三角函数图像变换PPT课件
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三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数图象变换ppt课件
3
7 12
5 6
x
（3）连线：
-3
（4）根据周期性将作出的简图左右 扩展。
函数 y=sinx
（1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
1 2
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
1 函数 y sin x 2 1. 列表： x
1 x 2
0
0 0
2π
3π
3 2
4
2π 0
2
2. 描点：
sin 1 x 2
1
1 2
0
-1
y 1
． y=sin x 2 ． ． O
y=sinx
3
4 ．
1
．
1 y=sin x 2
x
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 y=sinx 1 式变：x换成( x)。 2
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
1 原来的 倍，（纵坐标不变）
y=Sin( x+ ) 的图象
三角函数图象变 换
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y 2 sinx 的图象。 解：这两个函数的周期都为 2π，则先画出 [ 0, 2π] 上的简图。
1. 列表：
x
0
1 sin x 2 y 2. 描点、作图： 2
sinx 2sin x
0 0 0
1
2
0 0 0
3 2 1
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角函数图像变换ppt
分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
三角函数的图象PPT课件-42页精选文档
（1）求f(x)的解析式；
1
（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
3
（纵坐标不变），然后再将所得图象向 x 轴正方向
平移 3 个单位，得到函数y=g(x)的图象。
写出函数y=g(x)的解析式。
答(1)案f：(x)2sinx() (2)g(x)2sinx()
36
6
知识迁移四：利用图象解决一些三角不等式 及体现数形结合思想的习题
上的图像。
22
解:(1) f(x)2si2n x2sixncoxs
1 co 2 x ssi2 x n
12(s2 ixc no sco 2xssin )
4
4
1 2sin2x( )
4
所以函数f(x)的最小正周期为, 最大值为1 2
(2)由
y1 2sin2x()
4
x
3
8
y1 2sin2x( ) 4
特点: 在对称点处 y = 0
y 1
33 55 22
22 33 22
22
o 33
22
22
-1
22 55 33 x
22
2.余弦函数y=cosx的图象特征：
①对称轴方程：xk ,kZ
特点：在对称轴处，y取最大（小）值
②对称点坐标：(k,0) ,(kZ)
2
特点: 在对称点处 y = 0
y 1
1
8
1 2
3 88
1 1 2
5 8
1
故函数y=f(x)在区间 [ , ]上的图象是
22
y
5
2
2
3 2
1
1
2
2
3 84
o
三角函数的图象变换-课件
yyssiinn(1212xx++44π)
典型例题
例1
画出函数
y＝2
sin（3x
）的简图. 6
方法 2：五点法.
问题 3：类比正弦曲线的画法，你能用“五点法” 画出函数 y＝2sin（3x 6）的图象吗？
典型例题
例1
画出函数
y＝2
sin（3x
）的简图. 6
方法 2：五点法.
典型例题
例1
画出函数
用数形结合的思想研究函数 y Asin( x )的图象和 性质.在确定参数 A，， 对函数 y Asin(x )图象的影响 时,体会了从特殊到一般的研究过程, 并利用函数的思想解决 实际问题，进一步感受三角函数刻画周期变化现象时的作用.
课堂小结
（3）通过筒车和摩天轮的学习，谈谈你对数学建模过程 与方法的认识.
y
sin(3x
6
)
y 2sin(3x 6 ).
典型例题
例1 画出函数 y＝2sin（3x 6）的简图.
y
sin(3x
6
)
纵坐标变为原来的 2 （横坐标不变）
倍
y
2
sin(3x
6
).
典型例题
例1 画出函数 y＝2sin（3x 6）的简图. 方法 1：图象变换. 问题 ：事实上这三种变换的先后顺序并无特别 规定，还有不同的变换方式吗？
为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立平面直角坐标系. H 55sin(15 t 2 ) 65，
实际问题
（2）求游客甲在开始转动 5 min 后离地面的高度；
解：当t 5时，H 55sin(15 5 2 ) 65=37.5. 所以，游客甲在开始转动 5min 后距离地面的高度约为 37.5m.
