《简单的三角恒等变换》_三角函数PPT优秀课件
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省级教学竞赛获奖课件(人教版)5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)
2
2
2
将(1)(2)两个等式的左右两边分别相除，可得tan2 α 1 cosα . 2 1 cosα
简单的三角恒等变换
例7的结果还可以表示为：
cosα 1 2sin2 α 2
降角升幂
cosα 2cos2 α 1 2
sin2 α 1 cosα
2
2
降幂升角
cos2 α 1 cosα 22
因此，函数y sin x 3 cos x周期为2，最大值为2，最小值 2.
【解析】(2)原式 5(3 sin x 4 cosx)
5
5
5(cos sin x sin cosx) 5sin(x ) (其中tan 4)
3
因此，函数y 3sin x 4cos x的周期为2，最大值为5，最小值 5.
a
简单的三角恒等变换
【例9】求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) y sin x 3 cos x； (2) y 3sin x 4cosx.
【解析】(1)原式 （2 1 sin x 3 cos x) （2 cos sin x sin cosx) 2sin(x )
2
2
3
3
3
2
（3） 3sin15 cos15;
【解析】原式 2(sin 15 3 cos15 1 ) 2(sin 15 cos30 cos15 sin 30 )
2
2
2sin(15 30 ) 2sin 45 2.
简单的三角恒等变换
【例6】把下列各式化成Asin(ωx φ)的形式.
（1）sinx cosx;
简单的三角恒等变换
【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上
第四章§4.3第2课时 简单的三角恒等变换课件(共张86PPT)
1－－232＝
5 3.
2.(2020·江苏改编)已知 sin2π4＋α＝23，则 sin 2α 的值是
√ A.－13
1 B.3
C.－23
2 Dห้องสมุดไป่ตู้3
解析 ∵sin2π4＋α＝23， ∴1－cos2π2＋2α＝23， 即1＋s2in 2α＝23，
∴sin 2α＝13.
3.(2019·全国Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α 等于
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1＋12－12×71 71＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ant2aαn－2αttaannββ＝1－34＋34×71 71＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0，
思维升华
(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻 找转化方法. (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
6 A. 2
√ 3
5
B.2
C.4
D.1＋
3 4
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.
2·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×9＋6 1＋ 2×11－＋99＋ 22＝0.
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)
Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
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课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
计算:(1)sin 52.5°cos 7.5°=
(2)sin αsin 3α=
.
答案:(1)
3+ 2
4
1
(2) cos
2
1
2α- cos
2
;
4α
4.判断正误
(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ.(
(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ.(
《简单的三角恒等变换》_三角函数PP T优秀 课件
三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
-1《简单的三角恒等变换》_三角函数PP T优秀 课件
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课标阐释
思维脉络
1.能用二倍角公式推导半角的
正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正
切公式.
3.会用倍角公式和半角公式进
行三角函数的求值、化简和证
2
1-cosα
(1)sin 2=±
(2)cos 2=±
符号由 2 角所在的象限决定 ;
符号由 2 角所在的象限决定 ;
sin
1-cos
(3)tan 2=± 1+cosα = 1+cos = sin
符号由 2 角所在的象限决定 .
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
已知 cos
=
2
1
α=5,且
25
4
所以 cos θ=
1-cos
=2
故 sin 2=
1+cos
=2
cos 2=tan
50°,2sin 20°- 2 cos 20°=sin 20°cos 60°-cos 20°sin
2
2
60°=sin(20°-60°)=-sin 40°,sin x-cos x= 2 sin· 2
2
cos·
= 2sin -
π
4
.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空
辅助角公式 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ),其中 tan φ= ,φ 所在
π
4
.
(2)f(x)=sin x+2cos x= 12 + 22 sin(x+φ)= 5sin(x+φ),故其最大值
为 5.
答案:(1)C (2)B
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
半角公式的应用
角度1 用半角公式解决求值问题
5π
24
例 1 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的值.
1.式子 sin 20°cos 30°+cos 20°sin 30°可化简为什么形式?
1
式子 sin
2
3
20°- cos
2
20°能否化简为只含有一个三角函数的形式?
式子 sin x-cos x 呢?
提示:sin 20°cos 30°+cos 20°sin 30°=sin(20°+30°)=sin
1
3
的象限由 a,b 的符号决定.
3.做一做
(1)2sin θ+2cos θ=(
)
A.sin +
π
4
B.2 2sin +
π
C.2 2sin + 4
π
3π
4
D. 2sin + 4
(2)函数 f(x)=sin x+2cos x 的最大值为(
A.5
B. 5
C.3 D.1
2
2
)
2
2
解析:(1)2sin θ+2cos θ=2 2 sin· +cos θ· =2 2sin +
分析:先由 sin θ 的值求出 cos θ 的值,再套用半角公式求出 sin
,cos
,tan
的值,再将
视为
的一半,继续利用半角公式求出
2
2
2
4
2
的值.
cos 4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
5π
解:因为 <θ<3π,且
2
24
sin θ= ,
25
7
5π
1-sin2 =- .于是
明.
4.理解三角函数的积化和差与
和差化积公式的推导过程.
5.能利用积化和差与和差化积
公式进行简单的三角函数式的
化简、求值和证明.
6.学会初步运用“辅助角”公式
来化简三角函数式,进而研究函
数图象和性质,并能明确辅助角
公式的使用条件.
课前篇
自主预习
一
二
三
一、半角公式
1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,
.
解析:∵α∈
∴sin
2
2
=
cos
α 为锐角,则 sin=10Fra bibliotek答案: 5
π
0, 2
,∴2
1-cos
2
1+cos
2
15
5
∈
2
5
=
=
π
0, 4
3
5
=
=
,
10
,
5
15
.
5
=
2
,cos
课前篇
自主预习
一
二
三
二、积化和差、和差化积公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
提示:积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦
根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示 2 的三角
函数呢?
2
1-cos
2
,cos 2
2
提示:由倍角公式可得 sin 2 =
到 sin ,cos 用 cos α 来表示的表达式.
2
2
=
1+cos
,开方即可得
2
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空
(半角公式)
1-cosα
2
1+cosα
2
1
cos αsin β=2[sin(α+β)-sin(α-β)].
+
-
(2)sin x+sin y=2sin 2 cos 2 ;
+ -
sin x-sin y=2cos 2 sin 2 ;
+
-
cos x+cos y=2cos 2 cos 2 ;
+ -
cos x-cos y=-2sin 2 sin 2 .
和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一
半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
1
2
(2)积化和差公式右侧系数都为 吗?
1
2
提示:否.如 sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
(3)和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为
1
(3)sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θcos θ. (
(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ. (
1
)
)
)
)
(5)sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)]. (
)
2
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
课前篇
自主预习
一
二
三
三、辅助角公式
+ -
异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为 2 与 2 的形
式.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
三
1
(1)cos αcos β=2[cos(α+β)+cos(α-β)];
1
sin αsin β=-2[cos(α+β)-cos(α-β)];
1
sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)];