完全平方公式因式分解ppt课件
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12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
人教版八年级上册数学《完全平方公式》整式的乘法与因式分解说课教学复习课件
提高
4. 在255，344，433，522这四个幂中，数值最大的一 个是———。 提示：观察各幂的指数，你发现了什么？
课件
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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感 课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
谢
各
位
的
仔
细
聆
听
人教版 数学（初中） （八年级 上）
课件
前言
学习目标
1、理解幂的乘方法则。 2、运用幂的乘方法则解决实际问题。
重点难点
重点：正确理解幂的乘方法则。 难点：理解同底数幂的乘法和幂的乘方的区别。
有理数乘方相关知识回顾
1.概念： n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.a、n、an分别叫做什么?
幂
(运算结果)
an
底数
(相同的因数)
思考
结合今天学到的幂的乘方知识，判断下列式子是否也具有这一性质呢？ （m、n、p都是正整数）
[(am)n]p
[(am)n]p
=（ am ×…× am ）p
n个am相乘
= amn ×…× amn
p个amn相乘
= amnp
同底数幂的乘法和幂的乘方的区别
法则公式 法则中运算
计算结果
底数
指数
a a a 同底数幂的乘法 m n
3个22相乘
1）(22)3= 22×22×22
=22+2+2=26
3个a4相乘
2） (a4)3= a4×a4×a4 =a4+4+4 =a12
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
利用完全平方公式进行因式分解ppt课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
例3 把下列完全平方式因式分解。
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2-6（m+n）+9.
例4 把下列各式因式分解。
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy。
补例 把9x2 3x 1 因式分解
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公式也可 以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a b 2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a 2 2 a b b 2 a b 2
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _______(a_+__3)_2______ ② n2–10n+25 = ____(n_–_5_)_2_______ ③ 4t2–8t+4 = _____4_(t_–_1_)_2 _______ ④ 4x2–12xy+9y2 = _(_2_x_–_3_y_)2______
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1
完全平方式
④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
2024八年级数学上册第一章因式分解3公式法第2课时完全平方公式课件鲁教版五四制
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
例 3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
解：(1)x2＋14x＋49
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ x2＋2×7x＋72
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (x＋7) 2 ；
＝(m＋n－3)2.
例4 计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(3)1＋4a2；
(2)a2－ab＋b2；
1
2
(4)a －a＋ 4 .
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
1
(4)中a是a与 乘积的2倍．
2
解：(1)不是完全平方式；
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
知识点 3 完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
例 5 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
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(4)x2 4x 4 0
16
若：a b 1, a c 2,b c 3 利用因式分解求值： a2 b2 c2 ab ac bc
17
小结:
1. 如果一个多项式是完全平方式,就可以运用完 全平方公式分解因式; 2. 运用公式要注意: (1). 先看是否有两项(同号)都可以写成_平__方__形__式___.
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
将 (a+b)看作一个整体11
综合运用: 因式分解
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-18(a+b)2+81
12
灵活应用: 简便方法运算。
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
7
例５: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2. 解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
即如 : a 2 b2 (或 a 2 b2 )的形式;
(2). 再看第三项是否是前两项积的_2_倍____
即如 : 2 a b(或 2ab)的形式;
3如果多项式各项含有公因式,要先提出这个公__因__式__, 再进一步分解因式; 4. 因式分解要进行到每个因式都_不__能__再__分__解__为1_8 _止_ ;
8
试一试:把下列各式因式分解
2 2xy x2 y2
原式=X2-2∙x∙y+y2=(x-y)2
4 a2 4b2 4ab
原式=-(a2-4ab+4b2) =-[a2-2∙a∙(2b)+(2b)2] =-(a-2b)2
9
2、分解因式
（1） 2xy x2 y 2 -(x+y)2
(2)4x2 4x 1
14
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负 解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
15
(1)x2 x 0
(2)25 x2 4 0
(3)9x3 16 x 0
(2x-1)2
(3) y 2 y 1 4
(4) 1 x2 4 x 4
9
3
10
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
让我们再来回顾这节课!