三角函数图像变换课件
π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8
π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
五、典型例题
o
x
3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6
一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3π 2 P M o y
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（A）y=sin4x y=sin(4x+ )
3
（B）
8
（C）y=sinx
8
（D）
y=sin(4x+ )
• 3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象， 只需将 y=sinx 图象（ C） A. 向左平移π/6个单 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 • 4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只需将
x-
4
4
0
sin(x- ) 2
4
0
-y1
y=sin(x+
)兀3 1
-
3
o
4
3
5 7
9
4
4
4
4
3
2
2
1
0
0
y=sinx y=sin(x-4兀
5 3
) 9
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-1
结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx的图象向左(当φ>0)或向右 (当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
6
练习一：
（式（1为2） ）将将yy==ssiinn2(12x的图x3 +象向右)平的移图象6向经右平过，移则23 所个得单图象解析
y=sin（2x-
3
1 2
变
）
换可得y=sin x的图象
位
练习二：
把函数y=sin(2x+
4
)的图象向右平8移
原来1 的
，则其解析式A 为（
）
2
个单位，再将横坐标缩小到
问题3
作函数y=sin(x+
y=sin(x-
)3
)和
4
的简图，并指出它们与y=sinx图象之
间的关系。
x
_
2 7 5
x+
sin(x+3 )2
3
3
0
0
6
2
3
1
6 3
2
3
0
-1 y
0
y=sin(x+
)兀3 1
y=sinx
2
- o 2
7
5
x
3
6
3
6
3
-1
x
y=sin2x图象（ ） D • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位
Ex:为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 B(
)而得
到. A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
值,我们把A 叫做振幅。
A的作用
纵向伸
2、函数图象的横向伸缩变换
问题2 作函数y=sin2x及y12=sin x的简图，并指出它们与y=sinx图象 间的关系。
x
0
4
2
2x
0
2
sin2x
0
1
y y=0sin2x
1 y=sinx
2
o 3
3
42 4
2
-1
3
4
3 2
2
-1
2、用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象的关键点是：(如图)
y
1
y=sinx
o
最高点 曲线与x轴交点
2
3
2
2
x
-1
1、函数图象的纵向伸缩变换
问题1
在同一坐标系中作出 y=2sin12x及 y= sinx的简图， 并指出它们与y=sinx图象间的关 系。
x
0
2
3
2
2
图象D （
）
A.横坐标扩大原来的两倍 倍
C.横坐标扩大到原来的两倍 倍
B. 纵坐标扩大原来的两
D
D. 纵坐标扩大到原来的两
•2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象 （）
A. 横坐标扩大原来的3倍
B.横坐标扩大到原来的3倍
C. 横坐标缩小原来的1/3倍
3、函数图象的左右平移变换
引: 函数y=Asin(ωx+φ)表示一个振动量时 A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫
做这个振动的振幅。
往复振动一次所需要的时间T=
2
它叫做振动的周期。
为了研究形如y=Asin(ωx+φ)函数的图象下面分别研究：
（1）y=Asinx与y=sinx图象的关 系 （2）y=sinωx与y=sinx图象的关系
(横坐标不变)
象
y＝sinx的图象各倍点的纵(坐横标坐缩标短不到变原) 来的1/2y图＝象12
sinx的
结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝
sinx的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标伸长
（A>1时) 或 缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到.
注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小）
注:φ 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改
变图象的形状.φ 叫做初相.
巩固练习:4__._函_数_,y它的si图n(x象是左6由) y=sinx的图6象_的__初_平相移是
_____个单位长度而得到. 6
5长.度把,函得数到y函=ys数ins2in_x(_2_的x__图__象)_向__右__平__移的12图象个. 单位
1 2
y=sin x的图象
结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长(当 0<ω<1)或缩短(当ω>1) 到原来的1/ω倍而得到.
注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横 向伸缩
巩固练习
•1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx
0
3
4
x
x
2
1 2
x
02
sin1 x
2
2
0
1
y y=sin-2x1
1
y=sin 01x 2
y=sinx
2
o 3
3
42 4
2
-1
3 4
3
2
0
3
4
x
上述变换可简记为:
Y=sinx的图象
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标不变)
yY==ssiinn2xx的的图图象象各点的横(坐纵标坐伸标长不到变原) 来的2倍
sinx
0
1
0
2sinx -1 0
02
0
1 sinx -2 0
2
y
2
1
10 0
2
y=2sinx
y=sinx
3
1 2
0
y=
1 2
sinx
o
2
2
x
2
-1
-2
y
2
y=2sinx
1
y 1 sin x 3
o
2
2
y=sinx
x
-１
2
-2
上述变换可简记为:
y＝sinx的图象 各点的纵坐标伸长到原来的2倍y＝2sinx的图
（3） y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关 系 通过以上几种形式的讨论和研究，得出形如
y=Asin(ωx+φ)与y=sinx函数的图象间的关系。
1.作三角函数的图象的方法一般有： (1) 描点法；（2）几何法；
2. 作三角函数的简图：
主要先找出在确定图象性质时 起
关键作用的五个点: (1)最大值点 (2) 最小值点 (3)与x轴 的交点
B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变.
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.