混沌控制及OGY方法

1.3混沌控制
混沌控制一般分为：消除，抑制混沌现象的发生。

即就是使系统稳定到期望的平衡点或周期轨道；另一个是使原混沌系统产生新的混沌现象或使原本稳定的系统产生混沌现象，这也就是所谓的“混沌反控制”问题，它的目的是诱导出有用的混沌现象。

因为还没有建立系统的混沌理论，对混沌发生的机制理解的不够全面，混沌反控制问题是一个很有挑战的领域，我们在这里所将的混沌控制仅指对混沌的抑制。

因为混沌所呈现的运动是剧烈震荡的，它的出现常使系统处于不稳定的状态，这在工程中往往是有害的，因而快速地抑制混沌就是我们控制的一个目标。

在混沌吸引子上镶嵌着无数的不稳定周期轨道，而这些周期轨道往往和系统的一些良好的性能相关，这也就成为混沌控制的另一目标。

我们将周期1的轨道成为平衡点，对平衡点的镇定我们可以看做是一般非线性系统的的镇定。

大于周期1的轨道我们常常称为不稳定周期轨道UPOs(Unstable Periodic Orbits)，对于一个混沌系统，如果我们能知道描述系统的动力学方程，其平衡点往往是能被求解出来的，并进行分析的；但是，我们却无法知道它的无稳定周期轨道的动力学特性，将混沌系统控制到自身所包含的一条不稳定周期轨道上，这也就成了混沌控制于其他控制的一个重要区别。

自从OGY法开辟了混沌控制的先河，已经发展了很多方法来进行混沌控制，如偶然正比反馈技术OPF (Occasional Proportional Feedback)[15]，变量反馈控制(Variable Feedback Control)[16-18]，周期脉冲控制法,参数周期扰动法等[19-21]，但这些方法很多都是在一定条件下才有效的。

现在很多学者开始将控制理论中的一些方法应用到对混沌的控制上面取得了非常好的效果，比如PID控制[22-24]，神经网络法[25-28]，模糊控制[29-31]，各种自适应控制[32-40]等，但是由于混沌系统的复杂性，并没有形成一种统一理论，大多数是对某一确定的混沌系统的控制，在这方面还需要大量深入的研究。

对于将混沌系统稳定到平衡点或某一固定的点，也就是所谓的混沌抑制，已经发现能够应用于非线性系统的控制方法都能用于混沌抑制。

而对于不稳定周期轨道的镇定，因为很难得到不稳定周期轨道的方程，所以一般要求知道控制目标动力学特性的控制方法难以达到目的，但是德国学者Pyragas.K 于1992提出的延迟反馈法，仅需要知道不稳定轨道的周期，就可以对其进行稳定，这有很大的实际应用价值[41-42]。

OGY方法是美国学着E.Ott,C.Grebogi和J.A.Yorke于1990年提出的混沌控制方法，成功地对混沌进行了控制，开辟了混沌控制的先河[9,43-44]。

混沌吸引子上镶嵌无穷多个不稳定周期轨道（UPOs），混沌遍历性保证轨线可以到达期望不稳
定周期轨道的微小邻域内，OGY 方法利用混沌系统对初值的敏感性，在轨线接近期望UPO 时可以施加非常小的控制量，使系统稳定到期望状态。

对该控制方法研究能使我们深入认识理解混沌控制的特点，了解与其它非线性系统控制的区别，从而有助于设计更加有效的混沌控制器。

使用OGY 方法对混沌系统控制时，可以不需要知道系统的确切动力行为，但必须知道混沌吸引子上的期望不稳定周期轨道，这个可以使用相空间重构技术，通过实验连续测量系统的某一状态变量，利用数据构造庞加莱截面，来分析系统的动力学行为。

这里假定这些工作都已完成。

设离散混沌系统为
1(,)n n x f x p += （1-1） 其中，2n x R ∈，()f ⋅是充分光滑的二维向量函数， p R ∈是系统外部可调的控制参数。

假设在0p p =时，系统处于混沌状态。

不失一般性，我们假设期望轨道是一个平衡点，则有
0(,)F F x f x p = （1-2） 我们设定一个很小的控制范围，即在很小的范围内调整参数p ：
0p p p δ∆=-<，1δ<< （1-3）
它的控制思想就是，通过对参数的微调稳定原系统（1-1）的不稳定周期轨道。

