《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第二章
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x 0
x 0
lim f ( x) lim ex 0
x 0
所以，当 a 0 时， lim f ( x) 存在。
x 0
4. 利用极限的几何意义说明 lim sinx 不存在.
x
解：因为当 x 时，sin x 的值在-1 与 1 之间来回振摆动，即 sin x 不无限接近某一 定直线 y A ，亦即 y f ( x) 不以直线 y A 为渐近线，所以 lim sin x 不存在。
x
ne
4
于是 0, 0 ，当 0 x x0 时，有
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t
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n.
x 0
1 x
当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时， e 的值无限接近于 0，故 lim e 0.
x 0
ww
（2）若 lim f ( x) 存在，则 lim f ( x) lim f ( x) ，
x 0 x 0
x 0
由（1）知
lim f ( x) lim ( x 2 a) lim ( x 2 a) a ，
而且
lim
n
1 2 0 ， lim 0 ， 2 n n n 1 1 1 lim 2 0. 2 n n (n 1) (2n) 2
所以由夹逼定理，得
5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x1＞0,xn+1=
1 3 ( xn ) ，n=1,2,…； 2 xn
x
w.
cot x 为无穷大量， sin x 是有界函数， cot x sin x cos x （3） 错误， 例当 x 0 时， 不是无穷大量； （4）正确，见教材§2.3 定理 2；
tt
1 x
（5） 错误， 例如当 x 0 时， 与 是无穷大量；
ww
le
x
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解： （1）错误，如第 1 题例 1； （2）正确，见教材§2.3 定理 3；
2. 证明：若 lim f(x)=a,则 lim ∣f(x)∣=|a|.并举例说明该命题之逆命题不真.
x x0 x x0
证： lim f(x)=a
x x0
0, 0 ， 当 0 x x0
f ( x) a f ( x) a ，
时 ，
f ( x) a
2
w.
x 0, ，问常数 a 为何值时， lim f(x)存在. (2) 设 f(x)= e , x 0 2 x a, x 0,
1 x
tt
x 0
x 0
1
ar
3π 2 1
例 f ( x) sin x ， lim sin x 1 ，而 lim sin x 1
lim xn 0
n
n.
即 xn 0
2. 证明：若 lim xn=a,则 lim ∣xn∣=|a|.考察数列 xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
ne
由数列极限的定义得
lim xn k a .
t
1
xn k a
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由数列极限的定义得 考察数列
ww
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
所以前面所证结论反之不成立。 3. 证明： lim xn =0 的充要条件是 lim ∣xn∣=0.
n
证：必要性由 2 题已证，下面证明充分性。即证若 lim xn 0 ，则 lim xn 0 ，
ar
1 1 1 都是无穷大量， 但它们之和 ( ) 0 不 x x x π M ，从而 2
sin x cos x （当 x 0 时， tan x
2x 2 不是无穷大量，也不是无穷 x
例 3：当 x 0 时， tan x 是无穷小量，而 cot x 是无穷大量，但 tan x cot x 1 不 是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确： (1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
n
由 xn yn M 及 yn 1 得， xn yn M y1 M ，
于是，数列 xn 是单调递增有上界的数列， yn 是单调递减有下界的数列，所以它
习题 2-2
x x0
1. 证明： lim f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.
ne
所以，由夹逼定理得
t
（2）因为 0
2n 2 2 2 2 2 4 4 ，而且 lim 0 ， n n n! 1 2 3 n 1 n n
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又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
ar
n.
3
们的极限均存在。
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t
由 xn yn M 及 xn x1 得， yn xn M x1 M ，
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x x0
由 0 x x0 就 是
w.
lim f ( x) a .
tt
由 lim f ( x) a 及 lim f ( x) a 知：
x x0 x x0
2 0 当 0 x x0 2 时，有 f ( x) a 。
0 x0 x 或 0 x x0 ， 于 是 0, 0 ， 当
0 x0 x 或 0 x x0 时，有 f ( x) a .
所以
x x0
lim f ( x) lim f ( x) a
x x0
综上所述， lim f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.
x x0
习题 2-3 1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与 无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量. 解：例 1：当 x 0 时， tan x,sin x 都是无穷小量，但由
cos x 1 ）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例 2：当 x 时， 2 x 与 x 都是无穷大量，但 小量。
(2) x1= 2 ,xn+1＝ 2 xn ,n=1,2,…；
(3) 设 xn 单调递增，yn 单调递减，且 lim (xn-yn)=0,证明 xn 和 yn 的极限均存在.
n
证： （1）由 x1 0 及 xn
ww
w.
