华南理工大学微积分统考试卷下2014
2014-2017级第二学期高数结课统考试题(含答案)
南开大学2014级多元函数微积分试卷2015年4月26日一、选择题（每小题4分，共28分）(1)设2)(),(y x yxxy f +=，则=),(y x f ( B )A.22)1(y y x +B.2)1(y y x +C.22)1(x x y +D.2)1(y x y+(2)=-+→22222)0,0(),()(limy x y x y x y x ( D ) A.0 B.1 C.2 D.不存在(3)函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿方向}21,22,21{=L r 的方向导数是( B ) A.10 B.5 C.4 D.2(4)设yxe x y z +=sin ，则=∂∂∂yx z2( A ) A.y e x +cos B.y e x y +cos C.x y sin - D.y e x +sin (5)下列命题中正确的是( B )A.函数),(y x f 在P 点偏导数存在则连续B.函数),(y x f 在P 点可微则偏导数存在C.函数),(y x f 在P 点连续则偏导数存在D.函数),(y x f 在P 点偏导数存在则可微(6)设D 是矩形区域10,0≤≤≤≤y x π，则积分=⎰⎰dxdy x y Dsin ( A )A.1B.21C.22D.23(7)设L 是平面光滑曲线段，),(y x f 是L 上的连续函数，则下列陈述正确的是( B )（第十章的知识）二、填空题（每小题4分，共24分）(1)=→xxyy x sin lim )0,0(),( 0 ；(2)已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f ，试问),(y x f 在点)0,0(是否连续？答： 不连续 ；(3)曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222223932yx z z y x 在点)2,1,1(-处的切向量为}7,10,8{； (4)设v e z u sin =，xy u =，y x v +=，则=∂∂xz)cos()sin(y x e y x ye xy xy +++； (5)若y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+-；(6)两曲面22y x z +=，228y x z --=所围成的立体的体积是π16. 三、计算下列各题（每小题5分，共20分）1.设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y x z∂∂∂2.答案：2221212112cos sin cos cos sin 22f x x y f x y f x f x f y x z''+''-'+''+''-=∂∂∂. 也可以写成22212112cos sin cos )cos sin 2(2f x x y f x f x y x f yx z''+'+''-+''-=∂∂∂. 2.设}|),{(22x y x y x D ≤+=，求⎰⎰Ddxdy x .解 ⎰⎰Ddxdy x⎰⎰⋅=-θππθθcos 022cos rdr r d⎰-=223cos 52ππθθd 158=.解 设上底为1S ，下底为2S .4.计算三重积分⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22，其中V 由曲面22y x z +=和平面1=z 围成。
华南理工大学微积分统考试卷下2015a
高等数学2015级下册试卷2016．7．4姓名： 学院与专业：一、填空题[每小题4分，共20分]1、函数1sin cos z x y =在 ,,,2x k y l k l πππ==+为整数 处间断.2、函数z =在点()0,1处的全微分dz =12dx 3、函数()sin x u e yz =在点()1,1,1处沿方向{}2,1,2l =-的方向导数等于2sin1cos13e -4、二次积分()1,xdxf x y dy ⎰改变积分次序后等于()21,yy dy f x y dx ⎰⎰5、曲面∑的方程为()()221012z x y z =+≤≤，并且取下侧，关于坐标的曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰化为关于面积的曲面积分的结果为∑二、（本题8分）讨论函数()2222221,0,0,0x y x y f x y x y +≠+=+=⎩在()0,0处的连续性，可导性和可微性。
解 （1）由于2222110x y x y ≤≤≤++，而0000,lim 00x x y y →→→→==，从而由夹逼准则可得()()00lim ,00,0x y f x y f →→==，进而由连续定义可得函数(),f x y 在()0,0处连续； （2）由定义()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--'===∆∆， ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--'===∆∆，因而(),f x y 在()0,0处可导；（3） 由于,0,00,00,0f x y f f x f yρ→''∆∆--∆-∆()()()()22221limarctan x yx y x y ρ→∆∆=∆+∆∆+∆，当x y ∆=∆时有()()()()2222111limarctan arctan 022x y x yx y x y ρ→∆=∆∆∆=≠∆+∆∆+∆，从而,0,00,00,0f x y f f x f yρ→''∆∆--∆-∆不可能为零，即()()()()(),0,00,00,0x y f x y f f x f y o ρ''∆∆--∆-∆≠。
华南理工大学高等数学统考试卷下1994