当对参数p 作一微小调整p ∆时，有10p p p =+∆，不稳定不动点必定受到影响，会有一个微小的移动。

但因扰动很小，所以变化后的不动点在原不动点附近。

所以得到
1010()()(()())F F x F F p x p x p Df x p x p Df p -=-+∆ （1-4）
其中x Df 是()f ⋅在点0()F x x p =处的雅克比矩阵，p Df 是()f ⋅在点0p p =处的雅克比矩阵。

令10()()F F x x p x p ∆=-，1()x p g I Df Df -=-⋅，则有
x g p ∆=∆ （1-5） 为了研究系统的在不稳定不动点附近的稳定性，线性化系统(1)得到
1n x n x Df x +∆=∆，n n F x x x ∆=- （1-6） 因为期望周期轨道不稳定，所以表征系统运动的矩阵必定有一个绝对值大于1的特征根u λ和一个绝对值小于1的特征根s λ。

u λ对应于不稳定流形上的运动，
s λ对应稳定流形上的运动。

即
1,1u s λλ>< （1-7）
u λ和s λ对应的向量u e 和s e 分别表示不动点的不稳定方向和稳定方向。

它们可以由下式求出
x u u u Df e e λ=，x s s s Df e e λ= （1-8） 同时它们的双正交对偶向量也可以求出
T T u x u u h f h λ=，T T s x s s h f h λ= （1-9） 它们的双正交性和归一化性质可以由以下的点积确定。

1T T u u s s h e h e == （1-10a ） 0T T u s s u h e h e == （1-10b ） 上式中，归一化条件可以在任意给定,u s e e 下，再确定,T T u s h h 。

雅克比矩阵Df 可直接用双正交矢量叉积表示为
T T x u u u s s s Df e h e h λλ=⊗+⊗ （1-11） 当参数0p p =时系统呈现混沌运动，在n t 时刻启动控制，使10p p p =+∆，由于施加的控制，不动点位置发生了移动，混沌轨道在新的不动点附近的线性化方程可以表示为：
111()(())n F x n F x x p Df x x p +-=- （1-12）
我们的控制目的是使1n x +移动到点F x 的稳定方向上，即使11n n F x x x ++∆=-在该点不稳定方向上的分量为0.
1111(())()n n F x n F F F x x x Df x x p x p x ++∆=-=-+-
()()T T u u u s s s n F F e h e h x x x λλ=⊗+⊗∆-∆+∆
()()T T u u u s s s n e h e h x g p g p λλ=⊗+⊗∆-∆+∆
（1-13）
对于上述提出的控制问题，使11n n F x x x ++∆=-在不稳定方向的分量为零，需要满足
10T u n h x +∆= （1-14）
即
T T T u u n u u u h x h g p h g p λλ⋅∆-⋅∆+⋅∆=
（1-15）
由此解出控制规律 1T u u n T u u h x p h g
λλ⋅∆∆=-⋅（） （1-16） 由于p 的调节受到（1-13）式的限制，（1-16）并不是对任意的n x ∆都能启动的。

令u T n u n x h x ∆=⋅∆，由（1-13）式，（1-16）式，得到控制启动条件为
1(1)u T n u u
x h g δλ∆<-⋅ （1-17） 从以上分析过程，我们可以将OGY 控制方法总结为以下步骤：
（1）从混沌吸引子上选择一条满足要求的不稳定周期轨道。

（2）等待系统遍历到期望目标轨道附近，利用局部流形特征，微调系统参数使系统状态下的一次迭代正好位于局部稳定流形上。

（3）将参数复原，位于局部稳定流形上的点自动渐进收敛到控制目标。

因此，可以将OGY 方法概括为：一旦系统运动到控制目标附近就向稳定方向拉一下。

OGY 方法的优点是：
（1）不需要确切知道混沌系统的动力学行为，这点在实际中系统难以建模或模型不精确的情况下很重要。

（2）使用微小的控制降低了代价，又基本保证了原系统的性质不变，很有实用价值。

OGY 方法的缺点是：
（1）在等待系统进入目标轨道附近，可能会等待很长时间，降低了控制的性能，但可以是利用混沌打靶技术，将轨线带入控制区，但这无疑增加了控制的代价。

（2）因为控制使用的是脉冲控制，容易受到噪声的影响，这就可能使得控制中必须多次进行调节才能使系统的状态落到局部稳定流形上。

（3）控制目标往往是未知的，特别是混沌吸引子中的不稳定周期轨道，需要使用特定的技术抽取目标周期轨道，这需要进行复杂的计算。

（4）很多连续的系统难以找到适当的庞加莱截面对其离散化，这就限制了OGY 法的应用范围。