完全平方公式PPT课件
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苏科版七下数学完全平方公式课件
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2
a2 2ab b2
（a-b）2= a2-2ab +b2
新知归纳
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和.
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
(6)(x 2 y)2 x2 4xy 4 y2 √
典型例题
例3：简便计算 （1）3022
（2）49.72
解：
3022
(300 2)2
3002 2300 2 22
90000 1200 4 91204
课堂小结
面积恒等法
数形结合思想
多项式相乘法则
完全平方公式
应用与拓展
1.整理 2.公式选择 3.代入准确 4.化简 一题多解方法
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
合作学习 计算 (a b)2
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
3、已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
转化思想
拓展提高
通过本节课的学习你会求（a+b+c)2的值吗？ 说说你的方法。
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2
a2 2ab b2
（a-b）2= a2-2ab +b2
新知归纳
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和.
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
(6)(x 2 y)2 x2 4xy 4 y2 √
典型例题
例3：简便计算 （1）3022
（2）49.72
解：
3022
(300 2)2
3002 2300 2 22
90000 1200 4 91204
课堂小结
面积恒等法
数形结合思想
多项式相乘法则
完全平方公式
应用与拓展
1.整理 2.公式选择 3.代入准确 4.化简 一题多解方法
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
合作学习 计算 (a b)2
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
3、已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
转化思想
拓展提高
通过本节课的学习你会求（a+b+c)2的值吗？ 说说你的方法。
人教版 八年级数学上 14.2.2完全平方公式 课件(共28张PPT)
填空：
(1)(a 2)(a 2) __a_2___4__; (2)(m n)(m n) _m__2___n_2_;
(3)(2x
1)(1
2x)
_1___4_x_2__; (4)( 1 2
p
2q)(2q
1 2
p)
4_q_2__14__p_2 _
.
合作探究
思考1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
× ×
(a +b)2 =a2+2ab +b2 (a -b)2 =a2 -2ab +b2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2×
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2× (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
小试牛刀 那 (-x-6)2呢？ 2.利用完全平方公式计算：
醍醐灌顶： (a+b)2 与（-a-b)2 相等， (a-b)2 与(b-a)2相等。
小试牛刀
4.已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1)x2＋y2的值; (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
(1)( p 1)2 ( p 1)( p 1) __p_2___2_p___1_; (2)(m 2)2 (_m__2_)_(_m__2_)_ m__2__4__m___4___; (3)( p 1)2 ( p 1)( p 1) __p_2__2__p__1__; (4)(m 2)2 (_m__2_)_(_m__2_)_ _m_2___4_m___4___ .
完全平方公式ppt课件
解：∵a2＋b2＝13，ab＝6， ∴ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ＝a2＋b2＋2ab ＝13＋2×6＝25 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝a2＋b2－2ab ＝13－2×6＝1.
拓展提高
1.计算：
(1) (a+b－5)2
(2) (a+b+c)2
解：原式= [(a+b)－5]2
解：原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2－10a－10b+25 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
三项式可以先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
公式：
2.方法：先将式子加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
ab
(2) (4x+5y)2
ab
(3) (mn－a)2
ab
例2 计算：
ab
ab
可以将式子先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
的 a 和 b ，直接套公式
基础练习
注意区分平方差公式和完全平方公式
1. 口算下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
1.6完全平方公式
第一课时
温故知新
计算：
观察上列算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现
探索新知
猜一猜：
拓展提高
1.计算：
(1) (a+b－5)2
(2) (a+b+c)2
解：原式= [(a+b)－5]2
解：原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2－10a－10b+25 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
三项式可以先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
公式：
2.方法：先将式子加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
ab
(2) (4x+5y)2
ab
(3) (mn－a)2
ab
例2 计算：
ab
ab
可以将式子先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
的 a 和 b ，直接套公式
基础练习
注意区分平方差公式和完全平方公式
1. 口算下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
1.6完全平方公式
第一课时
温故知新
计算：
观察上列算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现
探索新知
猜一猜：
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
完全平方公式 课件(共15张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级上册
=362 − 60 + 25 2
=42 − 4 + 1
2：如果 + + 是一个完全平方式，则x的值为多少？
解：因为 + +
=（） + ∙ ∙ + (±)
所以 x 的值为±
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
“口诀”：首平方，尾平方，积的两倍在中央。
想一想：
你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗?
b
b
a
a
a
b
图1
ห้องสมุดไป่ตู้
a
图2
b
( − ) =?
