数字信号处理实验报告一系统响应及系统稳定性

实验一: 系统响应及系统稳定性

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一、实验目的

（1）学习并掌握求系统响应的方法。

（2）掌握时域离散系统的时域特性。

（3）分析、观察及检验系统的稳定性。

二、实验原理与方法

在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。最简单的方法是采用MATLAB 语言的工具箱函数filter 函数。也可以用MATLAB 语言的工具箱函数conv 函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。

系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。

系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。系统的稳定性由其差分方程的系数决定。

实际中检查系统是否稳定，不可能检查系统对所有有界的输入信号，输出是否都是有界输出，或者检查系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统的输出趋近一个常数（包括零），就可以断定系统是稳定的[19]。系统的稳态输出是指当∞→n 时，系统的输出。如果系统稳定，信号加入系统后，系统输出的开始一段称为暂态效应，随n 的加大，幅度趋于稳定，达到稳态输出。

判断系统的稳定性，还可以根据系统函数的极点是否在单位圆内来判断系统是否稳定。当系统函数的极点都在单位圆内时，系统函数的时域的傅里叶变换存在，即满足傅里叶变换的条件，那么系统稳定，反之，当系统函数的极点不在单位圆内时，那么系统就不稳定。

三、实验内容及步骤

（1）给定一个低通滤波器的差分方程为

输入信号 )()(81n R n x =

a) 分别求出系统对)()(81n R n x =和)()(2n u n x =的响应序列，并画出其波形。

b) 求出系统的单位冲响应，画出其波形。

（2）给定系统的单位脉冲响应为

用线性卷积法分别求系统h 1(n)和h 2(n)对)()(81n R n x =的输出响应，并画出波形。

（3）给定一谐振器的差分方程为

)

2()()2(9801.0)1(8237.1)(00--+---=n x b n x b n y n y n y 令

49.100/10=b ，谐振器的谐振频率为0.4rad 。 a) 用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为)(n u 时，画出系统输出波形。

b) 给定输入信号为

求出系统的输出响应，并画出其波形。

四、实验结果

(1) 实验源程序

%内容一：调用filter 解差分方程，由系统对u(n)的响应判断稳定性

A=[1,-0.9];B=[0.05,0.05];

x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1,50)];

x2n=ones(1,128);

hn=impz(B,A,100);nhn= 0:length(hn)-1;

subplot(2,2,1);stem(nhn,hn,'.');

title('(a)系统单位脉冲响应h(n)');xlabel('n');ylabel('h(n)');box on

y1n= filter(B,A,x1n);n1n= 0:length(y1n)-1;

subplot(2,2,2);stem(n1n,y1n,'.');

title('(b)系统对R8(n)的响应y1(n)');xlabel('n');ylabel('y1(n)');box on

y2n= filter(B,A,x2n);n2n= 0:length(y2n)-1;

subplot(2,2,3);stem(n2n,y2n,'.');

title('(c)系统对u(n)响应y2(n)');xlabel('n');ylabel('y2(n)');box on

%内容2:调用conv 函数计算卷积

x1n= ones(1,8);

h1n= [ones(1,10) zeros(1,10)];nh1n= 0:length(h1n)-1;

h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1,10)];nh2n= 0:length(h2n)-1;

y21n=conv(h1n,x1n);n21n= 0:length(y21n)-1;

y22n=conv(h2n,x1n);n22n= 0:length(y22n)-1;

figure(2)

subplot(2,2,1);stem(nh1n,h1n,'.');

title('(d)系统单位脉冲响应h1(n)');xlabel('n');ylabel('h1(n)');box on

subplot(2,2,2);stem(n21n,y21n,'.');

title('(e)h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)');xlabel('n');ylabel('y21(n)');box on

subplot(2,2,3);stem(nh2n,h2n,'.');

title('(f)系统单位脉冲响应h2(n)');xlabel('n');ylabel('h2(n)');box on

subplot(2,2,4);stem(n22n,y22n,'.');

title('(g)h1(n)与R8(n)的卷积y22(n)');xlabel('n');ylabel('y22(n)');box on

% 内容3:谐振器分析

un=ones(1,256);

n=0:255;

xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);

A=[1, -1.8237, 0.9801];B= [1/100.49,0,-1/100.49];

y31n=filter(B,A,un);n31n= 0:length(y31n)-1;

y32n=filter(B,A,xsin);n32n= 0:length(y32n)-1;

figure(3)

subplot(2,1,1);stem(n31n,y31n,'.');

title('(h)谐振器对u(n)的响应y31(n)');xlabel('n');ylabel('y31(n)');box on

subplot(2,1,2);stem(n32n,y32n,'.');

title('(i)谐振器对正弦信号的响应y32(n)');xlabel('n');ylabel('y32(n)');box on

（2）实验运行结果

内容一:系统的单位冲响应的波形如下图(a)所示，系统 和 的响应序列的波形如下图(b)和图(c)

内容二：系统的单位脉冲响应波形h1(n)和h2(n)如下图(d)、图(f)所示，系统的单位脉冲响应h1(n)和h2(n)与R8(n)卷积如图(e)、图(g)所示

内容三:谐振器对u(n)和正弦信号)4.0sin()014.0sin()(n n n x +=的响应波形如下图(h)和图(i)所示 结论：通过对以上实验波形分析知，当输入信号为u(n)时，系统是稳定的，当输入为上述的正弦信号时，系统是不稳定的。

五、思考题(选做)

(1) 如果输入信号为无限长序列，系统的单位脉冲响应是有限长序列，则可用分段线性卷积的方法求系统的响应。

(2) 如果信号经过低通滤波器，则信号的高频成分被滤掉，时域信号的变化减缓，在有阶跃附近产生过渡带，因此，当输入矩形序列时，输出序列的起始和终止都产生了明显的过渡带，波形见实验内容一。

六、实验总结

(1) 时域求系统响应的方法有两种，第一种是通过解差分方程求得系统的响应输出，注意合理的选择系统的初始条件，第二种是已知系统的单位冲激响应，通过求系统输入与单位脉冲响应的线性卷积求得系统的输出。

(2) 实验中要检查系统的稳定性，其方法是在输入端加上单位阶跃序列，观察系统的输出波形，如果波形的幅值稳定在一个常数值附近，则系统稳定，否则系统不稳定。上面第三个实验是稳定的。

(3) 谐振器具有对某个频率进行谐振的性质，本实验中的谐振器的谐振频率为0.4rad 。