因式分解 PPT优秀课件
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因式分解法-ppt课件
2
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思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
x1=2，x2=-1.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
x1
1 2
,
x2
1. 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
完全平方公式 平方差公式
课后作业
1.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12；
2.填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2=2(x-2). (1）适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； (2）适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； (3）适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； (4）适合运用配方法 ④ . 【提示】每个题都有多种解法，选择更 合适的方法，可以简化解题过程！
[神奇的数学课]12.5《因式分解》课件(共14张PPT)
![[神奇的数学课]12.5《因式分解》课件(共14张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/0993f546443610661ed9ad51f01dc281e43a5648.png)
解：（1） (a+b+c)2-(a-b+c)2 = [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] = (2a+2c)2b = 4b(a+c)
（2）16(a-b)2-9(a+b)2
= [4(a-b)]2 - [3(a+b)] 2
= [(4a-4b)+(3a+3b)] [(4a-4b)-(3a+3b)] = (4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) = (7a-b)(a-7b)
（3）169x2-121(x-2y)2 = (13x)2+[11(x-2y)] 2 = [13x+11(x-2y)] [13x-11(x-2y)] = (13x+11x-22y)(13x-11x+22y) = (24x-22y)(2x+22y) = 2(12x-11y)2(x+11y) = 4(12x-11y)(x+11y)
二、运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式 反过来就是把多项式分解因式.于是有： a²-b²=(a+b)(a-b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解
因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
三、利用平方差公式因式分解：
（3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（2）16(a-b)2-9(a+b)2
= [4(a-b)]2 - [3(a+b)] 2
= [(4a-4b)+(3a+3b)] [(4a-4b)-(3a+3b)] = (4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) = (7a-b)(a-7b)
（3）169x2-121(x-2y)2 = (13x)2+[11(x-2y)] 2 = [13x+11(x-2y)] [13x-11(x-2y)] = (13x+11x-22y)(13x-11x+22y) = (24x-22y)(2x+22y) = 2(12x-11y)2(x+11y) = 4(12x-11y)(x+11y)
二、运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式 反过来就是把多项式分解因式.于是有： a²-b²=(a+b)(a-b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解
因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
三、利用平方差公式因式分解：
（3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
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问题3：你能将a2-b2分解 因式吗？
多项式的乘法公式的逆向应用，就 是多项式的因式分解公式，如果被 分称为运用公式 法．今天我们就来学习利用平方差 公式分解因式
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例4 分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab.
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分解因式:
(1) a2b— b
(2) a2(x-y)-x+y
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观察平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指 数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是 平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一 个因式是两数的和，另一个因式是 这两数的差．
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问题2：运用提公因式法分 解因式的步骤是什么？
分解因式（1）8m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2
(3)2a(y-z)-3b(z-y)
(4)a2-b2
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(3) –a4+16
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数学九年级上册21.2.3因式分解法(共15张PPT)
本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
返回
练一练
教材第14页，练习
请同学练一练，并展示结果。
1.解下列方程：
(1) 2 + =0;
(2) 2 − 2 3x=0;
(4)4 2 − 121=0;
(5)3x(2x+1)=4x+2;
（3)3 2 − 6 = −3
(6)( − 4)2 = (5 − 2)2
二 探索新知
思一思
活动1：请同学们思考:除配方法或公式法以外，
能否找到更简单的方法解方程①？
返回
方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如
果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，
如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
所以
x=0，或10-4.9x=0.
②
所以，方程①的两个根是
100
=0, = ≈2.04
49
这两个根中， ≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而 =0表示物
体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度0m.
返回
议一议
活动2：请同学们讨论:解方程①时，二次方程是如何
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m
得到大圆形场地，场地面积扩大了一
倍.求小圆形场地的半径.
返回
2.（2022年杭州中考）某网络学习平台2019年的新
注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为
169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0
），则x＝
30% （ 用百分数表示）．
返回
练一练
教材第14页，练习
请同学练一练，并展示结果。
1.解下列方程：
(1) 2 + =0;
(2) 2 − 2 3x=0;
(4)4 2 − 121=0;
(5)3x(2x+1)=4x+2;
（3)3 2 − 6 = −3
(6)( − 4)2 = (5 − 2)2
二 探索新知
思一思
活动1：请同学们思考:除配方法或公式法以外，
能否找到更简单的方法解方程①？
返回
方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如
果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，
如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
所以
x=0，或10-4.9x=0.
