2019年交通大学{高等数学)试题及答案
2019年上海交通大学自主招生数学试题解析
年上海交通大学自主招生试题解析福建省厦门市叶超杰1.已知解：因为，则2.已知，试解：易知当时则3.已知方程各个实根为，同侧，求的取值范围解：因为，则与两点，则易知4.已知复数满足，求负实数的值解：，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解得情形一：当，满足题意，则此时情形二：当即解得6.对于的最小值解：，所以时，又则所以时，即，此时7.已知数列，若，求的最小值解：因为所以的最小值为8.展开式中奇次幂的项的和为解：由题意可知则9.解：而所以，当且仅当时，等号成立10.，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若解：设，则而此时由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选12.已知复数所对应的点为，，且满足的面积解：设，因为，则情形一：当而情形二：当13.实数解：解得当且仅当时，等号成立14.15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以16.，则（）解：因为则所以同理可得17.定义平面上两点，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时点坐标为18.已知的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选。
2019年高考数学上海卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。
上海交通大学高等数学期末考试试卷(含答案)
上海交通大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
4．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
5．曲线在点处切线的方程为（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
7．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．极限（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
11．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
12．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
14．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
西安交通大学2019年春季《高等数学》(专升本)在线作业及答案
西安交通大学2019年春季《高等数学》(专升本)在线作业及答案一、单选题（共25 道试题，共50 分。
）V 1. 已知y=xsin3x ，则dy=（）.A. (-cos3x+3sin3x)dxB. (3xcos3x+sin3x)dxC. (cos3x+3sin3x)dxD. (xcos3x+sin3x)dx正确答案：B 满分：2 分2. 函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（）A. 4B. 0C. 1D. 3正确答案：A 满分：2 分3. 曲线y=x/(x+2)的渐进线为( )A. x=-2B. y=1C. x=0D. x=-2,y=1正确答案：D 满分：2 分4. M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离∣M1M2∣=（）.A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C 满分：2 分5. 两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. ab=0B. a*b=0C. a-b=0D. a+b=0正确答案：A 满分：2 分6. 若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在处（）A. 可导B. 不可导C. 连续但未必可导D. 不连续正确答案：C 满分：2 分7. 求抛物线y=x^2与y=2-x^2 所围成的平面图形的面积.A. 1B. 8/3C. 3D. 2正确答案：B 满分：2 分8. 当x→0时，下列函数不是无穷小量的是（）B. y=0C. y=ln(x+1)D. y=e^x正确答案：D 满分：2 分9. 曲线y=2+lnx在点x=1处的切线方程是（）A. y=x-1B. y=x+1C. y=xD. y=-x正确答案：B 满分：2 分10. 函数y=x^2*e^(-x)及图象在(1,2)内是( ).A. 单调减少且是凸的B. 单调增加且是凸的C. 单调减少且是凹的D. 单调增加且是凹的正确答案：B 满分：2 分11. 以下结论正确的是( ).A. 若x0为函数y=f(x)的驻点,则x0必为函数y=f(x)的极值点.B. 函数y=f(x)导数不存在的点,一定不是函数y=f(x)的极值点.C. 若函数y=f(x)在x0处取得极值,且f′(x)存在,则必有f′(x)=0.D. 若函数y=f(x)在x0处连续,则y=f′(x0)一定存在.正确答案：C 满分：2 分12. 设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（）。
2019年上海交通大学自主招生考试试题卷(含答案和解析)
，则
又
，所以
而 此时 由三元均值不等式可知
当且仅当
时，等号成立
11.对定义域内任意的 ，若满足 数是凸函数的是（ ）
解：易知选
，则称
为凸函数，下列函
12.已知复数 所对应的点为 ，若
，且满足
，求
的面积 解：设
，因为
，则
情形一：当 而 情形二：当
，则 时，同理可得
综上所述：
的面积为
13.实数 满足
，求
年上海交通大学自主招生试题
1.已知 解：因为
，且 ，则
，求
2程
各个实根为
直线 同侧，求 的取值范围
解：因为
，则
，若点
而函数 与
相交于
和
两点，则易知
或
，试 均在
4.已知复数 满足 解：设
，且 ，因为
，求负实数 的值 ，则
情形一：当
时，则
解得
情形二：当
，则折线距离之和
由绝对值的几何意义可知
此时
，则 点坐标为
18.已知
，
（）
解：由题意可知当抛物线与圆相切时
整理可得 而
，解得
故选
，则
的充要条件是
时，则
因为 ，所以此时 无解 综上所述： 5.若方程 解：因为
或
的三个根可以作为三角形的三边长，求 的范围
，则
，令
且 情形一：当
，解得 ，满足题意，则此时
情形二：当
，则只需满足
即
解得
，综上所述：
6.对于 解：因为
，若
又 则 所以
，求 ，所以
时，
的最小值
时，
西南交通大学期末真题及答案19-20高等数学II半期考试试卷参考解答
西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。
我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。
