≤2 2，
1
t2＋1＋
t2＋1
当且仅当 1＝t2＋1，即 t＝0 时取等号，
解析 (1)证明：依题意得，F(1，0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝my
＋1.
{ ) 联立
x＝my＋1， y2＝4x，
消去
x得
y2－4my－4＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
作业72【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(七十二)1．2020年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是( ) A ．总体是指这箱1 000袋方便面 B ．个体是一袋方便面 C ．样本是按2%抽取的20袋方便面 D ．样本容量为20答案 D2.去年年底，甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m 万，各县人口占比如图，其中丙县人口总数为70万，则去年年底甲县的人口总数为( )A ．162万B ．176万C ．182万D ．186万答案 C解析 由题意，得＝20%，所以m ＝350.所以去年年底甲县的人口总数为m·52%＝70m350×52%＝182(万)．故选C.3．(2020·西藏拉萨模拟)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于1月份的平均值 答案 D解析 A 错误，并无周期变化；B 错误，并不是不断减弱，中间有增强；C 错误，10月的波动大于11月份，所以10月份的方差要大；D 正确，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值比1月份的平均值大．故选D.4．(2020·贵州遵义联考)某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000.现按系统抽样方法，从中抽取200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( ) A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116答案 A解析 系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k ，k ∈Z .因为0927＝0122＋5×161，故选A.5．(2020·四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C 解析 ×18＝3.故选C. 936＋186．从2 019名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为502 019140答案 C7．(2020·山东济宁一模)某学校从编号依次为01，02，…，90的90名学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为( ) A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 答案 A解析 本题考查系统抽样．由题意可知相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23－14＝9，所以第一组的编号为14－9＝5，所以第四组的编号为5＋3×9＝32.故选A. 8．(2020·贵州凯里一中期末)利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73B ．78C ．77D ．76答案 B解析 样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝801678.故选B.9．(2020·河北武邑中学周考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10答案 A解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.10．(2020·宜昌一中模拟)某学校为了解本校学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．464 答案 A解析 样本间隔为2 400÷30＝80.设首个号码为x ，则第3、4个号码分别为x ＋160，x ＋240，则x ＋160＋x ＋240＝2x ＋400＝432，得2x ＝32，x ＝16，则第6组抽到的号码为16＋80×5＝16＋400＝416.故选A.11．(2019·课标全国Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生答案 C解析 由系统抽样可知第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x ，则第二组取到的学生编号为x ＋10，以此类推，所取的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x ＝6.所以616号学生被抽到．故选C.12．某工厂的一、二、三车间在今年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量．决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200 D ．1 500答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的，即3 600×＝1131313200.13．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 由茎叶图可知，在区间[139，151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×＝4. 73514．(2020·广东中山模拟)某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________． 答案 6解析 n 为18＋12＋6＝36的正约数，因为18∶12∶6＝3∶2∶1，所以n 为6的倍数，因此n ＝6，12，18，24，30，36.因为当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n ＋1为35的正约数，因此n ＝6.15．(2020·衡水中学调研卷)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． 答案 45 解析 分组间隔为＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5648＋5×8＝45.16．(2020·衡水中学调研卷)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有________人． 答案 8 100解析 设北乡有x 人，则＝，解得x ＝8 100.108x 300－1087 488＋6 91217．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 答案 (1)有关 (2)3名 (3)35解析 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众×5＝×5＝3(名)． 274535(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄为20至40岁”，则A 中的6 103 5基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝＝.。
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形中的数据，可知其中位数为( )
A．12.5
B．13
C．13.5
D．14
答案 B
解析 中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标，第
一个矩形的面积是 0.2，第二个矩形的面积是 0.5，第三个矩形的面积是 0.3，故将第二个矩
形分成 3∶2 即可，所以中位数是 13.故选 B.
＝ .鸡蛋开支占总开支的百分比
30＋40＋100＋80＋50 10
1 为 30%× ＝3%.故选 C.
10
10．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6 000 元，月退休金各种用途占比统计的条形图
如图 1，该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计的折线图如图 2.
已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为( )
C．160，170
D．180，160
答案 A
解析 用电量为 180 度的家庭最多，有 8 户，故这 20 户家庭该月用电量的众数是 180，排
除 B、C；
将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是 160，180，故这 20 户家庭
该月用电量的中位数是 170.故选 A.
2．在样本频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8
位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率．
答案 (1)M＝20，p＝0.1，a＝0.12 (2)432 (3)0.15
5 解析 (1)根据频率分布表，得 ＝0.25，∴样本容量 M＝20.
M
2
12
0.6
∴m＝20－5－12－1＝2，∴对应的频率为 p＝ ＝0.1，n＝ ＝0.6，∴a＝
＝0.12.
20
20
A．100
B．120
C．130
D．390
答案 A
解析 由图知[10，30)的频率为：(0.023＋0.01)×10＝0.33，[30，50)的频率为 1－0.33＝
67 0.67，所以 n＝ ＝100.故选 A.
