三角恒等变换复习课件
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第5章三角恒等变换复习课件-湘教版必修2
4
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
第4节 三角恒等变换--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
(2)通过变换,产生可消去的正负项,再去求值;
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
三角恒等变换复习课件
三角恒等变换复习课件
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
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5
10
(2)已知 ， 为锐 co 角 s 3， ,cos()5,
5
13
求 cos的值。
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论 中的角间的关系，合理拆、凑，用已知角凑出要求角。
变式练习：
( 1 ) 已 ta知 n ) ( 2 , （ ta ） n 1 ,求 ta ) n
(2 )若 为锐 5 s（ i角 n )4 ， 1,4 求 且 c os4
三角恒等变换
常见题型
求值
化简
证明
一、给角求值
例1. (1)求 co2s0 co4s0 co 8 s的 0 值 22co1cso002ss00in200
[借题发挥]解决此类问题的关键在于： 研究角间的关系：倍半、互余互补、角的和差关系
二nα＝ 5 ， cosβ＝3 10 求sin(α β)
63
注：常用角的变换：
① ()
② 2 ( ) ( )
③ 2 ()
④ ⑤
2( 2)()
4
4
三、给值求角
例3 锐角α， β满足sinα＝ 5 ， cosβ＝ 3 10 求α β
5
10
[借题发挥]（1）先求角的某一三角函数值，转化为 “给值求值”问题，尽量选择区分度高的函数名。 （2）结合角的范围求角。（当函数名选择的不恰当 或角的范围过大时需要缩小角的范围）。
练习：
1.已c知 o 4s ()1 1,2 3 (0, 4)求 , sc i n o 2 ( s)的值
4
练习：
2 .已 co 知 s) (4 , (0 ,)求 ,si2 n ()的值
65 2
12