大学高等数学_09反常积分及其收敛性_习题课
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反常积分的判敛法
在上式中令 x 1 ，则得 ( 1 )2 eu2 du2 .
2
20
2
例 6．利用 函数求积分 x19ex8 dx 的值. 0
解：令 x8 t ，8x7dxdt ，( x)
et t x1 dt
0
x19ex8 dx 0
( x1) x( x)
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴
dx 0 1 x
发散，故
0
1
dx x sinx
也发散。
由于
a
推论 3.2（极限判别法）
设 f ( x)C[a, b) ， f ( x)0 ， xb 为无穷型间断点，
且 lim (b x)q f ( x)l ，则
xb
（1）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
收敛；
（2）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
( 1 )
1 8
1800eettx5281xd1t28x187dx( 52
)
1 8
2
( 3 2
1)
1 3( 3 ) 1 3( 1 1) 1 31( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
反常积分习题课
比较法则 设定义在(a, b]上得两个函数 f 与g, 瑕点同为xa, 在任何[u, b](a, b]上都可积, 且满足
0 f (x) g(x), x (a,b],
b
a f (x)dx
比较判别法渐近性态
若g(x)0, 且
lim f (x) c, xa g(x)
则有:
Cauchy判别法
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b] 上可积, 则
反常积分习题课
第十一章
反常积分习题课
基本问题: 反常积分得敛散性判别及其计算
无穷积分与暇积分得概念及其敛散性, 绝对收敛性
敛散性判别:Cauchy准则,比较判据 (Cauchy),Dirichlet判据,Able判据
无穷积分与暇积分得计算(极限)
统一思想:转化思想,极端原理
由熟悉(有界闭区间有界函数得性质) 认识(极限性质)陌生;极端原理(抓主 要矛盾、控制思想)。
(i)
当|
f
(x) |
(x
M a)p
,
(ii) 当
| f (x) | M , (x a)p
Cauchy判别法渐近性态
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b]
上可积、 如果
则有:
lim (x a) p f (x) ,
xa
1 f (x)
(x a)p
4、 变号函数判别法
(i)
当
f
(x)
M xp
,
(ii) 当
f
(x)
M xp
,
其中M就是某正实数。
Cauchy判别法极限形式 设 f 定义于[a, ), 在任何 有限区间[a, u]上可积, 且
0 f (x) g(x), x (a,b],
b
a f (x)dx
比较判别法渐近性态
若g(x)0, 且
lim f (x) c, xa g(x)
则有:
Cauchy判别法
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b] 上可积, 则
反常积分习题课
第十一章
反常积分习题课
基本问题: 反常积分得敛散性判别及其计算
无穷积分与暇积分得概念及其敛散性, 绝对收敛性
敛散性判别:Cauchy准则,比较判据 (Cauchy),Dirichlet判据,Able判据
无穷积分与暇积分得计算(极限)
统一思想:转化思想,极端原理
由熟悉(有界闭区间有界函数得性质) 认识(极限性质)陌生;极端原理(抓主 要矛盾、控制思想)。
(i)
当|
f
(x) |
(x
M a)p
,
(ii) 当
| f (x) | M , (x a)p
Cauchy判别法渐近性态
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b]
上可积、 如果
则有:
lim (x a) p f (x) ,
xa
1 f (x)
(x a)p
4、 变号函数判别法
(i)
当
f
(x)
M xp
,
(ii) 当
f
(x)
M xp
,
其中M就是某正实数。
Cauchy判别法极限形式 设 f 定义于[a, ), 在任何 有限区间[a, u]上可积, 且
二无界函数反常积分审敛法
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
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2; 3
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的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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当 p 1时, 可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
b
a
f
( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
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f (x) dx 发散 , 则称
数学分析 反常积分习题解答
b
b
使 f (x)g(x)dx g(b) f (x)dx;
a
(2)若g(x) 在 [a,b]单调减少, 且 g(b) 0,
则 [a,b],
b
使 f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx.
a
a
..
Abel 判别法:
定 理
设积分 f (x)dx收敛 , g(x) 在 [a,b] 上单调有界, a
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
1
e dx
例 讨论积分
的敛散性.
0 x p ln x
例 证明积分
1
0
1 xp
sin
1 x
dx
当
p 2 时收敛.
例 判别积分的收敛性: (ⅰ) 1 ln x dx ; (ⅱ) 2 x dx
0x
1 ln x
例 讨论反常积分 ( ) x 1 dx 的敛散性.
例 讨论积分 sin x dx 的敛散性. 1x
例
讨论积分
sin x
1
arctan x dx x
的敛散性.
四. 无界函数反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反
常积分. 以只有一个奇点 x b 为例, 列出相应的结果如下:
定理8.2.1’ (Cauchy收敛原则)
8
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
2
Dirichlet 判别法:
5
设F ( A) A f (x)dx在区间 [ a , ) 上有界, a
g(x)
在
[a,b]
上单调有界且
lim
x
g
(
x)
0
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
《反常积分课件》课件
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汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
高数-反常积分的收敛性习题
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+adx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛； 当⎰∞+a dx x f )(发散时⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A Aεϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+a dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(l i m=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dxx f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
反常积分的收敛判别法40页文档
反常积分的收敛判别法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)
lim
0
c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 常积分收敛 .
思考与练习
P256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)
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说明: 已知
得下列比较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(
x)
M xp
p 1,
f
(x)
N xp
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例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
(b a)1q
b
1 q
a ,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,
1 0
1
1 x2
x2
1 x2
dt
1 d(x 1x)
0
(x
dx
的敛散性
.
解:
1
lim x2
x
3
1
x
2
x
2
lim x 1
x
2
x
2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.
若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分
a
f
( x) d
x收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
f (x)d x 2
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如,
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则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
1
1 x
2
,0∴1积 分1x收敛01
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例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a , b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3. 判别反常积分
x2 1 1 x2
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
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例1. 计算反常积分
解:
[arctan x ]
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
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定义2. 设 f (x) C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
1 x
)
2
2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
v.p. f (x) dx lim
a
f (x)dx
a a
第四节 反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
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一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
P256
作业
1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2; 3
提示: P256 题2
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k
)
2
x
dx (ln x)
k
(k
1 1)(ln
2)k 1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
01
x2 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
x2
d
x
1
2
0
(x
1
1 x
)
2
2
d
(x
1) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
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解: 原式 t e pt p
1 p2
e
pt
1 p2
1 e pt d t
p0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
收敛 .
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定义. 设反常积分 f (x) d x 收敛 , a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
绝对收敛 ; 条件收敛 .