如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。
您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。
一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。
西安交通大学高等数学期中考题 (2)
一、解答下列各题（每小题7分，共70分）１．设函数()xy y x f 2arcsin ,=，求),(y x df 。
214２．设由方程09222=--++z xy y x 可确定),(y x z z =，求)1,2,1(-∂∂x z，)1,2,1(2-∂∂∂y x z 。
３．求曲面122-+=y x z 在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。
４．求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 2sin 2在0=t 时的切线与法平面方程。
５．交换累次积分的次序：⎰⎰--+=111122),(y y dx y x f dy I ，其中),(y x f 是连续。
６．计算二重积分： ⎰⎰≤+++=222)1sin (2a y x dxdy y x I 。
７．设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成，已知它的密度为2),,(z z y x f =，试计算它的质量。
８．求函数22z yx u -=在点A ()1,1,2-处的方向导数的最大值。
９． 10．（工科分析做①其他做②）①设Txy ey x y x f ),(),(22+=求)1,1(),1,1(df Df ；②设方程组⎩⎨⎧-==+22222vu xy uv y x ，确定了函数),(),,(y x v v y x u u ==，求x vx u ∂∂∂∂,。
二、（8分）设函数),(2x y y x f z =，其中),(y x f 二阶偏导数连续，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,。
三、（8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，试讨论该函数),(y x f 在点)0,0(的连续性、可微性。
四、（7分）求曲面221y x z ++=在点M ()3,1,1-的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积。
五．（7分）设函数),,(z y x f 在闭球体3:222≤++Ωz y x 上有连续的偏导数，且满足条件①在Ω上1=∂∂xf，1=∂∂yf，1-=∂∂z f ，②11)1,1,1(=f ，试求函数),,(z y x f 并证明Ω∈∀≤≤),,(,13),,(7z y x z y x f 。
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《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ C ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ A ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ A ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ C ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ D ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ D ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（B ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ D ） A ）、11cos 2y -B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x- 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( A )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ B ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
A )、高阶无穷小B )、低阶无穷小C )、等价无穷小D )、同阶但不等价无穷3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰5. 10=⎰( )A ）、1B ）、2C ）、0D ）、46. 设x xe dt tf 20)(=⎰，则=)(x f （ ）A ）、x e 2B ）、x xe 22C ）、x e 22D ）、122-x xe7. 10()()bx x a e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,18. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π9. =-⎰-dx xx 2121221)(arcsin ( )A ）、0B ）、3243π C ）、1 D ）、22π10. 若1)1(+=x x x f ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln11. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分12. 若()f x 在0x x =处可导，则()f x 在0x x =处（ ）A ）、可导B ）、不可导C ）、连续但未必可导D ）、不连续13. =+x x arccos arcsin ( ).A πB 2π C4π D 2π14. 20sin 1lim x e x xx -+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 2. 如果21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x ，则=n ______. 3. 设⎰+=C x dx x f 2cos )(，则=)(x f4. 若⎰++=C x dx x xf )1ln()(2，则⎰=dx x f )(15. ⎰=++dx xx2cos 1cos 12 三.判断题1. 函数1f(x)=(0,1)1x x a a a a +>≠- 是非奇非偶函数. （ ）2. 若)(lim 0x f x x →不存在,则02lim ()x x f x →也一定不存在. （ ）3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ）4. 方程2cos (0,)x x π=在内至少有一实根. （ ）5. 0)(=''x f 对应的点不一定是曲线的拐点（ ）四.