[推荐学习]新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.7立体几何中的空间角与距离测试卷理

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高考数学二轮热点 2127 考查空间角与距离课件理新人教

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[押题50] 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，
且CC1⊥底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和
BM所成的角为
( )．
π
π
A.2
B.4
π
π
C.6
D.3
答案: A [由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为 2， B→A＝a，B→B1＝b，B→C＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，c〉＝π3，〈a，b〉＝〈b，c〉＝2π，所以 a·c＝2×2×cosπ3＝2，a·b＝b·c ＝0.而A→B1＝b－a，B→M＝c＋12b，所以A→B1·B→M＝(b－a)·c＋12b＝ b·c＋12b2－a·c－12a·b＝0，故〈A→B1，B→M〉＝π2，即异面直线 AB1 与 BM 所成的角为2π.]
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 18 、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16

高考数学二轮复习专题二立体几何第3讲空间角课件

跟踪演练3 (2018·绍兴质检)已知四面体SABC中，二面角B－SA－C， A－SB－C，A－SC－B的平面角的大小分别为α，β，γ，则 A.π2<α＋β＋γ<π B.32π<α＋β＋γ<2π
√C.π<α＋β＋γ<3π
D.2π<α＋β＋γ<3π
解析
答案
真题押题精练
真题体验
1.(2017·全国Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角1形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是_②__③___.(填写所有正确结论的编号)
板块三专题突破核心考点
专题二立体几何
第3讲空间角
[考情考向分析]
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．
内容索引
热点分类突破真题押题精练
热点分类突破
热点一异面直线所成的角
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲，怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/6/29
精选最新中小学教学课件
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2019/6/29
AB＝AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记∠APC＝θ，

配套K12新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题教学

立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1 立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例１【河南省中原名校2018届第五次联考】如图甲，在四边形ABCD 中， 2AD CD ==， ABC ∆是边长为4的正三角形，把ABC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得平面PAC ⊥平面ACD ，如图乙所示，点,,O M N 分别为棱,,AC PA AD 的中点．（1）求证： AD ⊥平面PON ；（2）求三棱锥M ANO -的体积．思路分析：（1）在正三角形APC ∆中可得PO AC ⊥，有根据题意得到PO ⊥平面ACD ，从而得PO AD ⊥，计算可得AD CD ⊥．由,O N 分别为棱,AC AD 的中点，得到//ON CD ，故ON AD ⊥．根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PON ．（2）由条件得ACD S ∆=，故142NAO ACD S S ∆∆==，又可得点M 到平面ANO 的距离为1h 2OP ==，故可求得三棱锥M ANO -的体积．点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在． 2 立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2【宁夏育才中学2018届第三次月考】一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为__________．【答案】53【解析】设大正四面体的内切球半径为r ，则2211114553232r ⨯⨯⨯=⨯得12r =.设小正四面体棱长的最大值为x ，内切球为小正四面体的外接球，则22233r x x r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222123312x x ⎛⎛⎫⎛=+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得53x =.点评：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等．3 立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例3【江西省2018届1月联考】如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去一部分而成， D 是1AA 的中点.（1）若1AD AC ==， AD ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，求点C 到面11B C D 的距离；（2）若E 为AB 的中点， F 在1CC 上，且1CC CFλ=，问λ为何值时，直线//EF 平面11BC D ？思路分析：（1）由BC CD ⊥， 1CD C D ⊥，可得CD ⊥面11DC B ，即点C 到面11B C D 的距离等于CD ；（2）当4λ=时，直线//EF 平面11BC D ，理由如下：取1DB 的中点H ，连接EH ，可得1////AD EH CC ，当132C F EH ==时，四边形1C FEH 为平行四边形，即EF HC .点评：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明了充分性综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛．折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决．解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．。