1994高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（12分）1．与三点)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -决定的平面垂直的单位向量=︒a2．设1:22=+y x L 正向一周，则⎰=Lx dy e 2答：2,0x e Q P ==22x xe yPx Q =∂∂-∂∂ 3．级数∑∞=12)!()!2(n n x n n 的收敛半径=R 41二、计算下列各题（本大题分4小题，共21分）1．计算二次积分⎰⎰πθ022dr r d解 ππθπ383203022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d2．设L 是连结点)0,3(),1,2(),0,1(C B A 的折线，计算曲线积分()⎰+Lds y x 22解 1,010121:-=--=--x y y x AB x y y x BC -=--=--3,101232: 3．求微分方程2=+x dydx满足0)1(=y 的的特解 解,2dy x dx-=- y e x c c y x -=---=-)2(,ln )2ln( 将1,0==y x 代入得1,1-==-c c ；特解：y e x --=24．设)(2u f x z =，而xyu =，其中)(u f 二阶可导，求y x z ∂∂∂2三、证明下列各题（共10分）1．求证：()()b a b a b a⨯=+⨯-2)(证明：()()()()a b a b a b a a b b -⨯+=-⨯+-⨯2．设)(1x y 与)(2x y 函数都是方程)()()()(21x Q y x P y x P y x P =+'+''的解，试证明函数)()(21x y x y -是其对应的齐次方程的解。
证明：由已知11121()()()()P x y P x y Px y Q x '''++=两式相减()()()12112212()()()0P x y y P x y y P x y y '''-+-+-=即)()(21x y x y -满足12()()()0P x y P x y Px y '''++=，是对应的齐次方程的解 四、根据题目要求解答下列各题（共10分）1．写出方程x y y y =-'-''32的待定特解的形式。
2013级工科数分(下)期中考试卷(附解答)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2013—2014学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个 大题，满分100分， 考试时间90分钟。
10分，共40分） 求微分方程20yy y '''+=的通解.()11212:0,2,,610y y y y C ydy C dx y C x C ''⋅='''⋅===+解原方程化为分则即分两边积分有原方程的通解为 分设()f x 二阶可导,且满足方程0()sin ()()d ,x f x x x t f t t =--⎰求()f x .:1()sin cos 22xf x x x =+ 10分设函数f 有二阶连续偏导数,求函数,x u f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.2221222222341,10u xf y yz x xf f f x y y y y∂'=∂∂'''''=---∂∂解:分分设[)()0,,f x C ∈+∞且满足方程222244(),tx y t f t ef dxdy π+≤=+⎰⎰求().f t:22222442240()132t x y t t t f t ef dxdy e d f r rdr πππθ+≤=+⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰分两边对t求导,得到24()8()8t f t tf t te πππ'-=, 5分又()01f = 解得()224()14t f t t e ππ=+ 10分二、计算下列积分（每小题10分，共30分） 5. 计算sin Dydxdy y ⎰⎰，其中D是由曲线y =y x =围成。
解： 求交点作图知2:01,D y y x y ≤≤≤≤ 2分()()21011200sin sin 6sin sin sin yD y y ydxdy dy dx y y yy y dy y y y dy y ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分()()1111000cos cos cos1cos0cos cos y y y dy y y ydy '=-+=--+-⎰⎰101cos1cos1sin 1sin1y =-+-=- 10分6. 计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 解：由交线22221222220,1,2x y z z z z z z x y⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 于是投影区域为22:1D x y +≤，Ω柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤2分()2212124046271221171104612r zdv d rdr zdz d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分7. 计算三重积分()222222,:2I xy z dv x y z z Ω=++Ω++≤⎰⎰⎰.解 利用球面坐标,边界面的方程为: 2cos r ϕ= 2分则,()22cos 2222220sin 7321015I x y z dv d d r r dr ππϕθϕϕπΩ=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分.三、证明题（每小题10分，共20分）8. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,222222y x y x yx xy y x f证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微证明：1）因为()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 4分 2）因为()()22000,00,0limlimx x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆当取y k x ∆=∆时()()222222000limlim 11x x y x yk k k k x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k 之不同极限值也不同，即0,00,0lim0x y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆≠所以此函数在()0,0处不可微。