解答题1. 求bxax e e bxax x sin sin lim 0--→ (b a ≠)2. .已知函数⎩⎨⎧≥+<+=0201)(2x bx x x x f 在0=x 处连续,求b 的值.3. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=-kx x f x 2)1()( 00=≠x x ，试确定k 的值使)(x f 在0=x 处连续4. 计算tan(32)x dx +⎰.5. 比较大小22211,.xdx x dx ⎰⎰.6. 在抛物线2y x =上取横坐标为121,3x x ==的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？7. 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥-01,cos 110,2x xx xe x ，计算⎰-41)2(dx x f .8. 若=)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰dx x xf )(.9. 求由直线0=y 和曲线12-=x y 所围成的平面图形绕y 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案2一.选择题 1. D 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 11. B 12. C 13. D 14. A 15. B 二.填空题 1. 0 2. 23. x 2sin 2-4. C x x ++3261215. C x x ++21tan 21 三.判断题 1. F 2. F 3. F 4. F 5. T 四.解答题 1. 1 2. 1b = 3. 2-=e k4. 1tan(32)ln cos(323x dx x C +=-++⎰ 5. dx x dx x ⎰⎰<21221 6. (2,4)7. 解：设则,2t x =-⎰-41)2(dx x f =⎰-21)(dt t f =+⎰-01)(dt t f ⎰2)(dt t f =++⎰-01cos 11dt t ⎰-22dt te t =212121tan4+--e8. 解：由已知知1ln )ln ()(+='=x x x x f则C x x x dx x x dx x xf ++=+=⎰⎰2241ln 21)1(ln )(9. ()22101012012ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==---⎰⎰y y dy y dy x V《高等数学》试题3一.选择题1. 设函数)1(log )(2++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（ ）．A)、奇函数 B)、偶函数C)、非奇非偶函数 D )、既是奇函数又是偶函数2. 下列极限等于1的是（ ）.A )、x x x sin lim∞→ B )、x x x 2sin lim 0→ C )、x x x sin lim 2π→ D )、xxx -→ππsin lim3. 若⎰+=-C e dx x f x 6)(，则=)(x f （ ）A ）、()2xx e + B ）、()1xx e -C ）、66x e --D ）、()1xx e +4. 220cos x xdx π=⎰( )A ）、1B ）、224π- C ）、0 D ）、45. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin6. 设x xe dt tf 20)(=⎰，则=)(x f （ ）A ）、x e 2B ）、x xe 22C ）、x e 22D ）、122-x xe7. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π8. =-⎰-dx xx 2121221)(arcsin ( )A ）、0B ）、3243π C ）、1 D ）、22π9. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分10. 设dt du u x f x t⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=02)1ln()(，则(1)f ''=（ ）A ）、0B ）、 1C ）、2ln 1-D ）、 2ln11. 设ln y x x =，则(10)y =（ ）A ）、91x -B ）、91xC ）、98!xD ）、98!x - 12. 曲线ln y x =在点（ ）处的切线平行于直线23y x =-A ）、1,ln 22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ）、11,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ）、()2,ln 2D ）、()2,ln 2- 13. 1-=x y 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=( ).A 0B 2 C49D 3 14. =-⋅-→21tan limxx b a x x x （ ）A 0B b a ln ln -C a lnD b ln15. 函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 5ln二.填空题1. 设函数f x x x x k x (),,=>+≤⎧⎨⎪⎩⎪e 2122，若f x ()在2x =处连续，则k=2. 设x x f +='1)(ln ，则=)(x f3. 若⎰++=C x dx x xf )1ln()(2，则⎰=dx x f )(14. ⎰=++dx xx2cos 1cos 125. 曲线15xy e =+ 的水平渐近线为___________.三.判断题 1. 2arctan lim π=∞→x x .（ ）2. 若)(lim 0x f x x →与)(lim 0x g x x →均不存在，则)]()([lim 0x g x f x x ±→的极限也不存在. （ ）3. 若函数()f x 在0x 的左、右极限都存在但不相等，则0x为()f x 的第一类间断点. （ ）4. 0==x x y 在处不可导（ ）5. 对于函数()f x ，若0)(0='x f ，则0x 是极值点.（）四.解答题1. 设2)(,sin tan )(x x x x x =-=φϕ，判断当0→x 时)(x ϕ与 )(x φ的阶数的高低.2. 证明方程x e x 3=至少有一个小于1的正根.3. 计算⎰+2x x dx.4. 比较大小22211,.xdx x dx ⎰⎰.5. 设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，求0x dydx=6. 求函数32ln 1x y +=的导数7. 计算dx e xx x x⎰++]1)ln 21(1[38. 设连续函数)(x f 满足⎰-=10)(2)(dx x f x x f ，求)(x f9. 求由曲线2x y =和x y =所围成的平面图形绕y 轴一周旋转而成的旋转体体积。