人教版八年级上册完全平方公式课件
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数学：15.2.2《完全平方公式》课件1(人教新课标八年级上)
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b a a b
b
a 图 15.2-2 b a 图15.2-3
尝试应用
1.运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(2) (y-
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
1.下列各式中与(x+1)² 相等的是( B )
A.x² +1 B.x² +2x+1 C.x² -2x+1 D.x² -1
2.下列各式中是完全平方式的（ D）
A.x² +xy+y² B.y² +2y+2 C.x² +xy+y²D.m² -2m+1
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
展示交流
1.运用完全平方公式计算: (1)(x+6)2; (3) (-2x+5)2; (2) (y-5)2; (4) ( xy ) 2.
收获与感悟
1、通过本节课的学习, 你有哪些收获与体会? 2、你还有什么困惑？
完全平方公式1.ppt
(a-b)2
=
验证一
利用多项式乘法计算(a+b)2, (a-b)2
( a + b ) 2= ( a + b ) ( a + b ) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2
验证二
如图，边长为a的正方形，它的边长增加b后，得 到一个新的正方形，这个正全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释． 2．能运用公式解决相关问题. 3. 激发学习兴趣，培养探索精神．
重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解 释，灵活应用.
难点
理解完全平方公式的结构特点，并能灵活应用 公式进行计算.
看谁算得快
p2+2p+1 =p2+2•p•1 +12 (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______ m2+4m+4 =m2+2•m•2 +22 (2)(m+2)2= ________
2 2 2 ( a b ) a b （2）
2 2 2 （3） ( x y) x xy y
2 2 （4） (2 x 1) 2 x 4 x 1
2.计算：
（1）（2y－3x）2 ； （2）（3ab－4c）2 ；
（3）（－2a－5）2；
（4）2012
(2 x 5) =4x2-20x+25
（3）
(2 x 5) =4x2+20x+25
2
例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2)
完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT
合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
14.2.2 完全平方公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)] ＝12－(2m－n)2 ＝1－4m2＋4mn－n2.
完全平 方公式
法则
注意
常用 结论
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号，变 形成符合公式的形式才行
3. 弄清完全平方公式和平方差公 式的不同（从公式结构特点及 结果两方面）
= (-x)2+2(-x)·1 + 12 = x2-2x+1
(2)(x-1)2 (x-1)2
= (x)2-2·x·1 + 12 = x2-2x+1
1 (a-b)2=(b-a)2.
(b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
运用完全平方公式计算：
(3) (-2x-3)2
(-2x-3)2 = (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9 = 4x2+12x+9.
2.将1052变形正确的是（ C ）
A. 1052=1002+52
B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ D ）
A.28 B.-28
C.24或-24
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(共34张PPT)
已知x，y的和与积求平方和 答案：69
已知x，y的和与积求平方和 答案：11或-11
总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方尾平方ຫໍສະໝຸດ 2倍乘积放中央总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 只有一个括号，只能是完全平方公式 先变形 再化简
已知x，y的和与差的平方求积
已知x，y的和与差的平方求积 答案：8
已知x，y的和与积求平方和 ②等式右边都是两个数_____________，再减去这两个数_____________
你知道怎么算这种式子吗？
①等式左边都是两个数_____________ 这个符合完全平方公式还是平方差公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
（2）a-b-c=a-（ ） 1．如何判断应该选择哪个公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
观察式子，回答下列问问题：
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式 怎么推导完全平方公式？ 利用完全平方公式计算应该注意什么？
例题 运用完全平方公式计算：
解：
ab
ab
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
人教版数学八年级上册第十四章 完全平方公式课件
(3)(m＋2)2＝________________；
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
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3、化简（x+1)2+2(1-x)-x2.
解：原式=x2+2x+1+2-2x-x2
=3 4、若x+y=3,xy=1,则x2 +y2 =__7_
5、已知y+2x=1，求代数式（y+1)2-(y2-4x)的值.