高考数学二轮复习专题5立体几何2空间中的垂直与空间角课件理

示的空间直角坐标系 H-xyz.
12/11/2021
-19-
考向一
考向二
考向三
由(1)可得,DE⊥PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= 3.又 PF=1,EF=2,故
3
3
PE⊥PF.可得 PH= 2 ,EH=2.则 H(0,0,0),P 0,0,
3
1, 2 ,
3
2
, = 0,0,
3
2
12/11/2021
-11-
考向一
考向二
考向三
(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得 AB⊥AP,CD⊥PD.由于 AB
∥CD,故 AB⊥PD,从而 AB⊥平面 PAD.又 AB⊂平面 PAB,所以平面
PAB⊥平面 PAD.
(2)解: 在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F.由(1)可知,AB⊥平面
PAD,故 AB⊥PF,可得 PF⊥平面 ABCD.
以 F 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所
示的空间直角坐标系 F-xyz.
12/11/2021
-12-
考向一
考向二
考向三
由(1)及已知可得 A
= -
2
2
,1,2
2
2
,0,0
2
,P 0,0,
2
2
, =( 2,0,0), =
2
,1,0
2
2
2
,0,2
2
,B
12/11/2021
-2-
考向一
考向二
考向三
解法一 (1)证明:由 AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得
AB1=A1B1=2 2,所以 A112 +A12 =A12 ,故 AB1⊥A1B1.

2018高考数学理二轮备考课件—11立体几何

涉及知识点
解题思想方几何模型法逻辑推理、解析法逻辑推理、方程思想、解析法逻辑推理、解析法
面面垂直判定定理、向量的四棱锥平面法向量、数量积线面平行判定定理、向量的四棱锥平面法向量、数量积全等三角形、二面全证面面垂直; 角、勾股定理、平面四面体国求二面角的向量的数量法向量、 Ⅲ 余弦值积
-8-
2.证明线面平行和线面垂直的常用方法 (1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理把证明线面平行转化为证明线线平行;②利用面面平行的性质定理把证明线面平行转化为证明面面平行. (2)证明线面垂直的常用方法:①利用线面垂直的判定定理把线面垂直转化为证明线线垂直;②利用面面垂直的性质定理把证明线面垂直转化为证明面面垂直;③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.
-7-
1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两条直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
勾股定理、面面垂直菱形与两逻辑推理、的判定定理、空间点条垂线组解析法坐标、向量的数量积成的图形线面平行性质定理、平面法向量、向量的长方体数量积逻辑推理、解析法
-5-
卷设问特点别全证面面垂直; 国求二面角的 Ⅰ 余弦值全证线面垂直; 2016 国求二面角的 Ⅱ 正弦值全证线面平行; 国求线面角的 Ⅲ 正弦值年份

2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题四第1讲立体几何中的计算与位置关系精品

解析：对于 A，条件为 m∥α，n∥β 且 α∥β，其对 m，n 之间的位置关系没有限制，即该位置关系可以是平行、相交或异面，故 A 错；对于 B，由 m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，知 m 与 n 一定不平行(否则有 α∥β，与 α⊥β 矛盾)，不妨令 m 与 n 相交(若其不相交，可通过平移使得相交)，且设 m 与 n 确定的平面为 γ，
[变式训练 3] (1)(2016·盐城二模) 如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB⊥ 平面 ABC，PA⊥PB，M，N 分别为 AB，PA 的中点．
(1)求证：PB∥平面 MNC； (2)若 AC＝BC，求证：PA⊥平面 MNC. 证明：(1)∵M，N 分别为 AB，PA 的中点，
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43πR3.
3．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ⇒a∥b.
连接 OA，OC，则 OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图
可知 AO⊥平面 BCD.
又 OC＝ CD2－OD2＝1，
所以 V 三棱锥 A-BCD＝13×12×2
3×1×1＝
3 3.
答案：(1)A
3 (2) 3
[例 2] (1)(2016·全国Ⅱ卷)α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：
专题四立体几何
第 1 讲立体几何中的计算与位置关系

专题8-8立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角与距离(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测Word版含解

