尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第2章 最优化的数学表达)

尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）

第2章 最优化的数学表达

课后习题详解

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1．已知()22,43U x y x y =+。

（1）计算偏导数U x ∂，U y ∂∂。

（2）求出上述偏导数在1x =，2y =处的值。

（3）写出U 的全微分。

（4）计算d 0U =时d /d y x 的值——这意味着当U 保持不变时，x 与y 的替代关系是什么？

（5）验证：当1x =，2y =时，16U =。

（6）当保持16U =时，且偏离1x =，2y =时，x 和y 的变化率是多少？

（7）更一般的，当16U =时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？ 解：（1）对于函数()22,43U x y x y =+，其关于x 和y 的偏导数分别为：

8U

x x

∂=∂，6U y y ∂=∂ （2）当1x =，2y =时，（1）中的偏微分值分别为：

1

8x U

x

=∂=∂，2

12y U

y

=∂=∂

（3）U 的全微分为：

d d d 8d 6d U U

U x y x x y y x y

∂∂=

+=+∂∂ （4）当d 0U =时，由（3）可知：8d 6d 0x x y y +=，从而可以解得：

d 84d 63y x x

x y y

--==

。 （5）将1x =，2y =代入U 的表达式，可得：413416U =⨯+⨯=。

（6）由（4）可得，在1x =，2y =处，当保持16U =不变，即d 0U =时，有：

d 412/3d 32

y x -⨯==-⨯ （7）当16U =时，该函数变为：224316x y +=，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x ，y ）处的斜率为：

d 4d 3y x x y

=-。

2．假定公司的总收益取决于产量（q ），即总收益函数为：270R q q =-； 总成本也取决于产量（q ）：230100C q q =++。

（1）为了使利润（R C -）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？ （2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。 （3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。 解：（1）公司的利润函数为：

2240100R C q q π=-=-+-

利润最大化的一阶条件为：

d 4400d q q

π

=-+= 从而可以解得利润最大化的产量为：10 q *=；

相应的最大化的利润为：22104010100100 π*=-⨯+⨯-=。

（2）在10q *

=处，利润最大化的二阶条件为：22d 40d q

π=-<，因而满足利润最大化的二

阶条件。

（3）在10q *=处，边际收益为：d 70250d R

MR q q

*==-=； 边际成本为：d 23050d C

MC

q q

*==+=； 因而有50MR MC ==，即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3．假设(),f x y xy =。如果x 与y 的和是1，求此约束下f 的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。

解：（1）代入消元法

由1x y +=可得：1y x =-，将其代入f 可得：2 f xy x x ==-。 从而有：

d 120d f

x x

=-=，可以解得：0.5x =。从而10.5y x =-=，0.25f =。 （2）拉格朗日乘数法 f 的最大值问题为：

max .. 1

xy s t x y +=

构造拉格朗日函数为：

()1L xy x y λ=+--

一阶条件为：

0010L

y x L

x y L

x y λλλ

∂=-=∂∂=-=∂∂=--=∂ 从而可以解得：0.5x y ==，因而有：0.25f xy ==。

4．对偶函数为：

min ..0.25

x y s t xy +=

利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。

解：设最小化问题的拉格朗日函数为：

()0.25L x y xy λ=++-

一阶条件为：

1010

0.250L

y x L

x y L

xy λλλ

∂=-=∂∂=-=∂∂=-=∂ 从而有：x y =，20.25xy x ==，从而可以解得：0.5x y ==。

5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（t ）的函数：

()20.540f t gt t =-+

其中，g 是由重力所决定的常数。

（1）小球处于最高处的时间t 如何取决于参数g ？

（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数g 的变化，小球的最大高度如何变化。

（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。

（4）在地球上，32g =，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？

解：（1）对高度函数()20.540f t gt t =-+关于时间求导数可得：

d 400d f

gt t

=-+= 从而可以解得使高度最大的时间为：40

t g

*=，从而可知小球处于最高处的时间t 与参数g 成反比例关系。