完全平方公式 2课件.ppt
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初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
1.6完全平方公式课件(2)
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
2015年3月13日星期五9时44分38秒
多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
2 (1)(x+2y)
解：
2 (x+2y) = x2
+2•x •2y +(2y)2
+ 2 ab +
2 +4y 2 b
(a
2 +b) =
2 a
2 =x +4xy
2015年3月13日星期五9时44分38秒
(1) ( 4m2 - n2 )2 2= a2 - 2ab+b2 (a-b) 分析：
解： （ 4m2 － n2）2
2 4m 2 n
a b
=(4m2)2－2(4m2)· ( n2 )+( n2 )2 =16m4－8m2n2+n4
解题过程分3步：
记清公式、代准数式、准确计算。
2015年3月13日星期五9时44分38秒
2015年3月13日星期五9时44分38秒
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？
用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n )
2015年3月13日星期五9时44分38秒
=
am+an + bm+bn
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
2015年3月13日星期五9时44分38秒
多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
2 (1)(x+2y)
解：
2 (x+2y) = x2
+2•x •2y +(2y)2
+ 2 ab +
2 +4y 2 b
(a
2 +b) =
2 a
2 =x +4xy
2015年3月13日星期五9时44分38秒
(1) ( 4m2 - n2 )2 2= a2 - 2ab+b2 (a-b) 分析：
解： （ 4m2 － n2）2
2 4m 2 n
a b
=(4m2)2－2(4m2)· ( n2 )+( n2 )2 =16m4－8m2n2+n4
解题过程分3步：
记清公式、代准数式、准确计算。
2015年3月13日星期五9时44分38秒
2015年3月13日星期五9时44分38秒
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？
用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n )
2015年3月13日星期五9时44分38秒
=
am+an + bm+bn
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
《完全平方公式》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
完全平方公式第2课时
平方差公式是怎样的呢？
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(ab)=a2b2
完全平方公式又是怎样的呢？
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
解：(1)原式= (x+3)2-x2
=6x+9
= x2+6x+9－x2
例2 计算：
分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
解：(2)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
a+b看作整体.
(1) (x+3)2-x2； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)2-(x-2) (x-3)．
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab
=37-(-6)=43.
完全平方公式的常见变形：
应用：
完全平方公式的应用
①用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
②对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
=m2+2mn+n21=n源自2nm2+1看作一项
平方差公式是怎样的呢？
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(ab)=a2b2
完全平方公式又是怎样的呢？
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
解：(1)原式= (x+3)2-x2
=6x+9
= x2+6x+9－x2
例2 计算：
分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
解：(2)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
a+b看作整体.
(1) (x+3)2-x2； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)2-(x-2) (x-3)．
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab
=37-(-6)=43.
完全平方公式的常见变形：
应用：
完全平方公式的应用
①用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
②对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
=m2+2mn+n21=n源自2nm2+1看作一项
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
浙教版 七年级下册课件;4.3 第2课时 完全平方公式(共10张PPT)
做完全平方式． 特 征：这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这
两个数的积的2倍．
3．公式法 定 义：利用公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)或a2±2ab＋b2
＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做 公式法． 特 征：公式中的a，b可以是数，也可以是一个整式．
归类探究
类型之一 利用完全平方公式分解因式 分解因式：
若 x2＋kx＋19是完全平方式，求 k 的值． 解： k＝±23 【点悟】 完全平方式有两个，故k的值也有两个，且 互为相反数．
类型之三 选择合适的方法分解因式 分解因式：(1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2
－4x2y2. 解： (1)2a(3a＋1)(a－1) (2)(x＋y)2(x－y)2 【点悟】 因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先
看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再 套用公式，用公式法来分解因式．
类型之四 利用完全平方公式求值 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋
x4y2的值． 解： 90程变成几个非负数的和等于0的形式，再利 用非负数的性质求解即可．
第2课时 完全平方公式
概念导图
知识管理
1．完全平方公式 公 式：(1)a2＋2ab＋b2＝___(_a_＋__b_)2__；
(2)a2－2ab＋b2＝__(_a_－__b_)_2 _. 文字表达：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的
___2__倍，等于这两数和(或差)的___平__方___． 特 征：(1)左边是二次三项式，其中首尾两项是两个
数的完全平方，且它们的符号相同，中间是这 两个数的积的2倍，符号正负均可； (2)右边是两数的和(或差)的平方．
两个数的积的2倍．
3．公式法 定 义：利用公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)或a2±2ab＋b2
＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做 公式法． 特 征：公式中的a，b可以是数，也可以是一个整式．
归类探究
类型之一 利用完全平方公式分解因式 分解因式：
若 x2＋kx＋19是完全平方式，求 k 的值． 解： k＝±23 【点悟】 完全平方式有两个，故k的值也有两个，且 互为相反数．
类型之三 选择合适的方法分解因式 分解因式：(1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2
－4x2y2. 解： (1)2a(3a＋1)(a－1) (2)(x＋y)2(x－y)2 【点悟】 因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先
看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再 套用公式，用公式法来分解因式．
类型之四 利用完全平方公式求值 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋
x4y2的值． 解： 90程变成几个非负数的和等于0的形式，再利 用非负数的性质求解即可．
第2课时 完全平方公式
概念导图
知识管理
1．完全平方公式 公 式：(1)a2＋2ab＋b2＝___(_a_＋__b_)2__；
(2)a2－2ab＋b2＝__(_a_－__b_)_2 _. 文字表达：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的
___2__倍，等于这两数和(或差)的___平__方___． 特 征：(1)左边是二次三项式，其中首尾两项是两个
数的完全平方，且它们的符号相同，中间是这 两个数的积的2倍，符号正负均可； (2)右边是两数的和(或差)的平方．
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式(二)-课件
a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面 是正号,括到括号里的各项都 不变号;如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变符号.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
(1) a + b - c = a + ( b-c );
(2) a – b – c = a – ( b+c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b-c ); 能否用去括
号法则检查
(4) a + b + c = a - (-b-c ). 添括号是否
正确?
