高考文科数学导数专题复习

实用标准

文案大全高考文科数学导数专题第1讲变化率与导数、导数的计

算

知识梳理

1.导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0lim x??f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

(2)函数f(x)的导函数f′(x)＝0lim x??f（x＋Δx）－f（x）Δ

x为f(x)的导函数.

2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

3.基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：

考点一导数的计算

【例1】求下列函数的导数：

(1)y＝e x ln x；(2)y＝x??????x2＋1x＋1x3；

解 (1)y′＝(e x)′ln x＋e x(ln x)′＝e x ln x＋e x1x＝??????ln x＋1x e x.(2)因为y＝x3

＋1＋1x2，

所以y′＝(x3)′＋(1)′＋??????1x2′＝3x2－2x3.

【训练1】 (1) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e

解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，

则f′(1)＝－1.答案 B

(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)

为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.

(2)f′(x)＝a??????ln x＋x·1x＝a(1＋ln x).由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′

(1)＝3，所以a＝3.答案 (2)3

考点二导数的几何意义

命题角度一求切线方程

【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1

＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝e x－1＋x，所以当x>0时，f(x)＝e x－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案 2x－y＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与

曲线y＝f(x)相切，则直

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文案大全线l的方程为( )A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x －y＋1＝0

(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ y0＝x0ln x0，y0＋1＝（1＋ln x0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案 B 命题角度二求切点坐标

【例3】 (2017·西安调研)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________.

解析由y′＝e x，知曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，又y＝1x(x>0)的导数y′＝－1x2，曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.

则点P的坐标为(1，1).答案 (1，1)

【训练3】若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析 (1)由题意得y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e). 答案 (1)(e，e)

命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)

【例4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1

相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案 8

【训练4】1.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x，因为a＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).答案

(2)(－∞，2)

2.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )

A.1

B.32

C.5 2

D.2 解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意

一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y

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文案大全＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2.答案 D 第2讲导数在研究函数中的应用

知识梳理

函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 考点一利用导数研究函数的单调性

【例1】设f(x)＝e x(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性.

解f′(x)＝e x(ax2＋x＋1)＋e x(2ax＋1)＝e x[ax2＋(2a＋1)x＋2]＝e x(ax＋1)(x＋2)

＝a e x??????x＋1a(x＋2)①当a＝12时，f′(x)＝12e x(x＋2)2≥0恒成立，∴函数f(x)

在R上单调递增；

②当0＜a＜12时，有1a＞2，令f′(x)＝a e x??????x＋1a(x＋2)＞0，有x＞－2或x

＜－1a，

令f′(x)＝a e x??????x＋1a(x＋2)＜0，有－1a＜x＜－2，∴函数f(x)在??????－∞，－1a和(－2，＋∞)上单调递增，在??????－1a，－2上单调递减；③当a＞12时，有1a＜2，令f′(x)＝a e x??????x＋1a(x＋2)＞0时，有x＞－1a或x＜－2，令f′(x)＝a e x??????x＋1a(x＋2)＜0时，有－2＜x＜－1a，

∴函数f(x)在(－∞，－2)和??????－1a，＋∞上单调递增；在??????－2，－1a上单

调递减.

【训练1】(2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－ee x，其中a ∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.

(1)解由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，当x∈???

???0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈??????12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)＝e x－1－x，则s′(x)＝e x－1－1.当x>1时，s′(x)>0，

所以e x－1>x，从而g(x)＝1x－1e x－1>0. 考点二求函数的单调区间

【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值.

(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e x，求函数g(x)的单调减区间.

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′??????－43＝0，即3a·169＋2·??????－43．

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文案大全＝16a3－83＝0，解得a＝12. (2)由(1)得g(x)＝??????12x3＋x2e x故g′(x)＝??????32x2＋2x e x＋??????12x3＋x2e x＝??????12x3＋52x2＋2x e x＝12x(x＋1)(x＋

4)e x.令g′(x)<0，得x(x＋1)(x＋4)<0.解之得－1

【训练2】已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，

f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间. 解 (1)

对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－

32，(x>0).则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

但－1?(0，＋∞)，舍去.当x∈(0，5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点三已知函数的单调性求参数

【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0).

