机械优化设计.第六章

Ⅲ、后退运算
⒈反向排列原来的两 个试点并加大步长 个试点并加大步长 取第三个试点， 取第三个试点，计 算相应的函数值
f (α )
t 3 = t 2 + t = α1 2t 0
(t = 2t )
f3
f1
O
f2 f1
f2
f 3 = f (t 3 )
⒉比较最后相邻两点的 函数值 f2 和f3
α 1－2t 0
② f1 ≥ f 2 :
新区间 → [α 1 , α 3 ]1
消去 [α 1，α 11 ], 新区间：[α 11，α 3 ] （α 1 ← α 11）
3、如上两步使区间缩短一次，并在新区间内均 、如上两步使区间缩短一次， 保留了一个内点 α 11或α 12故下次只需再对称的 增补一个内点 α 21或α 22 ，重复做上述两内点 函数值的比较： 函数值的比较： f 1 = f (α 21 ) f 2 = f (α 22 ) 如此反复运算，区间即可逐步地加以缩短 如此反复运算，区间即可逐步地加以缩短：
到图
f 1 = f (t1 )
⒉ 比较函数值 f 1与 f 2
f 2 = f (t 2 )
⑴
⑵
f1 > f 2 “前进运算””
f1 < f 2 “后退运算””
⑶
f1 = f 2 →"α1 = t1 ;α 3 = t 2 "
区间找到
Ⅱ、前进运算
加大步长取第三个试点 取第三个试点， ⒈ 加大步长取第三个试点，并计算相应函数值
(2)
f (ζ X (1) + (1 ζ ) X ( 2 ) ) 有： f(X) ≤ Φ(X) ，即： (1 ) (2) ≤ ζ f ( X ) + (1 ζ ) f ( X ) 成立，则称 f(X)为 成立， 为
定义在凸集D上的一个凸函数。 定义在凸集 上的一个凸函数。 上的一个凸函数
4
一维优化方法
α (k ) ＿最优步长
min f ( X ( k + 1) ) → min f (α )
求变量为步长 α 的一元函数的极 小化问题
一维优化(搜索)正是多维优化的基础
二、常用的一维优化方法
①黄金分割法（直接法） 黄金分割法（直接法） ②二次插值法（间接法) 二次插值法（间接法)
4.2 初始搜索区间的确定
近似法： 2、近似法： 用一个多项式来代替目标函数， 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的 极小点作为目标函数的近似最优点（ 极小点作为目标函数的近似最优点（如: 二次插值 法） 二、黄金分割法(0.618法)的基本原理 黄金分割法(0.618法 (0.618
l
初始区间：[α1 ,α3 ]
(1 λ )l
3.5
函数的凸性与凸函数
一、凸 集 二、凸函数 (函数的凸性表现为单峰性 函数的凸性表现为单峰性) 函数的凸性表现为单峰性 三、凸性条件 四、凸规划
n元函数极值存在的充要条件： 元函数极值存在的充要条件： ⑴、梯度为0 （各项一阶偏导数为0） 梯度为0 各项一阶偏导数为0
f (X *) = 0
( ff i x X
Ⅰ、试探运算
⒈ 取试点 t、计算函数值 (t) 、计算函数值f
到图
选择一个初始点 α 1 和初始步长 t 0 第一个试点： t 1 = α 1 (α 1 = 0 )
令步长 : t = t 0
第二个试点： t 2 = t 1 + t = α 1 + t 0
计算各个试点的函数值： 计算各个试点的函数值：
*
i = 1， n 2
X = [ x1，x 2， x n ]T 。
= 0)
⑵、 ( X * ) 矩阵正定或负定 H 正定 — 负定 —
X* 为极小值
X
*
为极大值
凸集
凸函数
f(X)
f(X) Φ(X)
0 a
b
c
X
(1 )
定义：设f (X) 为定义在Rn 中凸集D上的函数， 和 X 定义 为定义在 中凸集 上的函数， 上的函数 X 上任意两点， 为D上任意两点，若对于任意实数ζ ∈ [0，1]，恒 上任意两点 ， ，
(α 1α 11 = α 12α 3 )
2、计算并比较它们的函数值 、计算并比较 比较它们的函数值
f 1 = f (α 11 ) f 2 = f (α 12 )
① f1 < f 2 :
新区间 → [α 1 , α 3 ]1
消去[α 12 ,α 3 ], 新区间： [α 1，α 12 ] （α 3 ← α 12）
t 3 = t 2 + t = α 1 + 3t 0