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
14.2.2 完全平方公式
复习： 一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公 式.
《完全平方公式》第二课时课件
完全平方公式的应用举例
单元一次方程的解
通过完全平方公式将一元一次方程转化为一 元二次方程的形式，从而发现解的规律。
勾股定理的例证
将勾股定理的公式转化为二元一次方程，再 通过完全平方公式进行求解，证明勾股定理 成立。
解完全平方方程的步骤
• 将方程移项，将式子变为标准的形式ax²+bx+c=0 • 求出a、b、c的值 • 将二次项系数拉出系数2再乘以1/2，此时配方后，第一项为二次项系数是（1/2b）²，即 (b/2a)² • 把（b/2a）²去掉括号得到 = b²- 4ac / 4a² • 将b²-4ac的值带入公式，解出x的值
《完全平方公式》第二课 时课件
欢迎来到本课程，本节将教你完全平方公式的定义、推导和应用，以及解完 全平方方程的步骤和相关考点。最后我们会讲述一些练习题并进行总结和关 键观点的阐述。
完全平方公式的定义
完全平方是指可以写成两个相同因数的积的数。 例如：4, 9, 16, 25 都是完全平方数。 完全平方公式则是指将一个二元一次方程转化为一个完全平方的形式。
完;bx+c=0
通过配方法将ax²+bx+c=0的左 侧用完全平方公式进行展开。
用公式计算
从完全平方公式的推导中获得 a、b、c的值后，直接带入公 式求解。
与一元二次方程其他解 法的区别
完全平方公式宜用于系数简单 的单元一次方程，其他解法应 根据具体情况选择。
二次方程根：
ax²+bx+c=0
总结和关键观点
完全平方公式的应用范围十分广泛，涉及到数学、密码学、科技、加密等领 域。
本教材对完全平方公式的定义、推导、应用举例、解方程步骤和相关考点等 进行了全面介绍和详细阐述，旨在帮助大家掌握这一重要知识点，快速提升 数学实力。
完全平方公式课件2
定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方 之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函 数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾 股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的 应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学 习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进 行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2
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14.2.2完全平方公式
探究
计算下列多项式的积，你能发现什么共 同特点？
（1）(a+2)2 （2）(a+3)2 （3）(a+4)2
完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a−b)2 = a2−2ab+b2
语言表示：
你能用自己的语 言叙述上面的公
式吗？
两数和(差) 的平方
等于这两数的平方和 加上 (减去) 它们乘积的两倍.
本节课你的收获是什么？
随堂练习1、计算：源自随堂练习（1）(x+3y)2 (2) (2xy− 15x )2 ;
(3) (n +1)2 − n2.
（4）(-x-3y)2
1
(5) (− x − 2y)2 ；
2
探究问题二 利用完全平方公式进行数字计算
例2：（1）1022 （2）992
灵活应用
灵活应用
若（a+b）=3,ab=1,求a2+b2的值
完全平方公式 你能根据图 14－2－1 中阴影部分的面积说明完全平方 公式吗？ (1)如图 14－2－1，大正方形的边长是_a_＋___b___，大正 方形的面积是_(_a_＋__b_)_2 _．
图 14－2－1
例1: 利用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 (2) (4x-5y)2
先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
探究
计算下列多项式的积，你能发现什么共 同特点？
（1）(a+2)2 （2）(a+3)2 （3）(a+4)2
完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a−b)2 = a2−2ab+b2
语言表示：
你能用自己的语 言叙述上面的公
式吗？
两数和(差) 的平方
等于这两数的平方和 加上 (减去) 它们乘积的两倍.
本节课你的收获是什么？
随堂练习1、计算：源自随堂练习（1）(x+3y)2 (2) (2xy− 15x )2 ;
(3) (n +1)2 − n2.
（4）(-x-3y)2
1
(5) (− x − 2y)2 ；
2
探究问题二 利用完全平方公式进行数字计算
例2：（1）1022 （2）992
灵活应用
灵活应用
若（a+b）=3,ab=1,求a2+b2的值
完全平方公式 你能根据图 14－2－1 中阴影部分的面积说明完全平方 公式吗？ (1)如图 14－2－1，大正方形的边长是_a_＋___b___，大正 方形的面积是_(_a_＋__b_)_2 _．
图 14－2－1
例1: 利用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 (2) (4x-5y)2
先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.