2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章立体几何第08节立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角与距离【考纲解读】【知识清单】1. 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a ba b θϕ⋅==⋅.对点练习：【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A C D【答案】C2. 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.对点练习：【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，ADBC//，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）82．【解析】试题解析：MFH QNPAB CDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD=1．在△PCD 中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，在△PBN 中，由PN=BN=1，PB=3得QH=41，在Rt△MQH 中，QH=41，MQ=2，所以sin∠QMH=82，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是82． 3.二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．对点练习：【2017江苏，22】如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.【答案】（1）17（24 .利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则||(AB d AB a==. 2. 点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.对点练习：设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：以D 为原点，以DA 为x 轴， DC 为y 轴， 1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴()()()()110,0,0,2,0,2,2,2,0,0,0,2D A B D ，∴()12,0,2D A =， ()2,2,0DB =， ()112,0,0A D =-，设面1DBA 的法向量(),,n x y z =，因为10,0n DA n DB ⋅=⋅=，∴220{ 220x z x y +=+=，所以()1,1,1n =--，∴点1D 到平面1A BD 的距离是11233A D n d n ⋅==，故选C ．【考点深度剖析】空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【重点难点突破】考点1 异面直线所成的角【1-1】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）【答案】D【1-2】长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A. 1010B. 3010C. 21510D. 31010 【答案】 B【解析】建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．1(1,0,2),(1,2,1)BC AE =-=-， 11130cos ,10||||BC AE BC AE BC AE ⋅<>==⋅. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.【领悟技法】1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【触类旁通】【变式一】【2017届安徽省江淮十校高三下第三次联考】如图，正四面体ABCD 中， E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为（）【答案】B【解析】如图所示，作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，O 为底面等边△BCD 的中心，建立空间直角坐标系．不妨取CD=2．则：，设点M 是线段CD 的中点，则： 13263,,,,AE CF⎛⎫⎛∴=--=-- ⎪ 利用空间向量求解余弦值有：2,3AE CF AE CF AE CF⋅〈〉==-⨯∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为【变式二】【安庆二模】如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于,A B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且22AB AD a ==。

2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-10立体几何精品

圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体积 V3＝13π×22×1＝4π 3 ，所以阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成几何体的体积 V＝V1－V2－ V3＝6π.
【答案】 B
(3)(2016·武昌调研)某超市为了方便摆放要售卖的足球，利用边长为 a 的正方形硬纸片做了一个支架(如图)，以各边中点连线折起四个小三角形，并使得四个小三角形与底面垂直，此时，足球上最高点到支架底面的距离为 2a，则该足球的表面积为 ________．
[求外接球的表面积] (1)(2016·唐山期末)三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC 且 PA ＝2，△ABC 是边长为 3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
4π A. 3
B．4π
C．8π
D．20π
【解析】由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、
以
PA
为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC
第讲立体几何
热点调研
调研一空间几何体
考向一空间几何体的面积与体积命题方向： 1．多面体的面积与体积； 2．旋转体的面积与体积．
[多面体的面积与体积] (1)(2016·北京丰台)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的全面积是( )
3＋ 3 A. 4 a2
B.34a2
此时 R2＝196，R＝34.当点 P 在 A1，C1 处时，R＝ 23，所以外接球
的半径 R 的取值范围是[34， 23]．
【答案】
[34，
3 2]
【回顾】 (1)本题主要考查几何体的结构、几何体的外接球半径的求法、最值问题，考查空间想象能力、转化与化归能力、运算求解能力，意在让少数考生得分．(2)本题若错，一是不能根据已知条件确定球心的大致位置，二是不能合理转化为解三角形的问题解决．

