《三角恒等变换》复习课(课堂PPT)
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第5章三角恒等变换复习课件-湘教版必修2
4
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
三角函数与三角恒等变换复习PPT优秀课件
偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的 横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当 最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2
3 2
2 x
2 -1
3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R
[-1，1] T=2
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
3-5第五节 三角恒等变换(59张PPT)
θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0< < ，∴cos >0. 2 2 2 因此 2＋2cosθ＝ θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sinθ＋cosθ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin2cos2＋2cos 2)(sin2－cos2) θ θ θ θ ＝2cos2(sin22－cos22)＝－2cos2cosθ.
第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形
第五节 ►►三角恒等变换
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
高考这样考 1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角 公式进行化简、求值． 2.考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函 数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题.
备考这样做 1.牢记和角公式、倍角公式把握公式特征． 2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.
D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
课 本 导 读 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝
【思维启迪】
π (1)可利用配角公式得到 sin(θ＋ )的值，结合 4
答案
3
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 【例 1】
三角函数式的化简
化简：(1)sin50° (1＋ 3tan10° )；
θ θ 1＋sinθ＋cosθsin －cos 2 2 (2) (0<θ<π)． 2＋2cosθ 【思维启迪】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；
θ (2)统一为2的三角函数，变形化简．
人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课教学课件复习(第4课时二倍角的正弦余弦正切公式)
课件
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1－2sin2α 2cos2α－1
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
2α，cos
sin 2α α＝___2_s_in__α__.
(2)1±sin 2α＝ (sin α±cos α)2 .
1－cos 2α 2
课件
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15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]
栏目导航
3.12－cos2π8＝________.
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课件 课件
课件 课件
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课件 课件
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课件－Leabharlann 2 4[12－cos2π8＝12－1＋2cosπ4
课件 课件 课件
课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
必修4第三章三角恒等变形复习课
[解析] (1)f(x)＝61＋cos2x－ 3sin2x 2
＝3cos2x－ 3sin2x＋3
＝2 3( 3cos2x－1sin2x)＋3
2
2
＝2 3cos(2x＋π)＋3， 6
故 f(x)的最大值为 2 3＋3； 最小正周期 T＝2π＝π.
2
(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3， 故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6， 故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：
（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）.
（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明.
（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面思考.
2．三角函数式化简的基本技巧．
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)1±sinα化为 1±cos(π±α)，再升幂或化为(sinα±cosα)2.
2
22
(4)asinα ＋ bcosα→ 辅 助 角 公 式 asinα ＋ bcosα ＝
a2＋b2sin(α＋φ)，其中 tanφ＝b
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是 三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果 两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
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( 1, 3 )(cA o ,ss iA n ) 1,
即3siA ncoA s1,2(23s iA n1 2coAs)1,
sinA(6)12.
0A , 6A656,
A6
6 ,
即
A
3
.
（ 2 ） 由 c1 o 2 B s sis2n B i2n B3, 得(cco2oB B s sssiin B n 2B )2 3, 即c co oB Bs s s siiB B n n3,
tan ()
tan tan 1tan tan
tan tan
tan()1 tan tan
2、倍si2 角 n 公2 s式in c os变形
(sincos)2 1si2 n
co 2 sc2 o ssi2 n co 2ssi2 n1
2 cos2 1
1 2sin2
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn212ttaann2
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。
（4）常用技巧： ①切化弦 ②化“1” ③正切的和、积 ④角变换 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角
课后巩固：
(1)sin5sin1
12 12 (2 )c2 oc 0 s4 oc 0 s6 oc 0 s8 o 0 s
(3)函f数 (x)co2x s2sixn的值域为
(4)sin7cos15sin8 = cos7sin15sin8
三角恒等变换复习
基本知识框架：
几何法，三 角函数线
C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
复习回顾
1、两角和与差的正弦、余弦和正切
cos() co cso ssin sin
cos() co cso ssin sin
sin() sin co sco ssin sin() sin co sco ssin
解： ， 为锐 角 0 ① ()
又 co s1,cos()13
7
14
② 2 () ( )
③ 2 ()
si n43,si n()33,
④
c o 7 c s o s)[ 1 (]4
⑤ 2(2)()
co s)(co s sin ()sin 23⑵ 注意对角范围4的要求。4
98
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系， 分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角
co2s1co2s sin21co2s
2
2
3、半角公式
cos 1cos
2
2
sin 1cos
2
2
tan 1 cos 1 cos
2
1 cos sin
sin 1 cos
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角
2
所在
的象限确定.
辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a
b
a2 b2
(
six n a2b2
cox)s a2b2
a2 b2 (co sis x n sin co x )s
a2 b2 sinx().
其 由 中 sin b ， co s a 确 . 定
a2b2
a2b2
公式的作用：
利用辅助角公式可以将形如 y=asin+bcos的函
数，转化为一个角的一种三角函数形式。有利于求三角 函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
(5)化1 简 111co 2 （ s32 )
2222 2
（ 6 ）s已 in )( 知 5 3 ,sin )( 1 5 ,则 tta a n n
例一
(1 )co 7s s 41 in 4 si7n c 41 os 4
3 2
1 (2 )s2 in c 01 o1 s c0 1 o6 s7 i0 n0
（公式变，逆用）
例 2 ：， 已 为 知 c 锐 o 1 s ,c 角 o s ) ， ( 13
求cos的值
7
14
注：⑴ 常用角的变换：
技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是： ⑴ 找差异：角、名、形的差异；
⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来；
⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式.
co B s0, 1 1 tta aB B n n3, taB n2,
ta C n ta n (A [B ) ]taA n(B)
1tatn A an AttaaB nB n
2 1 2
3 3
85 11
3
.
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化
函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换
用已知角表示．
例3：已知函 f(x数 )coxs(sinx 3coxs)(xR) （1）求函数的最小正周期 （2）求函f (数 x)的最大值以及取 时x最 的大 取值 值集 （3）写出函数的单 区调 间递减
例4 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m ( 1 ,3 ),n (c A ,s oA i) s ,n m n 1 . （1）求角A；（ 2 ） 若 c1 2 o B s ss i2 B n i2B n 3,求 ta C .n 解： (1)mn1,