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.

解 (1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝1x－ax－2.若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2－2x有解.设G(x)＝1x

x，所以只要a>G(x)min.(*)又G(x)＝??????1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a>

2－2

－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).

(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，

(**)则a≥1x2－2x恒成立，所以a≥G(x)max.又G(x)＝??????1x－12－1，x∈[1，4]因为x∈[1，4]，所以1x∈??????14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716.当a＝－716时，h′(x)＝1x＋716x－2＝16＋7x2－32x16 x＝（7x－4）（x－4）16x，∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝（7x－4）（x－4）16x≤0，当且仅当x＝4时等号成立.(***) ∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是??????－716，＋∞. 【训练3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1，1)，求a的值. 解 (1)因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上

恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号.∴f(x)＝x3－1在R上是增函数.

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文案大全所以实数a的取值范围是(－∞，0].(2)f′(x)＝3x2－a.当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

所以a≤0不合题意.当a>0时，令3x2－a<0，得－3a3

依题意，3a3＝1，即a＝3. 第3讲导数与函数的极值、最值

知识梳理

1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x＝a

处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在

点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)

＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函

数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.

2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件:如果在区

间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

考点一用导数研究函数的极值

命题角度一根据函数图象判断极值

【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－22时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案 D 命题角度二求函数的极值

【例2】求函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)的极值. 解由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，

无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x

)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值. 命题角度三已知极值求参数

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文案大全【例3】已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－43，试求b，c的值.

解∵f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处有极值－43，可得?????f′（1）＝－1

＋2b＋c＝0，f（1）＝－13＋b＋c＋bc＝－43.解得?????b＝1，c＝－1或?????b＝－1，c ＝3.若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)没有极值.若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1).当x变化时，f(x)与f′(x)的

f(x)极小值－12极大值－43

∴当x＝1时，f(x)有极大值－43，满足题意.故b＝－1，c＝3为所求.

【训练1】设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0).

(1)当a＝1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围. 解由题意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过(0，1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)>0，解得x<13或x>1；令f′(x)<0，

解得13

单调递减.故函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.

(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，故f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；当a≠0时，f′(x)≥0或f′(1)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综

上，a的取值范围是??????43，＋∞.

考点二利用导数求函数的最值

【例4】(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)e x. (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.

解 (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

x (－∞，k－1) k－1(k－1，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)－e k－1

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，

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文案大全当0

综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1

【训练2】设函数f(x)＝a ln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相

切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在??????1e，e上的最大值. 解 (1)由f(x)＝a ln x－bx2，得f′(x)＝ax－2bx(x>0).∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切.∴?????f′（1）＝a－2b＝0，f（1）＝－b＝－12，解得?????a＝1，b＝12.(2)由(1)知f(x)＝ln x－12x2，则f′(x)＝1x－x＝1－x2x，当1e≤x≤e时，令f′(x)>0，得1e

调递减，

∴f(x)max＝f(1)＝－12.

考点三函数极值与最值的综合问题

【例5】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.

(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值.

解 (1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x （e x ） 2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，由于e x >0.令f ′(x )＝0，则g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ＝0，∴－3和0是y ＝g (x )的零点，且f ′(x )与g (x )的符号相同.又因为a >0，所以－30，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有

?????9a －3b ＋c e

－

3＝

－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，又f (－5)＝5e － 5＝5e 5>5＝f (0)，所数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.

【训练3】 (2017·衡水中学月考)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；

(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，?x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值.

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文案大全 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1

x .当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.当a >0时，由f ′(x )<0，得00，得x >1a ，∴f (x )

在??????0，1a 上递减，在??????1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a 处有极小值.综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点.

(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x .因此f (x )≥bx －2?1＋1x －ln x x ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2，则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.故实数b 的最大值是1－1e 2.

第4讲 导数与函数的综合应用

考点一 利用导数研究函数的性质

【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).

(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.

解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈??????0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈??????1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在??????0，1a 上单调递增，在??????1a ，＋∞上单调递