又 xn 1
1 3 1 ( xn ) 2 xn 2 2 xn
n
w.
xn a xn a
le
xn a xn a
即
ar
xn a
n
lim xn a
由 lim xn 0 知， 0 ， N ，设当 n N 时，有
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
le
x x0 x x0
f ( x) lim f ( x) a ，则 lim f ( x) a . 证：先证充分性：即证若 lim
x x0 x x0
0, 1 0 ,当 0 x0 x 1 时，有 f ( x) a ，
取 min 1 , 2 ，则当 0 x0 x 或 0 x x0 时，有 f ( x ) a ， 而 0 x0 x 或 0 x x0 就是 0 x x0 ， 于是 0, 0 ，当 0 x x0 时，有 f ( x ) a ， 所以
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第二章
习题 2-1 1. 证明：若 lim xn=a,则对任何自然数 k，有 lim xn+k=a.
n n
证：由 lim xn a ，知 0 ， N1 ，当 n N1 时，有
n
xn a
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
， 而
f ( x) a f ( x) a
由函数极限的定义知 lim f ( x) a 。
x x0
x
3π 2
x
le
x 0
2
1 x
故逆命题不真。
3. (1) 利用极限的几何意义确定 lim (x2+a),和 lim ex ；
x 0
解： （1）因为 x 无限接近于 0 时， x a 的值无限接近于 a，故 lim( x a ) a .
tt
1 3 ( xn ) 知，有 xn 0 （ n 1, 2, ）即数列 xn 有下界。 2 xn
3 3 xn (n 1, 2,)
2 1 3 1 3 xn xn 1 xn ( xn ) 0 2 xn 2 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
x x0
ww
f ( x) lim f ( x) a , 再证必要性：即若 lim f ( x ) a ，则 lim
x x0 x x0
由 lim f ( x ) a 知， 0, 0 ，当 0 x x0 时，有 f ( x ) a ，
取 N N1 k ，有 0 ， N ，设 n N 时（此时 n k N1 ）有
x
n
n
证：
x
0, N , 使当n N时，有 xn a .
而
tt
lim xn a
n n n
于是 0 ， N , 使当n N时，有
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
le
即xn 1 xn
xk 1 2 xk 2 2 2
ar
n.
2
lim
2n 0 n n !
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(1) lim 2 =0； 2 n (2n) 2 n (n 1)
证： （1）因为
1
1
1
(2) lim
n
2 =0. n!
1 1 1 1 n 1 n n 2 2 2 2 2 2 2 n n (n 1) (2n) n n n
x 0
lim f ( x) lim ex 0
x 0
所以，当 a 0 时， lim f ( x) 存在。
x 0
4. 利用极限的几何意义说明 lim sinx 不存在.
x
解：因为当 x 时，sin x 的值在-1 与 1 之间来回振摆动，即 sin x 不无限接近某一 定直线 y A ，亦即 y f ( x) 不以直线 y A 为渐近线，所以 lim sin x 不存在。
x
ne
4
于是 0, 0 ，当 0 x x0 时，有
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n.
x 0
1 x
当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时， e 的值无限接近于 0，故 lim e 0.
x 0
ww
（2）若 lim f ( x) 存在，则 lim f ( x) lim f ( x) ，
x 0 x 0
x 0
由（1）知
lim f ( x) lim ( x 2 a) lim ( x 2 a) a ，
而且
lim
n
1 2 0 ， lim 0 ， 2 n n n 1 1 1 lim 2 0. 2 n n (n 1) (2n) 2
所以由夹逼定理，得
5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x1＞0,xn+1=
1 3 ( xn ) ，n=1,2,…； 2 xn
x
w.
cot x 为无穷大量， sin x 是有界函数， cot x sin x cos x （3） 错误， 例当 x 0 时， 不是无穷大量； （4）正确，见教材§2.3 定理 2；
tt
1 x
（5） 错误， 例如当 x 0 时， 与 是无穷大量；
ww
le
x
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解： （1）错误，如第 1 题例 1； （2）正确，见教材§2.3 定理 3；
2. 证明：若 lim f(x)=a,则 lim ∣f(x)∣=|a|.并举例说明该命题之逆命题不真.
x x0 x x0
证： lim f(x)=a
x x0
0, 0 ， 当 0 x x0
f ( x) a f ( x) a ，
时 ，
f ( x) a
2
w.
x 0, ，问常数 a 为何值时， lim f(x)存在. (2) 设 f(x)= e , x 0 2 x a, x 0,
1 x
tt
x 0
x 0
1
ar
3π 2 1
例 f ( x) sin x ， lim sin x 1 ，而 lim sin x 1
lim xn 0
n
n.
即 xn 0
2. 证明：若 lim xn=a,则 lim ∣xn∣=|a|.考察数列 xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
ne
由数列极限的定义得
lim xn k a .