1、在获取知识方面 2、在经验方面
19
20
人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.4因式分解
人教新课标
1
提取公因式法 ma+mb+mc =m(a+b+c)
平方差公式法 a2-b2 =(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3b ab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？ a2+2ab+b2与a2-2ab+b2呢？
（3）4a2+2ab+
1
4 b2
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
一个二次三项式，其中 有两个数的平方和还有 这两个数的积的2倍或这 两个数的积的2倍的相反 数，符合这些特征，就 可以化成右边的两数和
（6）a2+a+0.25
（或差）的平方．从而 达到因式分解的目的．
（2）、（4）、（5）都不是 5
1x 2 12 x 36
X2+2∙x∙6+62 是 x与6
2 2xy x2 y2
x2-2xy+y2=X2+2∙x∙y+y2 是x与y
3 2xy x2 y2
-x2-2xy+y2 不是
4
下列各式是不是完全平方式？
方法总结：分解因式的
（1）a2-4a+4
完全平方公式，左边是
（2）x2+4x+4y2
(1)20062 62 (2)132 2133 9 (3)112 392 6613
13
1,在括号内填上适当的代数式,使等式成立 1,a2+6a+__9____=(a+__3__)2 2,16a2+_±__2_4_a_b_+9b2=(_4_a___+_(±__3_b_))2
2,k-6ab+9b2是一个完全平方式, 那么的值是__a_2 __
试一试:把下列各式因式分解
1 x2 12x 36
解:原式=x2+2∙x∙6+62
=(x+6)2
6
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
2
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
公式应用的特征:
左边是:一个二次三项式，是两个数的平方和 加上或减去这两数的积的2倍.这个式子叫完全平 方式
右边（结果）是:这两数和(或差)的平方 即两个数的平方和加上或减去这两数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方。
3
探索1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式 分解?若是,请找出相应的a和b.
16
若：a b 1, a c 2,b c 3 利用因式分解求值： a2 b2 c2 ab ac bc
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小结:
1. 如果一个多项式是完全平方式,就可以运用完 全平方公式分解因式; 2. 运用公式要注意: (1). 先看是否有两项(同号)都可以写成_平__方__形__式___.
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
将 (a+b)看作一个整体11
综合运用: 因式分解
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-18(a+b)2+81
12
灵活应用: 简便方法运算。
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
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例５: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2. 解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
即如 : a 2 b2 (或 a 2 b2 )的形式;
(2). 再看第三项是否是前两项积的_2_倍____
即如 : 2 a b(或 2ab)的形式;
3如果多项式各项含有公因式,要先提出这个公__因__式__, 再进一步分解因式; 4. 因式分解要进行到每个因式都_不__能__再__分__解__为1_8 _止_ ;
8
试一试:把下列各式因式分解
2 2xy x2 y2
原式=X2-2∙x∙y+y2=(x-y)2
4 a2 4b2 4ab
原式=-(a2-4ab+4b2) =-[a2-2∙a∙(2b)+(2b)2] =-(a-2b)2
9
2、分解因式
（1） 2xy x2 y 2 -(x+y)2
(2)4x2 4x 1
14
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负 解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
15
(1)x2 x 0
(2)25 x2 4 0
(3)9x3 16 x 0
(2x-1)2
(3) y 2 y 1 4
(4) 1 x2 4 x 4
9
3
10
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
让我们再来回顾这节课!
1、在获取知识方面 2、在经验方面
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人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.4因式分解
人教新课标
1
提取公因式法 ma+mb+mc =m(a+b+c)
平方差公式法 a2-b2 =(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3b ab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？ a2+2ab+b2与a2-2ab+b2呢？
（3）4a2+2ab+
1
4 b2
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
一个二次三项式，其中 有两个数的平方和还有 这两个数的积的2倍或这 两个数的积的2倍的相反 数，符合这些特征，就 可以化成右边的两数和
（6）a2+a+0.25
（或差）的平方．从而 达到因式分解的目的．
（2）、（4）、（5）都不是 5
1x 2 12 x 36
X2+2∙x∙6+62 是 x与6
2 2xy x2 y2
x2-2xy+y2=X2+2∙x∙y+y2 是x与y
3 2xy x2 y2
-x2-2xy+y2 不是
4
下列各式是不是完全平方式？
方法总结：分解因式的
（1）a2-4a+4
完全平方公式，左边是
（2）x2+4x+4y2
(1)20062 62 (2)132 2133 9 (3)112 392 6613
13
1,在括号内填上适当的代数式,使等式成立 1,a2+6a+__9____=(a+__3__)2 2,16a2+_±__2_4_a_b_+9b2=(_4_a___+_(±__3_b_))2
2,k-6ab+9b2是一个完全平方式, 那么的值是__a_2 __
试一试:把下列各式因式分解
1 x2 12x 36
解:原式=x2+2∙x∙6+62
=(x+6)2
6
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
2
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
公式应用的特征:
左边是:一个二次三项式，是两个数的平方和 加上或减去这两数的积的2倍.这个式子叫完全平 方式
右边（结果）是:这两数和(或差)的平方 即两个数的平方和加上或减去这两数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方。
3
探索1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式 分解?若是,请找出相应的a和b.