华南理工大学网络教育高等数学B(下)课程作业
2013-2014第二学期《高等数学B （下）》练习题说明：1、 此练习供自学后和考前复习用；2、 注意批注的题型归纳，自己练习时注意总结方法和举一反三；3、 根据课程导学、重难点及期末复习提纲进行针对性的练习（题型归纳）。
祝 同 学 们 学 习 顺 利！判断题1. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 可微.答：错2. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 连续.答：错3．若(,)f x y 可微，则,f f x y ∂∂∂∂存在. 答：对4．若(,)f x y 可微，则(,)f x y 连续.答：对5．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点答：错6．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，且函数在点00(,)x y 的偏导数存在，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 答：对7. 二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错8．当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错9. 若积分区域D 关于y 轴对称，则sin 0.D xd σ=⎰⎰ 答：对10．若积分区域D 关于x 轴对称，则sin 0.Dy xd σ=⎰⎰ 答：错11．微分方程()340xy yy y '''++=阶数为3. 答：错12．微分方程sin cos cos sin y xdx x ydy =是变量可分离微分方程答：对13．微分方程2cos sin dy y x dx x-=是一阶线性微分方程. 答：错%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%填空题14. 函数221(,)ln(1)f x y x y =+-定义域为____________ 答：定义域为：212222≠+>+y x y x 且 15. 2xy z =, 则x z =____________,y z =________答：2ln 2y xy X z= ； 2ln 2x xy y z =16. (,)D D y y x f x y d σ==⎰⎰若是由所围成,在计算二重积分时定限为____________ 答：dy y x f dx x x ⎰⎰10),(17. 设222,D x y R +≤是圆域2Dx d σ⎰⎰则在化为极坐标计算时应为_______,2D y d σ⎰⎰在化为极坐标计算时应为_________.答：2D x d σ⎰⎰则在化为极坐标计算时应为rdr r d x R⋅⎰⎰θθ22002cos 2D y d σ⎰⎰在化为极坐标计算时应为dr r d x RR θθ22023sin ⎰⎰18. 22(1)(1)0y dx x dy +++=的通解为__________答：C y x =+arctan arctan解答题19. (,)z z z x y xy yz xz e =++=已知函数由方程确定,求z x ∂∂和z y ∂∂. 答：对x 进行求偏导数x z e x z x z x z yy z ∂∂=∂∂++∂∂+ )(y x e z y x z z +-+=∂∂ 对y 进行求偏导数y z e y z x y z yz x z ∂∂=∂∂+∂∂++ )(y x e z x y z z +-+=∂∂ 20. 2222(,)(,),x y x y z f x e g e y ++=-设f g其中，具有连续偏导数，,.z z x y∂∂∂∂求 答：x y e g x e x f e x f x z y x y x y x 2*),(2*),(),(222222121+++--=∂∂ ),(2*),(2*),(222222212y e g y y e g y e x f xz y x y x y x +++--=∂∂ 21.计算二重积分 2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由,1y x y ==及y 轴所围成的有界闭区域. 答： 122.计算二重积分 22cos(+)Dx y d σ⎰⎰，其中22:+16D x y ≤.答：22cos(+)D x y d σ⎰⎰=16sin 16sin 21*2*cos 20402ππθ==⎰⎰pdpd p x23.求解微分方程22()()0(2)1xy x dx y x y dy y ⎧++-=⎨=⎩的通解. 答：1)1(*11*111111*0)()(2222222222222222--=-=+-+=-+=-+==-++x C y dx x dy y x y dx dy x y dx dy x y yy x x xy dx dy dx y x y dx x xy35321)1(32321)2(222-=--===x x y C y 24.求解微分方程 21.1xy y x '++= 答：xx y x y +=+'311 有一阶线性方程的公式可得： x C x x c dx e x x e y dx x dxx +=+⎰+⎰=⎰-arctan 1]*1[131。
华南理工大学813自动控制原理2014-2016年考研真题试卷
813华南理工大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：自动控制原理适用专业：机械制造及其自动化；机械电子工程；机械设计及理论；测试计量技术及仪器；机械工程(专硕)；仪器仪表工程(专硕)共4页一．填空题（24分，每空2分）1.在控制系统中，线性系统是满足原理的系统。
