(课堂设计)2014-2015高中数学 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域学案 新人教A版必修5

1 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 自主学习 知识梳理 1．二元一次不等式(组)的概念 (1)含有________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组． (2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 2．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线____________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界． 不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都________． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的________，即各个不等式所表示的平面区域的____________． 自主探究 已知点A(1,3)与B(6,2)，直线l：2x－3y＋a＝0. (1)若a＝1，则点A与原点位于直线l的________侧，点B与原点位于直线l的________侧． (2)若点A与B位于直线l的异侧，则a的取值范围是__________． (3)若点A与B位于直线l的同侧，则a的取值范围是__________． 对点讲练 知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域．

(1)2x－y－6≥0； (2) x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.

总结 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界． 2

变式训练1 画出不等式组 x<32y≥x3x＋2y≥63y知识点二 平面区域的面积问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )

A．2 B．1 C.12 D.14

变式训练2 若A为不等式组 x≤0，y≥0，y－x≤2，表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________． 知识点三 平面区域内的整点个数问题

例3 利用平面区域求不等式组 x≥3y≥26x＋7y≤50的整数解． 3

总结 求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点． 变式训练3 画出2x－3

1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题． 3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数.

课时作业 一、选择题 1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( ) A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方

2．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )

3．不等式组 4x＋3y≤12，x－y>－1，y≥0表示的平面区域内整点的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．8

4．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组 x＋12＋y2≤1x－y≤0x＋y≤0，则平面区域D的面 4

积是( ) A.12＋π2 B．1＋π2

C.12＋π4 D．1＋π4

5．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( ) A．32＋2 B．－32＋2

C．－5 D．1

题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 6．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围为________． 7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1，3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．

8．不等式组 x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于________． 三、解答题 9．画出不等式组 x＋2y－1≥0，2x＋y－5≤0，y≤x＋2所表示的平面区域并求其面积．

10．画出不等式组 2x－y≥0，x＋2y＋3＞0，5x＋3y－5≤0表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)． 5

§3.3 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 知识梳理 1．(1)两个 1 2．Ax＋By＋C＝0 虚线 实线 3．(1)相同 (2)Ax0＋By0＋C (3)交集 公共部分 自主探究 (1)异 同 (2)－67 对点讲练 例1 解 (1)如图1，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0，0)代入2x－y－6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x－y－6＝0左上方的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；

图1 图2 (2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合，图中阴影部分即为所求平面区域(含边界)． 变式训练1 解

不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6， 即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3y－3y＋9>0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．

例2 B [记x＋y＝m， x－y＝n， 6

则x＝m＋n2，y＝m－n2 ∴ m＋n2＋m－n2≤1m＋n≥0m－n≥0，

即 m≤1m＋n≥0m－n≥0作出可行域可知面积为1.] 变式训练2 74

解析 如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．

又D(0,1)，B(0,2)，E－12，32，C(－2,0)．

S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－14＝74. 例3 解 把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤447， 又∵y≥2，∴整点有： (3,2)(3,3)(3,4)；

把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤357， ∴整点有：(4,2)(4,3)． 把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤267， ∴整点有：(5,2)； 把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；

把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤87，与y≥2不符． ∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 变式训练3

解 由于2x－3平面区域如图所示： 7

而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组． 课时作业 1．D [将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0. ∴(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧． ∴不等式表示的平面区域在对应直线的右下方．] 2．B [不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组

(Ⅰ) x－y>0，x＋2y－2>0或不等式组(Ⅱ) x－y<0，x＋2y－2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.] 3．C [画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．] 4．B

[画出平面区域，如图， 阴影部分面积S＝1＋π2.] 5．D [区域如图，易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)． S△ABC＝12|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，得a＝1.]

6． (－7,24) 7. x＋2y－1≥0x－y＋2≥02x＋y－5≤0 解析

如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出) 直线AC的方程为2x＋y－5＝0 直线BC的方程为x－y＋2＝0 把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0 ∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.