解：原式=y2+2y+1-y2+4x
=2y+4x+1 =2(y+2x)+1，
整体代入
当y+2x=1时，原式=2×1+1=3.
一位老师非常喜欢孩子．每当有 孩子到她家做客时，老师都要拿出糖 果招待他们．来一个孩子，老师就给 这个孩子一块糖，来两个孩子，老师 就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老师家，老师一共 给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老师家，老师一共 给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老师，老 师一共给了这些孩子多少块糖？
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
快问快答
1.已知a+b=3，ab=2，求a²+b² 2.已知a-b=4，ab=3，求a²+b²
3.已知a+b=6，a-b=2，求a²+b²
已知x
1 x
2，求x 2
1 x2
已知x 1 1, 求x2 1
x
x2
4.已知a+b=6，a-b=4，求ab
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公 式中的“b”换成“p”，那么 结果变成怎样的式子?
(m+n+p)2 =[(m+n)+p]2 =(m+n)2+2(m+n)p+p2 =m2+2mn+n2+2mp+2np+p2 =m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
=解3：6a原2+式6=04abm+2-245mb2+1 解：原式=4m2+4m+1
(4) 1032
解：原式=(100+3)2 =1002+2×100×3+32
=10 000+600+9
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
=10 609
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
一、计算： (1)(x+2y)2
解：原式 = x2 + 2·x·2y+（2y）2 = x2 + 4xy+4y2
(3）1022
解：1022
(2)(4x-3y)2
解：原式
你的发现：
（1）a²+b²= （a+b）² - 2ab
。
（2）a²+b²= （a-b）² + 2ab
。
（3）a²+b²=
1 [（a+b）² +（a-b）²]
。
12
（4）ab=
4 [（a+b）² -（a-b）²]
。
（a+b）²= （a-b）² + 4ab
。
（a-b）²= （a+b）² - 4ab
。
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
(4)(m-2)2 =(m-2)(m-2)=_____________;
共同特点：(a b)2 a 2 2ab b2
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
它们的平方和
和（或差）的平方 它们的积的两倍
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
计算并说出你的发现
1.（1）(a+b)2 =a²+2ab+b² （2）(a-b)2 =a²-2ab+b² （3）(a+b)2+(a-b)2 =2（a²+b²）
（4）(a+b)2-(a-b)2 =4ab
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？
14.2.2 完全平方公式 （第一课时）
1、经历探索完全平方公式的过程,会推导完 全平方公式；
2、理解完全平方公式的结构特征,灵活应用 完全平方公式。
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
请阅读课本109的内容，思考下列问题：
9x2 12
4y2
－4m
a2 +2ab
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
你能根据109思考的两个图的面积验证公式吗？
完全平方和公式：
完全平方差公式：
b ab b²
b ab b²
a a² ab
a
a² ab
ab
(a b)2 a 2+2ab +b2
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
1、
常见完全平方公式恒等变形
x2
1 x2
(x 1 )2 2 x
x2
1 x2
(x 1 )2 2 x
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
人教版八年级上册第14章14.2.2 完全平方公式(1) 课件
1、下面各式的计算对不对？如果不对，请改正：
(1)(x-2)(x-2)=x2－2；
(1)不对，x2－4x+4
(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4. (2)不对，4-9a2. 2、利用完全平方计算：
(1)(6a+5b)2
解：原式
(2)(2m-1)2 (3)(-2m-1)2
1、“探究”两数和的平方有什么共同特点？
(1)(p+1)2 =(p+1)(p+1)= ____________;
(2)(m+2)2 =(m+2)(m+2)= ____________;
共同特点：(a b)2 a2 2ab b2
2、“探究”两数差的平方有什么共同特点？
(3)(p-1)2 =(p-1)(p-1)=_____________;
仿照上述结 果，你能说 出(a−b+c)2 所得的结果 吗?
=（4x）2- 2·4x·3+（3y）2
=16x2 -24xy+9y2
（4） 992
解：992
= (100 +2)2
= (100 -1)2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 +400 +4
= 10 000 - 200 + 1
= 10 404
= 9 801