②
所以，方程①的两个根是
100
=0, = ≈2.04
49
这两个根中， ≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而 =0表示物
体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度0m.
返回
议一议
活动2：请同学们讨论:解方程①时，二次方程是如何
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m
得到大圆形场地，场地面积扩大了一
倍.求小圆形场地的半径.
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2.（2022年杭州中考）某网络学习平台2019年的新
注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为
169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0
），则x＝
30% （ 用百分数表示）．
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
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评 判断下列变形是不是因式分解（依照定义）
① x 2x 2 x2 4
② 6x4 y3 2x3 y 3xy2
评
x2 mx n 能分解成 ( x 2)( x 5)
nm 则 = ______, = ______.
评 检验下列因式分解是否正确:
(1) x²y-xy=xy (x-y) ╳ (2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1) ╳
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 (6) m2-4=(m+2)(m-2)
因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解
整式乘法
因式分解
2、能判断因式分解的正误,会进行简单的因式分解。 3、感觉因式分解在解决相关问题中的作用。
议
对议：1、因式分解的概念是什么？ 因式分解与整式乘法的关系？
2、结合提纲1、2题探讨因式分解的识别 需注意哪几点？
组议：探讨提纲3、4、5题的思路与方法， 感受因式分解在解决相关问题中的作用。
展
1、下列各式中，从等号左边到右边的变形， 哪些是多项式的因式分解？
评 一般地，把一个多项式分解成几个整 式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式.
评
因式分解与整式乘法的关系：
x2
1
因式分解 整式乘法
x 1x
1
因式分解与整式乘法是互逆关系
评
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(3) x²+3x+2=(x+1)(x+2) √
(4)a2 2a 2 (a 2)2 ╳
注意
检验因式分解是否正确，只要看等式右边几 个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。
检
（1）4a2bc=4a2•b•c
（）
（2）8m2n-2mn2=2mn(4m-n) （ ）
（3）a2-4b2=( a+2b)(a-2b) （ ）
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要求：B层同学黑板板演并讲解， 其他同学质疑、纠错。
展
x 2x p 5、已知
2 可以因式分解为
，求P的值。
(x 3)(x 5)
要求：A层同学黑板板演并讲解， 其他同学质疑、纠错。
评
一般地，把一个多项式分解成几个整 式乘积的形式，叫做多项式的因式分解， 有时我们也把这一过程叫做分解因式。其 中每个整式都叫做这个多项式的因式。
—导入新知
列式：37×102+37×93+37×105
=37×（102+93+105） =37×300=11100（棵） m37 ×1a02+m37× b93+m37× 1c05 =m37× （1a02+9b3+1c05）
m·a+m·b+m·c= m (a+b+c)
—学习目标
1、理解因式分解的概念， 掌握因式分解与整式乘法之间 的区别与联系。
导 —回顾旧知
1.整式乘法有几种形式?
记忆 大比拼
(1)单项式乘单项式
(2)单项式乘多项式: m(a+b+c)=ma+mb+mc
(3)多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
①
（
）
②
3ax 3ay 3a
（
x+y）
3mn 6nx 3n (m 2x)
③
16x 2
ห้องสมุดไป่ตู้1
(4x
（
1)
4x-1
）
④ a2 6a 9 (a 3（) a+3 ）
要求：B层同学口头展示，A层同学纠错
展
4、尹老师在一块边长为a=13.2的正方形铁板 的四个角处截去4个边长为 b=3.4的正方形，帮老师算算剩余部分的面积。
╳ √ ① 8a2bc3 2a2 • 2b • 2c3
②x2
4
x2 4x 4 (x 2)2
(x 2)(x
2)
╳
③ x( y 1) xy x ④ x2 2x 1 x(x 2) 1╳
√ ⑤ 7m 14n 7(m 2n) ⑥
√
要求：C层同学口头展示，B层同学纠错
展
2、请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
（4）4b2+4b+1=4b( b+1)+1 （ ）
不是
是 是
不 是
检
（1）6ab-12ac=6a(
)
（2）4mn-2xm=( )(2n-x)
（3）a2-9b2=(
—导入新知
近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组
织了一次植物造林活动。每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种 树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
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