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xn k a
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由数列极限的定义得 考察数列
ww
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
所以前面所证结论反之不成立。 3. 证明： lim xn =0 的充要条件是 lim ∣xn∣=0.
n
证：必要性由 2 题已证，下面证明充分性。即证若 lim xn 0 ，则 lim xn 0 ，
ar
1 1 1 都是无穷大量， 但它们之和 ( ) 0 不 x x x π M ，从而 2
sin x cos x （当 x 0 时， tan x
2x 2 不是无穷大量，也不是无穷 x
例 3：当 x 0 时， tan x 是无穷小量，而 cot x 是无穷大量，但 tan x cot x 1 不 是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确： (1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
n
由 xn yn M 及 yn 1 得， xn yn M y1 M ，
于是，数列 xn 是单调递增有上界的数列， yn 是单调递减有下界的数列，所以它
习题 2-2
x x0
1. 证明： lim f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.
ne
所以，由夹逼定理得
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（2）因为 0
2n 2 2 2 2 2 4 4 ，而且 lim 0 ， n n n! 1 2 3 n 1 n n
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又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
ar
n.
3
们的极限均存在。
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由 xn yn M 及 xn x1 得， yn xn M x1 M ，
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x x0
由 0 x x0 就 是
w.
lim f ( x) a .
tt
由 lim f ( x) a 及 lim f ( x) a 知：
x x0 x x0
2 0 当 0 x x0 2 时，有 f ( x) a 。
0 x0 x 或 0 x x0 ， 于 是 0, 0 ， 当
0 x0 x 或 0 x x0 时，有 f ( x) a .
所以
x x0
lim f ( x) lim f ( x) a
x x0
综上所述， lim f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.
x x0
习题 2-3 1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与 无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量. 解：例 1：当 x 0 时， tan x,sin x 都是无穷小量，但由
cos x 1 ）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例 2：当 x 时， 2 x 与 x 都是无穷大量，但 小量。
(2) x1= 2 ,xn+1＝ 2 xn ,n=1,2,…；
(3) 设 xn 单调递增，yn 单调递减，且 lim (xn-yn)=0,证明 xn 和 yn 的极限均存在.
n
证： （1）由 x1 0 及 xn
ww
w.
又 xn 1
1 3 1 ( xn ) 2 xn 2 2 xn
n
w.
xn a xn a
le
xn a xn a
即
ar
xn a
n
lim xn a
由 lim xn 0 知， 0 ， N ，设当 n N 时，有
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
le
x x0 x x0
f ( x) lim f ( x) a ，则 lim f ( x) a . 证：先证充分性：即证若 lim
x x0 x x0
0, 1 0 ,当 0 x0 x 1 时，有 f ( x) a ，
取 min 1 , 2 ，则当 0 x0 x 或 0 x x0 时，有 f ( x ) a ， 而 0 x0 x 或 0 x x0 就是 0 x x0 ， 于是 0, 0 ，当 0 x x0 时，有 f ( x ) a ， 所以
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第二章
习题 2-1 1. 证明：若 lim xn=a,则对任何自然数 k，有 lim xn+k=a.
n n
证：由 lim xn a ，知 0 ， N1 ，当 n N1 时，有
n
xn a
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
， 而
f ( x) a f ( x) a
由函数极限的定义知 lim f ( x) a 。
x x0
x
3π 2
x
le
x 0
2
1 x
故逆命题不真。
3. (1) 利用极限的几何意义确定 lim (x2+a),和 lim ex ；
x 0
解： （1）因为 x 无限接近于 0 时， x a 的值无限接近于 a，故 lim( x a ) a .
tt
1 3 ( xn ) 知，有 xn 0 （ n 1, 2, ）即数列 xn 有下界。 2 xn
3 3 xn (n 1, 2,)
2 1 3 1 3 xn xn 1 xn ( xn ) 0 2 xn 2 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
x x0
ww
f ( x) lim f ( x) a , 再证必要性：即若 lim f ( x ) a ，则 lim
x x0 x x0
由 lim f ( x ) a 知， 0, 0 ，当 0 x x0 时，有 f ( x ) a ，
取 N N1 k ，有 0 ， N ，设 n N 时（此时 n k N1 ）有
x
n
n
证：
x
0, N , 使当n N时，有 xn a .
而
tt
lim xn a
n n n
于是 0 ， N , 使当n N时，有
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
le
即xn 1 xn
xk 1 2 xk 2 2 2
ar
n.
2
lim
2n 0 n n !
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(1) lim 2 =0； 2 n (2n) 2 n (n 1)
证： （1）因为
1
1
1
(2) lim
n
2 =0. n!
1 1 1 1 n 1 n n 2 2 2 2 2 2 2 n n (n 1) (2n) n n n