f 3 = f (t 3 )
f (α )
f(α )
⒉ 比较相邻的最后两点 的函数值 f2 和 f3
① f 2 < f3 :
f1
Oα
1
f2
f3
[α1 ,α 3 ]
α 1 = t1 ; α 3 = t 3
α 1 + t 0 α 1 + 3t 0
t2
α
返回
t3
α1 α1 + t0
t1
t2
α
t2
t1
① f2 < f3 :
[α 1 , α 3 ]
到图
α 1 = t 3 ；α 3 = t1
②
f2 = f3 :
[α 1 , α 3 ]
α1 = t3 ; α 3 = t2
③ f 2 > f 3 : ↑ 步长，继续做“后退运 算”
取新试点（新试点为新的t 3，原来的t1、t 2、t 3向 左移动一步：t 3旧 t 2新；t 2旧 t1新），计算其函数值， 重复上述比较过程，如此反复循环，直到在相继的三个 试点中，出现“高 — 低 — 高”的函数值情况为止。此 时，区间的左右端点为：α 1 = t 3 ; α 3 = t1
α
t1 t 2
t3
t4
上述比较第三、 第四试点的函数值， 实质上是将原来的 三个试点: t1 t 2 t 3 向前（向后）移动 一步,若新求得的：
O
f (α )
f (t 2 ) > f (t 3 )
t1 t 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt1
t3
α
α
t4 t3
t2
则重复上面向前移 动的步骤直到下式 成立为止：
t2
t1
f (t 2 ) < f (t 3 )
4、内分点的选取原则
到图
[α 1 , α 3 ]1 ; [α 1 , α 3 ] 2 ; [α 1 ,α 3 ]3 ; ....
每次缩小的新区间长度 缩短率 λ = = λ1 = λ2 = 原区间长度
⒈初始区间： ⒉第一个新区间： ⒊第二个新区间：
[α 1 ,α 3 ] 区间长度→ l = α 3 α 1 [α 1 ,α 3 ]1 区间长度→ λl [α 1 ,α 3 ] 2 区间长度→(1 λ )l
α
(k ) 3
α
(k ) 1
= λ (α 3 α1 ) = 0.618 (α 3 α1 ) ≤ ε
k k
( (α 1( k ) + α 3 k ) ) α = 2 f = f (α )
(最终区间中点）
6、黄金分割法的程序框图（自编） 黄金分割法的程序框图（自编）
复习思考题：
画出“进退法搜索区间”的程序框图， 1、画出“进退法搜索区间”的程序框图，自编 计算程序 2、熟悉黄金分割法的原理及计算步骤 上机完成习题： 3、上机完成习题：1～3 二次插值法； 预 习：二次插值法；
(1) 1 (1) 3 (1) 1
=α
(1) 1
+ 0.618(α α )
(1) 3 (1) 1
α 1(1) = α 1 ; 第一次缩短时的原区间：
α 3(1) = α 3
5、区间缩短的终止条件： 区间缩短的终止条件：
区间缩短次数， 迭代精度 按点距准则： 迭代精度， 设：k —区间缩短次数，ε—迭代精度，按点距准则 区间缩短次数
(1 λ ) l = l λl
即： λ2 + λ 1 = 0
取其正根： λ ≈ 0 .618
故两个内分点的取点原则： 故两个内分点的取点原则：
( ( α11 = α1(1) + (1 λ)(α31) α1(1) ) = α1(1) + 0.382(α31) α1(1) )
α12 = α + λ(α α )
数值迭代法公式: 数值迭代法公式
x1
X (k )
α
α (k )
X ( k +1)
X*
S (k )
X ( k +1) = X ( k ) + α ( k ) S ( k )
O
x2
min f ( X ( k +1) ) = min f ( X ( k ) + αS ( k ) ) = f ( X ( k ) + α ( k ) S ( k ) )
λl
α1α11 = α12α3
f1
f2
f1
f2
α1
α 11
新区间
α 22
α 12 α3
→ [α 1 , α 3 ] 1
α 3 α1
α11
α1
α12
α 21
α3
新区间 → [α 1 , α 3 ]1
1、在初始区间 [α 1 ,α 3 ] 内，对称的取两个内分点 ： 、 对称的取两个内分点
α 11、α 12
l
λl
(1 λ )l (1 λ )l
λl
(1 λ)l
f1
f1