人教版初中数学 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式教案

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式

1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．

2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．

一、情境导入

某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米

的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为1

2

米，你

能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？

二、合作探究

探究点：用待定系数法求二次函数解析式

【类型一】用一般式确定二次函数解析式

已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．

解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得：

⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，

a ＋

b ＋

c ＝1，解这个方程组得：⎩⎨⎧a ＝2，

b ＝3，

c ＝－4.

∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.

方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．

【类型二】用顶点式确定二次函数解析式

已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二

次函数的解析式．

解：设二次函数解析式为y ＝a(x －h)2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.

方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y ＝a(x －h)2＋k.顶点坐标为(h ，k)，对称轴方程为x ＝h ，极值为当x ＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数．

【类型三】根据平移确定二次函数解析式

将抛物线y ＝2x 2－4x ＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单

位，求平移后的函数解析式．

解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y ＝2x 2－4x ＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．

解：y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)－1＝2(x －1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y ＝2(x ＋2)2－3.即y ＝2x 2＋8x ＋5.

方法总结：抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y ＝a(x －h ＋m)2＋k ＋n ；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y ＝a(x －h －m)2＋k －n.

【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式

已知二次函数y ＝2x 2－12x ＋5，求该函数图象关于x 轴对称的图象

的解析式．

解析：关于x 轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．

解：y ＝2x 2－12x ＋5＝2(x －3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x 轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y ＝－2(x －3)2＋13.

方法总结：y ＝a(x －h)2＋k 的图象关于x 轴对称得到的图象的解析式为y ＝－a(x －h)2－k.

【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用

科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别

放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃

－4 －2 0 1 4 植物高度增

长量

l/mm 4

1 49 49 46 25

科学家经过猜想，推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.

解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、

(1，46)分别代入得：⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎨⎧a ＝－1，

b ＝－2，

c ＝49.∴l ＝－t 2

－2t ＋49，

即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.

方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．

三、板书设计

教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.