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义一、知识梳理1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围]2,0(π[0，π] 求法cos θ＝|a ·b ||a ||b | cos β＝a ·b |a ||b | 2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．注意：利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是]2,0(π，直线与平面所成角的范围是]2,0[π，二面角的范围是[0，π]．( ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( ) 题组二教材改编2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．题组三：易错自纠4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.225．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为__ __．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的角为______．二、典型例题题型一：求异面直线所成的角典例如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．思维升华：用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．题型二：求直线与平面所成的角典例如图，四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD 上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．思维升华：利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．题型三：求二面角典例如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．思维升华：利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练 (2017·天津)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．题型四：求空间距离(供选用)典例如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．思维升华：求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．跟踪训练如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q －AC －D 的余弦值为63若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由．注意：利用空间向量求解空间角典例 (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．四、反馈练习1．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π22.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B ．－14 C.14 D ．－523．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.224.已知六面体ABC —A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°5．设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.2336．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是____________．8．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．9．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________．10．设二面角α—CD —β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC ＝45°，则AB 与平面β所成角的大小为________．11．已知三棱锥A —BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，点E 在AD 上，且AE ＝2ED .(1)已知点F 在BC 上，且CF ＝2FB ，求证：平面PEF ⊥平面P AC ；(2)当二面角A —PB —E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面P AB 所成的角为45°？13已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.3314．已知三棱锥S —ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，Q 是三棱锥S —ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________．15．已知三棱锥P —ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P —ABC 的体积最大时，二面角P —AB —C 的大小为θ，则sin θ等于( )A.23B.53C.63D.7316．如图，已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP＝PB ，BQ QC ＝CR RA＝2，分别记二面角D —PR —Q ，D —PQ —R ，D —QR —P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α。

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生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持立体几何中的空间角与距离（一）选择题（12*5=60分） 1．直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C

2．下图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）

A．12 B．22 C．33 D．3 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持【答案】C

3．直三棱柱111ABCABC中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P是111ABC中心，且三棱柱的体积为94，则PA与平面ABC所成的角大小是（） A．6 B．4 C．3 D．23 【答案】C 【解析】由题意设底面正ABC的边长为a，过P作PO平面ABC，垂足为O，则点O为底面ABC

的中心，故PAO即为PA与平面ABC所成角，∵aaOA332332，3OP，又∵直三棱柱

111ABCABC的体积为49，∴由直棱柱体积公式得493432aV，解得3a，∴

3333tanaPAO，∴3PAO，∴PA与平面ABC所成的角为3．故选：C．生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 4．已知a，b为异面直线，下列结论不正确．．．的是（） A．必存在平面使得//,//ba B．必存在平面使得a，b与所成角相等 C．必存在平面使得a，b D．必存在平面使得a，b与的距离相等【答案】C

5．在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，点M是侧面11ABBA内的一点，若MC与平面ABC所成的角为30，MC与平面11ACCA所成的角也为30，则MC与平面11BCCB所成的角正弦值为（） A．12 B．22 C.32 D．33 【答案】B 【解析】以MC为对角线作长方体，设MC与平面11BCCB所成的角为，则222sinsin30sin301，故2sin2.选B. 6．【广东省深圳市2018学届11月】如图,在正方体1111ABCDABCD中,棱长为1, EF、分别为11CD与AB的中点, 1B到平面1AFCE的距离为

A. 105 B. 305 C. 32 D. 63 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持【答案】D

7．【湖北省武汉市2018届部分学校联考】设点M是棱长为2的正方体1111ABCDABCD的棱AD的中点，点P在面11BCCB所在的平面内，若平面1DPM分别与平面ABCD和平面11BCCB所成的锐二面角相等，则点P到点1C的最短距离是（）

A. 255 B. 22 C. 1 D. 63 【答案】A 【解析】设P在平面ABCD上的射影为',PM在平面11BBCC上的射影为'M，平面1DPM与平面ABCD

和平面11BCCB成的锐二面角分别为,B，则111''cos,cosPMCDPMDPMDPMSSBSS，

1''coscos,DPMPMCBSS，设P到1'CM距离为d，则1125512,225dd，即点P

在与直线1'CM平行且与直线距离为255的直线上， P到1C的最短距离为255d，故选A. 8．【2018东北名校联考】已知正四棱锥PABCD中， 2,,PAABEF分别是,PBPC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）

