《金融衍生物定价理论》大作业解答

大作业解答

1. 设函数(,)f x t 满足下列偏微分方程:

222(,)(,)02f x t f f x t t x x

σμ∂∂∂++=∂∂∂ (1) 及终值条件(,)()f x T x ψ=

若t x 满足下列随机微分方程

(,)(,)t t t t dx x t dt x t dw μσ=+

t w 为标准Brown 运动.

证明:f 可表为

(,)(()|)T t f x t E x x x ψ==

证：令1(,)(()|)T t f x t E x x x ψ==,

则1(,)(()|)()

T T f x T E x x x x ψψ===满足终值条件. 下面只须说明1(,)f x t 满足(1)式. 11112211112

2211112

211112(,)(,)(,)(,)

1(,)()21(,)()21(,)(,)(,)2t T

T t t

T t t

T t t

T t t

f x t t t

f x T f x t df x f f f f x t d dx dx t x x f f f f x t d dx dx t x x f f f f x t d x d x dw t x x λλλλλλλλλλλλμλλσλσ∀=+∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰将看做是关于的函数，（）222111112(,)()1(,)((,)(,))(,);2T t t x d o d f f f f f x t x x d x dw t x x x λλλλλλλλσλμλλσλ+∂∂∂∂=++++∂∂∂∂⎰（

从而有:

112211112(,)(()|)

((,)|)

1(,)((,)(,))2T t T t T t f x t E x x x E f x T x x f f f f x t x x d t x x λλψσλμλλ====∂∂∂=+++∂∂∂⎰（

从而

2211121((,)(,))02T t

f f f x x d t x x λλσλμλλ∂∂∂++=∂∂∂⎰（; 由于对所有t 都有上式成立，故

221112(,)(,)02f f f x t x t t x x

σμ∂∂∂++=∂∂∂；即1f 满足（1）式。 由以上可知1(,)(()|)T t f x t E x x x ψ==为原偏微分方程的解。

2. 设股票在[,]t t t +∆内分红t qs dt ，t s 为股票价格，q 为红利率。q V 为期权价格。推导q V 满足的Black-Scholes 方程. 设t ds sdt sdw μσ=+，收益函数为()T s ψ，同时用0V 表示不分红利对应的欧式期权。证明：()0(,)q T t q V V se t --=；

解：建立投资组合V S ∏=-∆；则

()t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t r dt

V S S qdt

V S S qdt V S r V S dt

+∆+∆+∆+∆+∆+∆∏-∏=∏∏=-∆-∆-∆-∆-+∆=-∆

故V 满足的方程为 ()dV ds sqdt r V S dt -∆-∆=-∆

将上式展开，结合t ds sdt sdw μσ=+，可得

2222

2222

1()()2()()0

1(())2()0t t t V V V dt Sdt Sdw S Sdt Sdw t S S Sqdt r V S dt o dt V V V S S S Sqdt r V S dt t S S V S S dw S

μσσμσμσμσσ∂∂∂+++-∆+∂∂∂-∆--∆+=∂∂∂++-∆-∆--∆∂∂∂∂+-∆=∂

其中随机项的系数应为0，故V S

∂∆=

∂； 从而原来的方程可以化简为

22221()02V V V S r q S rV t S S

σ∂∂∂++--=∂∂∂； 这就是q V 应满足的Black-Scholes 方程。

q V 是方程

22221()0;02(,)()T T

V V V S r q S rV t T t S S V S T S σψ⎧∂∂∂++--=<<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩ 的解。

*()002222(,)(,);

10;0;2(,)()q T t T T

V S t V Se t V V V V S rS rV t T t S S V S T S σψ--=⎧∂∂∂++-=<<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩令对应的方程是

结合 *

()()()00*

()()02*

()()02(,)(,)(,)(,)(,);(,)(,)q T t q T t q T t q T t q T t q T t q T t V V V S t Se t qSe Se t t t S

V V S t e Se t S S

V V S t e Se t S S

--------------∂∂∂=+∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂； 可知*

V 满足的方程是 *2**

22*2*1()0;02(,)()T T

V V V S r q S rV t T t S S V S T S σψ⎧∂∂∂++--=<<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩

从而可知

*()0(,)(,)(,)q T t q V S t V S t V se t --==；

3．证明V S

∂∆=∂满足下列偏微分方程。 22222

1()02r q S S q t S S σσ∂∆∂∆∂∆+-++-∆=∂∂∂； 及相应的终值条件'|()t T T S =∆=ψ