2.按系统有无反馈，通常可将控制系统分为和。
3.传递函数21s的相角为。
4.频率响应的输入信号为。
5.已知某二阶系统的单位阶跃响应输入为衰减的振荡过程，那么可以推断其阻尼比ξ的范围为。
6.已知一个单位负反馈系统，其开环传递函数()()14k G s s s =+，在单位阶跃输入作用下的稳态误差是。
7.一个系统的微分方程为()()()()65y t yt y t u t ++=，该微分方程所代表的系统的阶数和性质是。
8.对于一个物理可实现系统，传递函数分母s 的阶次n 和分子阶次m 的关系是。
9.一阶系统11Ts +的单位阶跃响应的时域表达式是。
10.设惯性环节的频率特性为()()201G j j ωω=+，当频率ω从0变化到∞时，则幅相频特性曲线是一个半圆，该半圆位于极坐标平面的第象限。
11.稳态误差不仅取决于系统自身的结构参数，而且与的类型有关。
813华南理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：自动控制原理适用专业：机械工程；测试计量技术及仪器；机械工程(专业学位)；仪器仪表工程(专业学位)共5页一．填空题(24分,每空2分)1．对一个自动控制系统的基本要求可归结为三个方面,即:。
2．一阶系统11Ts +的单位脉冲响应的时域表达式为。
3．根轨迹的起点和终点分别为。
4．设某一环节的频率特性为1()1G j j ωω=-+，当频率ω从0变化到∞，该环节的幅相曲线位于极坐标平面第象限的一个半圆。
工科数学分析学期期中考试卷(附解答) (2)
sin2xdx y⎰2分()2212124046271221171104612r zdv d rdr zdz d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分5. 设()()+f x ∞∞在－，内有连续导数，L 是从点233A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，到点()12B ，的直线段，计算曲线积分()()2221+1L y f xy x I dx y f xy dy y y⎡⎤=+-⎣⎦⎰。
解：()()()()22221+,11,D D y f xy x P Q y f xy D y y Q Pf xy xyf xy x y y⎡⎤==-⎣⎦∂∂'=+-=∂∂选为第一象限区域，则是单连通的，在内有一阶连续偏导，且从而积分与路径无关，4分 法一：22:,:2,3L x y y =选 6分则()()2222331+222228410y f I dy f dyy y yy ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-⎰分分法二：记213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()()()()()2222221222331+1+116421+193823410AC CB y f xy y f xy x x I dx y f xy dy dx y f xy dy y y y y f x dx f y dxy ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰分＝分分6. 设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的下侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰解： 法一：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222222+11d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 52+93+1022x y z x y I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yzdv x y zdzdxdy dxdy πππ∑∑∑Ω∑+≤+≤=++-++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法二：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222+1224cos 01d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 5cos sin +93+1022x y I x y z y z x z z x y x y z y z x z z x yzdv x yd d r r dr dxdy ππϕθϕϕϕπππ∑∑∑Ω∑+≤=++-++-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法三： 221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 2分利用Gauss 公式得到12222+10d d d d (2)d d 252782x y z x y z y z x z z x y zdvzdzdxdy π∑∑Ω+≤++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝分分分又122121d d d d (2)d d d d 2x y x y z y z x zz x yx y dxdy π∑∑+≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰－＝－＝－单独分所以1122+d d d d (2)d d d d d d (2)d d 3102I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yπ∑∑∑=++-++-⎰⎰⎰⎰－＝分三、证明题（每小题15分，共30分）7. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,222222y x y x yx xy y x f证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微证明：1）因为()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 4分 2）因为()()22000,00,0limlimx x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆当取y k x ∆=∆时()()222222000limlim 11x x y x yk k k k x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k 之不同极限值也不同，即0,00,0lim0x y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆≠所以此函数在()0,0处不可微。
华南理工大学高等数学统考试卷下2005zxA
高等数学下册(重修)理工试卷A2006．6．18姓名： 学院与专业： 学号：单项选择题[共21分]一、1、[3分]设非零向量,a b 满足关系式a b a b -=+，则必有（ ）(A) a b a b -=+ (B) a b =(C) 0a b ⨯= (D) 0a b ⋅=2、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为（ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 3、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（ ）(A) 充分条件而非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件4、[3分]设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（ ） (A) y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y ∂∂-=∂∂ (D) yz y x z x ∂∂-=∂∂ 5.[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx(A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2 (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4 (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210 (D) 06、[3分]设2211cos sin x y d I x y σ+==++⎰⎰,则有（ ） (A) 223I ≤≤ (B) 23I ≤≤ (C) 102I ≤≤ (D) 10I -≤≤ 7、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为（ ） (A) 2a π⋅ (B)22a π⋅ (C) 0 (D) 22a π⋅-二、填空题[共18分]1、[3分]过点(1,2,1)M -且与直线7,34,3x t y t z t =-+=+=+垂直的平面是 .2、[3分]设cos()cos(2)(,)()cos()xy x y f x y e x x y π-=+-+，则=')4,(ππy f . 3、[3分] 设0ln =-yz z x ，则=dz . 4、[3分] 设D 是椭圆22194x y +=所围成的闭区域，则Dd σ=⎰⎰ .5、[3分]将二重积分()10,dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为 .6、[3分] 设∑是以原点为球心，4为半径的球面，则2221dS x y z∑=++⎰⎰ .三、解答下列各题[共31分]1、[6分] 设x y x z yarctan +=，求y x z ∂∂∂2.2、[6分]设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-，求b a ,之值.3、[6分] 求dy e y dx x x y ⎰⎰-121dy e ydx x y ⎰⎰-+2421的值.4、[6分] 计算dxdydz e z⎰⎰⎰Ω，其中1:222≤++Ωz y x .5、[7分] 求⎰+-=L yx xdy ydx I 224，其中L 是椭圆1422=+y x 由对应于x 从1-到1（在第一、二象限内）的那一段.四、[6分]求()222120x x y xy xe'++-=的通解.五、[6分] （本大题供所有专业选做一小题）1、求22u x y z =+-在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值2、设长方体过同一顶点的三条棱长之和为9，问这三条棱长各为何值时，长方体的表面积最大？3、求椭圆223:1x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩的长半轴长度、短半轴长度和面积.六、[8分]计算曲面积分2(81)2(1)4I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰，其中∑是由曲线0(13)x y z =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2π.七、[8分]（注意: 根据各自专业学分情况选做）1、（4学分化工类不做本题，5学分专业做本题） 将函数21()82x f x x x+=--展开为x 的幂级数并求出该级数的收敛区间. 2、（4学分化工类做本题，5学分专业不做本题）设)(x f 定义在),0(+∞，具有一阶连续导数，0)1(=f 且对在右半平面内的任意闭曲线L ，曲线积分0])([)]([=++-⎰dy e x xf ydx x f e Ly x（1）求)(x f ；（2）求函数(,)U x y ，使它的全微分等于dy e x xf ydx x f e y x ])([)]([++-.。
华南理工大学高等数学统考试卷下03期中dx (2)