A. 33 B. 63 C. 16 D. 12 【答案】C 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 9．如图，在直三棱柱111ABCABC中，1,2,2ABACABAAAC，过BC的中点D作平面1ACB

的垂线，交平面11ACCA于E，则BE与平面11ABBA所成角的正切值为（）

A．55 B．510 C．1010 D．105 【答案】C 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 10. 【四川省2018届期考】如图，四棱锥PABCD中， PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形， //ADBC， AB BC， 3ABADPB，点E在棱PA上，且2PEEA，则平面ABE与平面

BED的夹角的余弦值为（）

A. 23 B. 66 C. 33 D. 63 【答案】B 【解析】以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则0,0,0,0,3,00,0,3,3,3,0,0,2,1BAPDE，，∴0,2,1,3,3,0BEBD，设平面BED的一

个法向量为,,nxyz，则20{ 330nBEyznBDxy，取z=1,得11,,122n，平面ABE的法向量为

1,0,0m，∴162,6612cosnm.∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为66.故选B. 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 11．已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长与底面边长相等，则直线1AB与侧面11ACCA所成角的正弦值等于（）

A．64 B．104 C．22 D．32 【答案】A

12．如图四边形ABCD，2ABBDDA，2BCCD.现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC处于5[,]66过程中，直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）

A．522[,]88 B．252[,]88 C．2[0,]8 D．52[0,]8 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持【答案】D.

（二）填空题（4*5=20分） 13. 【湖南师范大学附属中学2018届11月】如图，圆锥的高2PD，底面⊙O的直径2AB， C是圆上一点，且30CAB， D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为__________．

【答案】73 14．在正四棱锥ABCDP中，2PA，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．

【答案】45 【解析】如图，由题意易知60PAC，因为PAEO//，所以BEO为异面直线PA与BE所成角，又生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 2PA，BEORt中，1EO，1AOBO，得BEO为等腰直角三角形，故异面直线PA与BE所

成角为45.

15．【安徽省六安市一中2018届高第五次月考】已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形， 4,4ABSASBSC，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为__________．

【答案】233 【解析】∵三棱锥SABC中SASBSC，∴顶点S在底面ABC上的射影H为ABC的外心，又ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴点H为AB的中点．∴SHABC平面．如图，设点O为三棱锥SABC外接球的球心，则OH的长即为外接球的球心到平面ABC的距离．设球半径为R，则,OBR

OHSHSOSHR．由题意得， 22123,22SHSBBHBHAB，在RtOHB中，

有222OBOHHB，即222232RR，解得433R，∴43232333OH，即三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为233．答案： 233

16．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，5ABAC，8BC，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为12，则球O的表面积为_________．生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持【答案】6349

(三)解答题（4*10=40分） 17．如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD，1PDDCBC，2AB，//,90ABDCBCDo．

⑴ 求证：PCBC； ⑵ 求点A到平面PBC的距离．生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 18.在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，过1A、1C、B三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCDACD，且这个几何体的体积为10.

（1）求棱1AA的长；（2）若11AC的中点为1O ，求异面直线1BO与11AD所成角的余弦值. 【解析】（1）设1AAh，由题设111111111110ABCDACDABCDABCDBABCVVV，得

1111103ABCDABCShSh，即1122221032hh，解得3h，故1AA的长为3.

（2）连接1OC，在长方体中11ADBC，1OBC即为异面直线1BO与11AD所成的角（或其补角）,

在1OBC 中，计算可得1111OBOC，则1OBC的余弦值为1111. 19. 【2018河南名校联考】如图，在三棱柱111ABCABC中， 011,90,BABCBBABCBB 平面ABC，点E是1AB与1AB的交点，点D在线段AC上， 1//BC平面1ABD.

（1）求证： 1BDAC；（2）求直线1AC与平面11ABD所成的角的正弦值.

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