你是怎样做的？
（ − )2 = ( − )( − )
=2 − 2 +
2
（ − )2 = + (−)
2
=2 + 2(−) + (−)2
(a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，
完
全
平
方
公
式
加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式的特征：
你有什么收获？
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2. ×
4x2 + 4xy + y2
(2)
(x－y)2
=
x2－y2；
x2 + 2xy + y2
1：利用完全平方公式计算：
(1)（6 + 5)2
(2)(2 − 1)2
解：原式=（6)2 − 2 ∙ 6 ∙ 5 + (5)2 解：原式=（2)2 − 2 ∙ 2 ∙ 1 + 12
=42 − 4 + 1
2：如果 + + 是一个完全平方式，则x的值为多少？
解：因为 + +
=（） + ∙ ∙ + (±)
所以 x 的值为±
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
“口诀”：首平方，尾平方，积的两倍在中央。
想一想：
你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗?
b
b
a
a
a
b
图1
ห้องสมุดไป่ตู้
a
图2
b
( − ) =?
你是怎样做的？
（ − )2 = ( − )( − )
=2 − 2 +
2
（ − )2 = + (−)
2
=2 + 2(−) + (−)2
(a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，
完
全
平
方
公
式
加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式的特征：
你有什么收获？
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2. ×
4x2 + 4xy + y2
(2)
(x－y)2
=
x2－y2；
x2 + 2xy + y2
1：利用完全平方公式计算：
(1)（6 + 5)2
(2)(2 − 1)2
解：原式=（6)2 − 2 ∙ 6 ∙ 5 + (5)2 解：原式=（2)2 − 2 ∙ 2 ∙ 1 + 12
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
《完全平方公式》优质课件
通过提问和练习，检查学生对已有知 识的掌握情况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
1.完全平方公式课件
4
4 3 3 16
9
总结
知1－讲
在应用公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b， 同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的 完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两 数的平方相等．
1 计算：
(1) (1 x 2 y)2；(2) (2xy 1 y)2 ；(3) (n+1)2－n2 .
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
5 (2015·邵阳)已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值
为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
6
已知a＋
1 ＝4，则a2＋ a
1 a2
的值是(
)
A．4
B．16
C．14 D．15
1. 完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右 边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项 的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
(3)运算顺序不同：(a±b)2是先算a，b两数的和或差， 后算和或差的平方；a2±b2是先算a2与b2，后算a2， b2的和或差．
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2 ；(3) (mn－a)2 . 解： (1) (2x－3)2 = (2x)2－2·2x·3+32
知2－讲
总结
知2－讲
本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三 项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就 符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相 乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括 号视为一个整体，转化成平方差公式的情势，通过平 方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可 得结果．
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(A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
19
作业：
1.课本第35页练习1.2.3 2.习题12.3第2.3.4题
20
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
公式 平方差公式 完全平方公式
相乘多项式 展开式项数 的特征
一项相同，
2项
另一项相反
两项都相同
3项
14
练一练
选择适当的公式计算： (1)（2x-1)(-1+2x); (2) (-2x-y)(2x-y) (3) (-a+5)(-a-5); (4) (ab-1)(-ab+1)
15
例4：一花农有2块正方形茶花苗圃，边
很久很久以前,有一个国家的田地都要求是
的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了
森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出
了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有
一块边长为a, 第一个农夫就对国王说：“您可不
可以再给我一块边长为b米的地呢？”国王答应
了他，国王问第二个农夫：“你是不是
要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
=
(2) (1 m-2) 2 = ( )2 –2( )( )+ ( )2
2
=
(3) (-2x-3y)2 =( )2 ห้องสมุดไป่ตู้2( )( )+ ( )2
(4)
=
11
例3 用完全平方公式计算：
（1）(x+2y)2
=X2+4xy+4y2
（2）(2a-5)2 （3）(-2s+t)2
=4a2-20a+25 =4s2-4st+t2
(3) (-4x+5y)2 =( )2 +2( )( )+ ( )2
(4)
=
7
提问:（a－b）2等于什么？ 是否可以写成[a＋（-b）]2?
你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
8
完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式变形为 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
5
例1.计算: (x+2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
6
利用和的完全平方公式计算:
(1) (a+1 )2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
(2) (2a+3b ) 2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
9
例2.计算: (x-2y)2 (a - b )2 =a2 - 2 a b + b2 (x - 2y )2=x2 - 2·x·2y +( 2y )2
=x2 - 4xy+4y2
10
利用两数差的完全平方公式计算:
(1) (r-h )2 = ( )2 –2( )( )+ ( )2
(3) (2x+3y)2＝ 4x2+12xy+ 9y2 (-2x-3y )2＝ 4x2+12xy+ 9y2
互为相反数的两个数的完全平方相等
(a-b)2＝ (-a+b )2
(-a-b)2＝ (a+b )2
13
比较平方差公式和完全平方公式：
(a-b)(a+b)= a2-b2
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2 ( a- b)2=a2-2 a b+ b2
（4）(-3x-4y)2 =9x2+24xy+16y2
思考： （1）完全平方展开有几项？
（2）每一项的符号特征？
12
比较下列计算结果，你能得到什么结论？
(1) (y－7)2 ＝ (7－y )2 ＝
y2-14y+49 y2-14y+49
(2) (-2s+t)2＝ (2s-t )2＝
4s2-4st+t2 4s2-4st+t2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
我们把完全平方和公式与完全平方差 公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
(a b)2 a2 2ab b2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；18
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
长分别为30.1m，29.5m。现将这2块苗圃的 边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增 加了多少m²。 解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m， 新正方形的边长为（a+1.5）m， （a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
b
(a+b)2 = a2+ab + ab+b2
a
= a2+2ab+b2
a b (a+b)2 = a2 + 2ab +b2
3
宁强县第一初级中学刘志翠
4
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
两数和的平方,等于它们 的平方和加上它们乘积的2倍 .