0.67 8．(2020·浙江温州八校联考)如图所示的是一容量为 100 的样本的频率分布直方图，则由图
－－ D. x 甲> x 乙，σ甲>σ乙
答案 C 解析 由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，
－－ 可知 x 甲> x 乙．图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故 σ 甲<σ乙．
12．(2020·南昌调研)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图．
值为 1，则Βιβλιοθήκη 方差为( )10 A.5 C. 2
30 B.
5 D．2
答案 D
1 解析 依题意得 m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差 s2＝ ×(12＋02＋12＋22＋22)＝2，
5 即所求的样本方差为 2.
－－ 6．如图所示，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x A 和 x B，
样本标准差分别为 sA 和 sB，则( )
－－ A. x A> x B，sA>sB
－－ C. x A> x B，sA<sB
－－ B. x A< x B，sA>sB
－－ D. x A< x B，sA<sB
答案 B
解析 由图可知 A 组的 6 个数为 2.5，10，5，7.5，2.5，10，
B 组的 6 个数为 15，10，12.5，10，12.5，10，
A．6 500 元
B．7 000 元
C．7 500 元
D．8 000 元
答案 D
解析 由条形图可知，刚退休时的月就医费为 6 000×15%＝900(元)，则目前的月就医费为
900－100＝800(元)，再由折线图可知，目前月就医费占退休金的 10%，所以目前该教师的
800 月退休金为 ＝8 000 元，故选 D.
2 解析 该样本中 AQI 大于 100 的频数为 4，频率为 ，以此估计此地全年 AQI 大于 100 的频
5
2
2
率为 ，故此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365× ＝146.
5
5
15．对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为
样本，得到这 M 名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频
率分布直方图如下：
分组
频数 频率
[10，15)
5
0.25
[15，20)
12
n
[20，25)
m
p
[25，30]
1
0.05
合计
M
1
(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；
(2)若该校高一学生有 720 人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人
数；
(3)若参加“社区志愿者”活动的次数不少于 20 的学生可被评为“优秀志愿者”，试估计每
10% 11．(2020·甘肃天水模拟)甲、乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的
－－ 平均数分别为 x 甲， x 乙，标准差分别为 σ 甲，σ乙，则( )
－－ A. x 甲< x 乙，σ甲<σ乙
－－ B. x 甲< x 乙，σ甲>σ乙
－－ C. x 甲> x 乙，σ甲<σ乙
的中位数、众数、极差分别是( )
A．46，45，56 C．47，45，56 答案 A
B．46，45，53 D．45，47，53
45＋47
解析 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即
＝46，众数
2
是 45，极差为 68－12＝56.故选 A.
4．(2020·武昌调研)某选手的 7 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，剩余 5 个得分的
－ 2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10 37.5 － 15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10 70
所以 x A＝
6
＝ 6 ， x B＝
6
＝. 6
－－ 显然 x A< x B，又由图形可知，B 组的数据分布比 A 均匀，变化幅度不大，故 B 组数据比较
稳定，方差较小，从而标准差较小，所以 sA>sB.故选 B. 7．(2020·广州十校第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 位同 学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50)(单位：元)，其中支出在[30，50)(单位： 元)的同学有 67 人，其频率分布直方图如图所示，则 n 的值为( )
题组层级快练(七十三)
1．(2020·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用
电量，如下表所示：
用电量/度 120 140 160 180 200
户数
2
3
5
8
2
则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )
A．180，170
B．160，180
平均数为 91，如图所示，该选手的 7 个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中
用 x 表示，则剩余 5 个得分的方差为( )
116 A.
9 C．6
36 B.
7 D．30
答案 C
1 解析 由茎叶图可知，最低分为 87 分，最高分为 99 分．依题意，得 ×(87＋93＋90＋9×10
5 1 ＋x＋91)＝91，解得 x＝4.则剩余 5 个得分的方差 s2＝ ×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋ 5 1 (94－91)2＋(91－91)2]＝ ×(16＋4＋1＋9)＝6.故选 C. 5 5．(2020·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为 0，1，2，3，m.若该样本的平均
∴估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率为 0.15.
16．(2020·郑州质检)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷．现
从使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 50 个商家，对它们的“平均送达时间” 进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计使用 A 款订餐软件的 50 个商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题： ①能否认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%? ②如果你要从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由． 答案 (1)55 40 (2)①可以 ②B 款 解析 (1)依题意，可得使用 A 款订餐软件的 50 个商家的“平均送达时间”的众数为 55 分 钟． 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋ 35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)①使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 0.04＋0.20 ＋0.56＝0.80＝80%>75%. 故可以认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%. ②使用 B 款订餐软件的 50 个商家的“平均送达时间”的平均数为 15×0.04＋25×0.2＋ 35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40， 所以选 B 款订餐软件．