2003-2004高等数学下册期中考试试卷（电材、新材）姓名： 班级： 成绩单号：一、单项选择题1、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的D(A)充分条件而非必要条件； (B) 必要条件而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件；2、[3分] 设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y∂∂-=∂∂ (D) y z y x z x ∂∂-=∂∂ 3、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为 (A) 2a π (B)22a π (C) 0 (D) 22a π-4、[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx (A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2； (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4； (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210(D) 05、[3分]设1,1,:3-===x y x y D 围成的有限区域，而1D 为D 的第一象限部分，则()⎰⎰=+-D x dxdy y e xy )(sin 2(A) ⎰⎰-12sin 2D x ydxdy e (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ()⎰⎰-+12sin 4D x dxdy y e xy (D) 06、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 二、填空题1、[3分]设)cos()2cos()1(),()cos(y x y x e y x f xy +--+=π，则=')4,(ππy f 。
华南理工大学微积分统考试卷上2013Aa
2n ne ++2n ne ++2n ne ++解(lim lim 2sin22x x →+∞→+∞=2lim 0x →+∞==（无穷小与有界量之积为无穷小）另解1由拉格朗日中值定理)sin sin 1,x x ξ=+-在x +1与x 之间，从而(lim lim0x ξ→+∞==另解 2由拉格朗日中值定理sin sin cos ,ξξ=与之间，从而(lim lim cos lim0x ξξξ→+∞→+∞===8、求极限0sin limsin xx tx dt t x x→--⎰解 原式=()320000sin 1sin sin 1cos 1limlim 2lim 2lim 1cos 3632x x x x xx x x x x x x x x →→→→-----====- 另解 原式=2320000sin cos sin 1sin cos sin 1lim lim lim lim 1cos sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----====- 三、 解答下列各题（每小题5分，共20分）9、设()2ln x y f x e -=-，求dy解 ()()()2212ln ln 2ln 1ln xxxxxdy f x ex e dx e f x e dx x x ----⎛⎫⎛⎫''=-⋅⋅--=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10、求y xe=解 取对数()21ln ln ln sin 12y x x x =++-，两边对x 求导视()y y x = 得()()2211111cos 122sin 1y x x y x x '⋅=++⋅⋅-⋅-，从而 ()()22211cot 11cot 1y x x xe x x x e x ⎛⎫⎡⎤'=++-=++- ⎪⎣⎦⎝⎭11、设()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩确定，求22,dy d ydx dx 解()s i n s i n 1c o s 1c o st d y td x t t --==-- 进而()()()22322cos 1cos sin sin 1sin 11cos 1cos 1cos 1cos 1cos t t t d y d t d t dx dx t t dt t t t ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-- 12、利用泰勒公式求极限2240cos limx x x ex -→-解 由泰勒公式()()24242cos 1,12!4!2!xx x x x o x e x o x =-++=+++ 从而()()22222444211122228x x x x x eo x o x -⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎝⎭进而()()224242444400cos 1limlim 1122428x x x x ex x x x o x o x x x-→→⎧⎫⎡⎤-⎪⎪=-++--++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()44444400111131lim lim 024********x x o x x x o x xx →→⎡⎤⎧⎫-⎢⎥=-+=-+=+=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦四、 计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算不定积分arctan⎰解2,t x t ==，则222211arctan arctan 1t tdt t t dt t+-==-+⎰⎰⎰ ()()2221arctan 1arctan arctan 11t t dt t t t t c x c t ⎛⎫=--=--+=+ ⎪+⎝⎭⎰ 另解2,t x t ==，则2222arctan (1)(1)arctan (1)1dttd t t t t t =+=+-++⎰⎰⎰ ()()()221arctan 1arctan 1t t dt t t t c x c =+-=+-+=+⎰14、计算定积分1解 令tan ,arctan x t t x ==，则2sec dx tdt =，当1x =时4t π=，当x =3t π=从而/3/3/3/3222/41//4/4sec cos 1tan sin sin tdt tdt t tt ππππππππ-====⎰⎰⎰11sinsin342ππ--=-==五、解答下列各题（每小题5分，共10分） 15、利用递推公式计算广义积分0n xn I x edx +∞-=⎰解 ()()()10l i m bn xnxn x x nn b I x e d x x d e x een x d x+∞+∞+∞-----→+∞==-=---⎰⎰⎰ 110lim 0n n xn b b b n x e dx nI e +∞---→+∞⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰，由此递推公式，可得11!n n I nI n I -===，而010011lim 0lim lim 1x xx b b ab b a b I xe dx e dx e e e e e +∞+∞+∞---→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==--+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 因此!n I n = 16、设()f x =，求()421f x dx -⎰解 令1,1x t x t -==+，则dx dt =，当2x =时211t =-=，当4x =时413t =-=，从而()()4332111f x dx f t dt -==⎰⎰，显然1,3t t ==是瑕点，原式()232312122t =+=+-⎰()()2213lim arcsin 2lim arcsin 20arcsin1arcsin1022ba ab x x πππ→+→-=-+-=-+-=+=六、解答下列各题（每小题5分，共15分） 17、求三叶枚瑰线()sin 3r a θ=上对应点4πθ=处的切线方程（直角坐标形式）解 由转化公式得cos sin(3)cos ,sin sin(3)sin 4x r a y r a θθθπθθθθ==⎧=⎨==⎩对应点直角坐标为,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭，又()()()()3cos 3sin sin 3cos 3cos 3cos sin 3sin a dy dx a θθθθθθθθ+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦，进而4113221211322dy dx πθ=⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故切线方程为1222a a y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即124a y x =+18、求a 的值，使抛物线2y x =与直线x a =及1,0x a y =+=所围成的平面图形的面积最小解 作图（略），由图可知121232111113321212a a a aS x dx x a a a ++⎛⎫===++=++≥ ⎪⎝⎭⎰从而当12a =-时所围成的平面图形的面积最小，最小值为11212s ⎛⎫-= ⎪⎝⎭19、一物体以速度()232/v t t m s =+作直线运动，计算它在t =0秒到t =3秒一段时间内的平均速度解 ()()33232211323312303v t t dt t t=+=+=+=-⎰七、证明题（每小题5分，共10分）20、设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足()()()11011kx f k xe f x dxk -=>⎰。
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高等数学下册试卷
2015．7．8
姓名： 学院与专业：
学号：
一、填空题[每小题4分，共20分]
1. 设1yzxy，则zx
2. 函数22lnzxy在点1,1处的全微分dz
3. 球面2226xyz在点1,2,1处的切平面方程是
4. 假设L为圆221xy，则2Lxyds
5. 函数cosxueyz在原点的梯度是
二、（本题8分）设方程组222xvuyuv确定了隐函数组,,uuxyvvxy，求,uvxx
三、（本题8分）设,,,zfxyxyfuv具有二阶连续偏导数, 求2,zzxxy
四、（本题8分）计算二重积分22Dydxdyx，其中D是由
2,yyx及双曲线1xy
围成的闭区域。
五、（本题8分）计算曲线积分cos1sinLIyxdxxxdy，其中L为由点
,0Aa至点,0Ba
的上半圆弧220yaxa。
六、（本题8分）计算曲面积分IzdS，其中为圆锥面22zxy位于圆柱
面222xyx内的部分。
七、（本题8分）计算曲面积分333xdydzydzdxzdxdy，式中是上半球面
222zxy与圆锥面22
zxy
围成的闭曲面的外侧。
八、（本题7分）求微分方程tanlnyxyy的通解。
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九、（本题7分）求微分方程cosyyx的通解。
十、[化工类做]（本题6分）求函数3330zaxyxya的极值
十一、[化工类做]（本题6分）求微分方程23sin3cos0xxydxyxdy的
通解。
十二、[化工类做]（本题6分）证明曲面,0Faxbzaycz上任一点处的切平
面都平行于同一个向量，其中,,abc为非零常数。
十、[非化工类做]（6分）判断级数12sin!nnn的敛散性
十一、[非化工类做]（6分）将函数arctanfxxx展开成x幂级数，并指出其
成立区间。
十二、[非化工类做]（6分）设级数1nna与1nnb都收敛，*nnnacbnN。
证明：级数1nnc收敛。