左边是两项的和的平方,即（首+尾）2
你能用自己的话叙述 右首边尾是乘三积项的，2倍第，一一第项下三是项上首是的面尾平的的方平，公方第式二项吗是？
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2
16
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
两数差的完全平方公式 ：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
17
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是
一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求
是一样的吗？
1
你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？ 你能得到什么结论？
b
农夫一
b 农夫二
a
a 图一
≠ a2+b2
a
b
图二
(a+b)2
2
用不同的形式表示第二个农夫 得到赏赐后田地的总面积,并进行 比较,你发现了什么?
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
19
作业：
1.课本第35页练习1.2.3 2.习题12.3第2.3.4题
20
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
公式 平方差公式 完全平方公式
相乘多项式 展开式项数 的特征
一项相同，
2项
另一项相反
两项都相同
3项
14
练一练
选择适当的公式计算： (1)（2x-1)(-1+2x); (2) (-2x-y)(2x-y) (3) (-a+5)(-a-5); (4) (ab-1)(-ab+1)
15
例4：一花农有2块正方形茶花苗圃，边
很久很久以前,有一个国家的田地都要求是
的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了
森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出
了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有
一块边长为a, 第一个农夫就对国王说：“您可不
可以再给我一块边长为b米的地呢？”国王答应
了他，国王问第二个农夫：“你是不是
要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
=
(2) (1 m-2) 2 = ( )2 –2( )( )+ ( )2
2
=
(3) (-2x-3y)2 =( )2 ห้องสมุดไป่ตู้2( )( )+ ( )2
(4)
=
11
例3 用完全平方公式计算：
（1）(x+2y)2
=X2+4xy+4y2
（2）(2a-5)2 （3）(-2s+t)2
=4a2-20a+25 =4s2-4st+t2
(3) (-4x+5y)2 =( )2 +2( )( )+ ( )2
(4)
=
7
提问:（a－b）2等于什么？ 是否可以写成[a＋（-b）]2?
你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
8
完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式变形为 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
5
例1.计算: (x+2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
6
利用和的完全平方公式计算:
(1) (a+1 )2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
(2) (2a+3b ) 2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
9
例2.计算: (x-2y)2 (a - b )2 =a2 - 2 a b + b2 (x - 2y )2=x2 - 2·x·2y +( 2y )2
=x2 - 4xy+4y2
10
利用两数差的完全平方公式计算:
(1) (r-h )2 = ( )2 –2( )( )+ ( )2
(3) (2x+3y)2＝ 4x2+12xy+ 9y2 (-2x-3y )2＝ 4x2+12xy+ 9y2
互为相反数的两个数的完全平方相等
(a-b)2＝ (-a+b )2
(-a-b)2＝ (a+b )2
13
比较平方差公式和完全平方公式：
(a-b)(a+b)= a2-b2
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2 ( a- b)2=a2-2 a b+ b2
（4）(-3x-4y)2 =9x2+24xy+16y2
思考： （1）完全平方展开有几项？
（2）每一项的符号特征？
12
比较下列计算结果，你能得到什么结论？
(1) (y－7)2 ＝ (7－y )2 ＝
y2-14y+49 y2-14y+49
(2) (-2s+t)2＝ (2s-t )2＝
4s2-4st+t2 4s2-4st+t2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
我们把完全平方和公式与完全平方差 公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
(a b)2 a2 2ab b2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；18
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
长分别为30.1m，29.5m。现将这2块苗圃的 边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增 加了多少m²。 解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m， 新正方形的边长为（a+1.5）m， （a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
b
(a+b)2 = a2+ab + ab+b2
a
= a2+2ab+b2
a b (a+b)2 = a2 + 2ab +b2
3
宁强县第一初级中学刘志翠
4
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
两数和的平方,等于它们 的平方和加上它们乘积的2倍 .
左边是两项的和的平方,即（首+尾）2
你能用自己的话叙述 右首边尾是乘三积项的，2倍第，一一第项下三是项上首是的面尾平的的方平，公方第式二项吗是？
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2
16
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
两数差的完全平方公式 ：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
17
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是
一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求
是一样的吗？
1
你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？ 你能得到什么结论？
b
农夫一
b 农夫二
a
a 图一
≠ a2+b2
a
b
图二
(a+b)2
2
用不同的形式表示第二个农夫 得到赏赐后田地的总面积,并进行 比较,你发现了什么?